純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 ->画像>2枚

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20
http://2chb.net/r/math/1745503590/
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11
http://2chb.net/r/math/1724969804/
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋22
http://2chb.net/r/math/1724982078/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71
http://2chb.net/r/math/1713536729/
IUTを読むための用語集資料スレ2
http://2chb.net/r/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (過去スレ落ち)
http://2chb.net/r/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
http://2chb.net/r/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
http://2chb.net/r/math/1581243504/

つづく

つづき

＜数学隣接分野について＞
https://planck.exblog.jp/14987060/
大栗博司のブログ
2010年 08月 21日
フィールズ賞
今週はインドのハイデラバードで国際数学者会議 (ICM) が開かれ、フィールズ賞受賞者が発表されました。１９９０年以来の過去５回のICMでは、フィールズ賞受賞者のおよそ４割が場の量子論や超弦理論に関係する分野で研究をされていたので、今回はどうなるのだろうかと思っていました。
今回の受賞者のひとりはスタニスラフ・スミルノフさんで、ある種の２次元の統計模型がスケール極限で共形対称性を持つことを示し、物理学者のジョン・カーディさんの予想していた公式に数学的証明を与えました。場の量子論に数学的基礎を与えることは数理物理学の長年の課題ですが、２次元の共形場の理論では確実な進歩が起きています。前回の２００６年のICMでフィールズ賞を受賞されたウェンデリン・ウェルナーさんの業績も２次元の共形場の理論に関係するものでした。
スミルノフさんはCaltechの大学院の卒業生なので、今回の受賞はCaltechにとってもうれしいニュースでした。
もうひとりの受賞者のセドリック・ビラニさんへの授賞対象は気体分子の運動論で、非平衡の状態からどのように平衡状態への移行が起きるのかの理解を進められたのだそうです。
物理学の提起する問題は、依然として数学の新しい発展を触発し続けているようです。
(引用終り)

下記フィールズ賞 2022年のコパン氏は、statistical physics関連
マリナ・ヴィヤゾフスカ氏も、E_{8} latticeは、超弦理論と関連があります。また、24次元はLeech lattice関連で下記”conformal field theory describing bosonic string theory”と関連しています
なので、フィールズ賞 2022年も、物理学との関連ありです

つづく

つづき

また、IMUの新総裁 中島啓氏は、”紹介：理論物理学に起源を持つゲージ理論を数学的に研究することを中心テーマと している。また、この研究がカッツ・ムーディー・リー環や、その変形と関係 することから、これらの対象の表現論も同時に研究している。 主要な成果として、次のようなものを得た。(略) 箙多様体と名づけた・・” www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/list/nakajima.html
と記されています

なので、数学隣接分野も取り上げます！
（平たく言えば「なんでもあり」ですｗ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BA%E8%B3%9E
フィールズ賞
2022年（オンライン開催[注釈 3]）[21]
ユーゴー・デュミニル＝コパン（Hugo Duminil-Copin, 1985年 - ）フランスの旗 フランス
For solving longstanding problems in the probabilistic theory of phase transitions in statistical physics, especially in dimensions three and four.

マリナ・ヴィヤゾフスカ（Maryna Viazovska, 1984年 - ） ウクライナ
For the proof that the E_{8} lattice provides the densest packing of identical spheres in 8 dimensions, and further contributions to related extremal problems and interpolation problems in Fourier analysis.
球充填問題を８次元と24次元で解決したことや，フーリエ解析における極値および補間問題への更なる貢献が評価[22]。

つづく

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%BC%A6%E7%90%86%E8%AB%96
超弦理論
基本的な説明
超弦理論には5つのバリエーションがあり、それぞれタイプI、IIA、IIB、ヘテロSO(32)、ヘテロE8×E8と呼ばれる。この5つの超弦理論はいずれも理論の整合性のために10次元時空を必要とする。

https://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice
Leech lattice
Applications
The vertex algebra of the two-dimensional conformal field theory describing bosonic string theory, compactified on the 24-dimensional quotient torus R24/Λ24 and orbifolded by a two-element reflection group, provides an explicit construction of the Griess algebra that has the monster group as its automorphism group. This monster vertex algebra was also used to prove the monstrous moonshine conjectures.
(引用終り)

つづく

つづき

なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面 ：

おサルさんの正体判明！（＾＾）
スレ12 http://2chb.net/r/math/1671460269/923 より
”「ガロア理論 昭和で分からず 令和でわかる
　＃平成どうしたｗ」
昭和の末期に、どこかの大学の数学科
多分、代数学の講義もあったんだ
でも、さっぱりで、落ちこぼれ卒業して
平成の間だけでも30年、前後を加えて35年か”
”(修士の)ボクの専攻は情報科学ですね”とも

可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ***）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾

注***）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり～！（＾＾；

つづく

つづき
（スレ19の838より）
>受験数学でゆがんだプライドもっちゃうならマセマでも真面目にやってた方がマシ

ID:PjxCDrCZさん、ありがとうございます
スレ主です
下記を あっちのスレに書いておきましたが
http://2chb.net/r/math/1744330968/77
「マセマはなぜ批判されるのか」
>マセマぐらいのことしかやってないアメリカの学部卒に院であっというまに追い抜かされるのが日本の高等教育。
従来の日本の数学高等教育は、厳密病だった
米では、Terence Taoなどが 「3.The “post-rigorous” stage」を提唱している
「3.The “post-rigorous” stage」を意識して成長するか
それとも レベル2の”厳密”(rigorous”)で成長が止まるか
の違いでは？
(参考)
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
(引用終り)

で、そのおサル(>>5)は、某私立ｗ大数学科へ30年以上前に入学して
そこで、従来の日本の数学高等教育の厳密病による冷や水を浴びせられて
オチコボレさんになって、それがトラウマになっているのです

で、そしてヒネクレてしまって
その一方で、「おれは 数学科で数学を”ゲンミツ”に学んだぁ〜！」というプライドだけが高い

本当は、Terence Taoのように レベル3.The “post-rigorous” stageを目指して
精進すれば良いと思うのですが、どうも厳密病が重症化しているようですね

そして、だれかれなく 噛みつく
カミツキ亀みたいな サルに成り下がったのですｗ ；ｐ）

つづく

つづき

（スレ19 の 555より）
追加 (参考)渕野語録 下記
http://2chb.net/r/math/1581243504/l3-
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
スレ56より （なお、「イメージ」〜「ビジョン」〜「哲学」かも（＾＾ ）
http://2chb.net/r/math/1544924705/178-
渕野先生は、”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”を書いている(下記)（＾＾
「イメージ」がお気に召さなければ、「ビジョン」といっても良い
”アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観”が無いピエロは
数学では落ちこぼれの劣等生ということだ

ただ単に、厳密性のみを追い求めるのはピエロだ
だから、だからおまえは数学で落ちこぼれるんだよ（＾＾
ニュートン、ライプニッツ、オイラー、ガウス、コーシー、アーベル、ガロア、リーマン、デデキント・・・
みんな各人、数学に対する明確なビジョンがあって、彼らの数学的業績がある
（しばしば、厳密性な証明は後から与えられることも多くあった）

＜渕野語録＞
(引用開始)
スレ24 http://2chb.net/r/math/1475822875/654-
（抜粋）
あなたのまったく逆を、渕野先生が書いている
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
https://www.アマゾン
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房2013
「数学的直観と数学の基礎付け 訳者による解説とあとがき」
P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える

多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである
(引用終り)

さらに
スレ56より
http://2chb.net/r/math/1544924705/180
別に厳密性を犠牲にしろとは言っていない
厳密性のみを追い求めて、”記号列として記述された「死んだ」数学”で終わらずに
自分なりのイメージやビジョンを持つこと
佐藤幹夫先生はそんな人だと思うよ
つづく

つづき

なお
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
は、お断りです

小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
テンプレは以上です

>>8
じゃ小学校の教程（読み書き）修了してないおまえは書き込み禁止な

囲碁の終局は対局者同士の合意で成立する

囲碁板行け

コントだよ

このスレ終了

同意せず

前スレ が、もうすぐ1000到達なので
こちらに

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20
http://2chb.net/r/math/1745503590/975
　>>967 fr.wikipedia Axiom of infinity（無限公理） https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
　>>964 独 de.wikipedia Infinity axiom https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
　どちらも 記号∩ は、使わない
(引用終り)

さらに
英 en.wikipedia Axiom_of_infinity https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
ここでも Extracting the natural numbers from the infinite set の節で
記号∩ は、使わない

さて、wikipediaでは しばしば 出典の裏付けのある記述が ”よし”とされる
出典の裏付けのない 正しいかもしれないが 独自の証明などは 「独自研究」とされ 忌避される
（それは、必ずしもプロ数学者でない人たちが 執筆するからなのだ）

だから、上記のように Axiom of infinity（無限公理）で
無限集合たる自然数Nを ”Extracting”する手法についても、同様に
なにか 専門書の裏付けある記述が是とされる

そのような背景で、英仏独の Axiom of infinity（無限公理）で
無限集合たる自然数Nの記述で 「記号∩ は使わない」ということは
そういうタネ本が多いということだよね

「記号∩を使う」は、「独自研究」かな？
「独自研究」なら それでも構わない
100年間 「記号∩を使う」人が居なかったならば、それはそれで面白いだろう
（もし、それが正しければだがねｗ。100年間 そういう人が居なかった？
　それは 間違っている確率高いかも・・・ｗ　；ｐ）

たった∩だけでなんでこんな発狂してんの？
理解できないのがそんな悔しいの？　じゃ勉強すればいいじゃん

折伏できるかどうか

>>16-17
ありがとうございます

さて、補足すれば
ことの起こりは、下記

前スレより
http://2chb.net/r/math/1745503590/563 2025/06/15 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
Inter-universal geometry とABC 予想57
http://2chb.net/r/math/1723187304/988
(引用開始)
>無限公理が存在を主張する集合全体
無限公理が存在を主張する集合全体？
(引用終り)

1）ペアノ公理の自然数の集合論的構成で、ノイマンによるものの説明が下記です
　ここで、”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”、”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　とあるので、集合の積∩は 任意A つまり 全てのA と読めます
　ノイマンの最初の論文がこうだったという都市伝説がある（私は原論文は未確認）
2）で、wikipediaの記載は こうだとしても・・
　任意Aあるいは全てのAの 集合の積∩を考えるというのは 当然突っ込みどころであります
3）下記の 筑波大 Akito Tsuboi 先生は、下記 数理論理学IIでは
　ここは、少し技巧的な記述をしています
（ここの式を手で写すのは面倒なので（どうせ原文見る方がいいしｗ）、各人原文をご覧あれ）
以上

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている。集合論における自然数の標準的な構成法としては、
・N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
・0:=∅
・S(x):=x∪{x}
がある。ただしここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである。
これらの集合は存在して、ペアノの公理を満たすことが確かめられる。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[7]。

https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
Akito Tsuboi 筑波大
学部（数学類）関連
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学II

P8
1.1.9 無限公理
無限公理：
(引用終り)
以上

>>18
さて 上記を受けて 下記がある
前スレより
http://2chb.net/r/math/1745503590/588 2025/06/16 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
1）すっきりの度合いが違うだろ？
　即ち、和記号Σや積記号Πならば、普通その範囲を明示するべきだろ？
　Σ n=1〜∞とか Σ m,n=1〜∞とかね
　では問う 記号∩について 同じことを要求する
　きちんと、記号∩の定義を書け！
　ここ、ツッコミどころだねｗ
2）”実質同じ”？ 証明は？ 上記1）項のあと 証明やってみてｗ ；ｐ）

http://2chb.net/r/math/1745503590/949-957 2025/07/20 ID:2Jr4cGNB
>>588
>2）”実質同じ”？ 証明は？
定義１
　論理式φ(x)を下記で定義する。
　φ(x):={}∈x∧∀y(y∈x→y∪{y}∈x)
　φ(x)を満たすxを帰納的集合と呼ぶ。
以下略

http://2chb.net/r/math/1745503590/964-965 2025/07/20 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
>>949-950
>補題１
>　ωは任意の帰納的集合の共通部分である。

うむ
１）その結論は、正しい。下記の独 de.wikipediaの英訳
　Infinity axiomで、”The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.”
　とある通りだ
２）ところで 下記の 独 de.wikipedia Infinity axiom では
　記号∩ 使ってないよ？
　記号∩ は、使わなくてもいいの？
　記号∩ は、使わなくてもいいのならば、その方がすっきりしてないかな？ｗ ；ｐ）

(参考)
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
（google翻訳 独→英）
Infinity axiom
The axiom of infinity is an axiom of set theory that postulates the existence of an inductive set . It is called the axiom of infinity because inductive sets are also infinite sets .

つづく

つづき

formulation
There are a lot A, which is the empty set ∅ and with each element
x∈A also the amount x∪{x}contains.
∃A:(∅∈A∧∀x:(x∈A⇒x∪{x}∈A))
The infinity axiom does not merely postulate, as the name might suggest, the existence of any infinite set. It postulates the existence of an inductive set and thus, consequently, the existence of the set of natural numbers according to John von Neumann's model .

Significance for mathematics
Natural numbers
By the existence of at least one inductive set
I together with the exclusion axiom, the existence of natural numbers as a set is also ensured:
N:={x∈I∣∀z(z inductive ⟹ x∈z)}
The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.

Infinite quantities
Without the infinity axiom, ZF would only guarantee the existence of finite sets. No statements could be made about the existence of infinite sets. The infinity axiom, together with the power set axiom , ensures that there are also uncountable sets, such as the real numbers.

下記 fr.wikipedia Axiom of infinity（無限公理）も
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini
（google翻訳 仏→英）
Axiom of infinity
Statement of the axiom
略
・let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ):
ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ;
略
(引用終り)
以上

>>20

＜まとめ＞
１）fr.wikipedia にあるように、Axiom of infinity（無限公理）→ 集合 Natural numbers "ω(=N)" の存在を 示すこと
　このために ”by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality”などと、ZFCで使える公理は制限があるのです
２）さて、下記にZFCで『5. 和集合の公理』がある
　"この式は、∪F の存在を直接主張するものではないが 、上記の分出公理を用いて集合 ∪F を A から構築することができる"
　とある。見れば、たかが和集合∪で 面倒なことをしているのです
３）で、和集合∪でこれなのですが、では積集合∩について ZFC公理系でどうか？
　中途半端に 積記号∩ を使うと、そこからメンドクサイことになるのでは？ｗ ；ｐ）
　だから、基礎論屋さんは 積記号∩を使わないと思うがどうよｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
選択公理を含むツェルメロ＝フレンケル集合論はZFCと略される
5. 和集合の公理
→詳細は「和集合の公理」を参照
集合の元に対する和集合が存在する。たとえば、集合
{{1,2},{2,3}}の元に対する和集合は{1,2,3}である。
和集合の公理は、任意の集合の集合
F について、 F の元の元であるすべての元を含む集合
A が存在することを主張する：
∀F∃A∀Y∀x[(x∈Y∧Y∈F)⇒x∈A]
.この式は、∪F の存在を直接主張するものではないが 、上記の分出公理を用いて集合
∪F を A から構築することができる：
∪F={x∈A:∃Y(x∈Y∧Y∈F)}.

>>18
未だに分かってなくて草

>ここで、”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”、”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
>　とあるので、
うむ

>集合の積∩は 任意A つまり 全てのA と読めます
まったく違うけど
君、論理式が読めないので、論理の初歩から勉強し直しなよ

>2）で、wikipediaの記載は こうだとしても・・
>　任意Aあるいは全てのAの 集合の積∩を考えるというのは 当然突っ込みどころであります
論理式が読めず突っ込まれてるのは君
誤読をもとに何を言ってもトンチンカンで無意味

君、工学部で公式暗記の数学しかやってこなかったんでしょ？
数学板で発言したいなら初歩から勉強し直しなよ　君の言ってることまったくトンチンカンだから

てかNはAの部分集合族の共通部分って教えたよね？
どんな族かは内包的表記で規定されてるって教えたよね？
集合族の共通部分の定義も教えたよね？
教えられても理解できなかったのかい？　だからトンチンカンなこと言ってるんでしょ？
理解できなかったならなんで勉強しないの？　頭パッパラパーなの？

>>21
>中途半端に 積記号∩ を使うと、そこからメンドクサイことになるのでは？ｗ ；ｐ）
>だから、基礎論屋さんは 積記号∩を使わないと思うがどうよｗ
まったくデタラメで一顧の価値も無し

>和集合の公理は、任意の集合の集合
>F について、 F の元の元であるすべての元を含む集合
>A が存在することを主張する：
>∀F∃A∀Y∀x[(x∈Y∧Y∈F)⇒x∈A]
>.この式は、∪F の存在を直接主張するものではないが 、上記の分出公理を用いて集合
>∪F を A から構築することができる：
>∪F={x∈A:∃Y(x∈Y∧Y∈F)}なんだその式はｗ
和集合の公理が和集合の存在を主張しないってなんだそりゃｗ
主張すればいいだけじゃんｗ

>見れば、たかが和集合∪で 面倒なことをしているのです
いやだから主張すればいいだけｗ　主張しないから面倒になるだけ

>和集合∪でこれなのですが、では積集合∩について ZFC公理系でどうか？
積集合の公理なんて不要。
なぜZFで和集合の公理が必要か、なぜ積集合の公理が不要か分かる？　分かんねーだろーなーｗ

ふっふ、ほっほ
詰んじゃったな おサルｗ>>5　；ｐ）

大学1年4月に詰んだオチコボレがなんか言うとる

>>27
去れ

おまえが去れ

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20
http://2chb.net/r/math/1745503590/984
>sphere packingは何年前の数学かな？

うむ
・sphere packing 17世紀の数学者・天文学者ヨハネス・ケプラーの予想
・ガウスは球が規則配置を取る場合についてケプラー予想が正しいことを証明し[5]、問題の解明に一歩近づいたが
・21世紀にコンピュータによる証明で決着したことは有名（本が出版され 日本でもその訳本が出た）
・別に、8次元と24次元における証明は2016年にマリナ・ヴィヤゾフスカによって得られた
　彼女は、2022年 フィールズ賞受賞
・24次元は、リーチ格子（英語版）で、モンスター群のムーンシャインで有名
　ボーチャーズ は、ムーンシャイン予想の解決により、数学のノーベル賞と言われているフィールズ賞を1998年に受賞

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E4%BA%88%E6%83%B3
ケプラー予想（ケプラーよそう、英: Kepler conjecture ）とは、17世紀の数学者・天文学者ヨハネス・ケプラーに由来する、三次元ユークリッド空間における球充填に関する数学的な予想である。それによると、等しい大きさの球で空間を充填（パッキング）するとき、平均密度が立方最密充填配置（面心立方）ならびに六方最密充填配置を越えることはない。これらの配置の密度はおよそ74.05%である。

1998年にトーマス・C・ヘイルズ（英語版）はラースロー・フェイェシュ＝トート（英語版）が提案した方法[1]に従ってケプラー予想を証明したと発表した。多数のケース一つ一つを複雑なコンピュータシミュレーションでチェックするしらみつぶし法（英語版）であった。査読者は証明が正しいことを「99%確信している」と評した。よってケプラー予想は定理として受け入れられる寸前に来ている。2014年、ヘイルズに率いられたフライスペック・プロジェクト（英: the Flyspeck project）のチームは、定理証明支援ツールであるIsabell（英語版）およびHOL Light （英語版）を組み合わせて用いることにより、ケプラー予想の形式的証明を完了したと発表した。

発端
ケプラーが球の配置を研究し始めたのは、1606年におけるイギリス人数学者・天文学者、トーマス・ハリオットとの文通がきっかけである。ハリオットは友人で雇い主のウォルター・ローリーから船倉に砲弾を効率的に積み込む方法の問題を与えられていた。ハリオットは1591年に様々な積み上げパターンの研究を出版し、さらに進んで初歩的な原子論を発展させた。

19世紀
ケプラー本人は予想を証明できなかったが、ガウスは球が規則配置を取る場合についてケプラー予想が正しいことを証明し[5]、問題の解明に一歩近づいた。

つまり、ケプラー予想の反証となる充填配置があるとすれば不規則配置でなければいけない。しかし、実現可能な不規則配置をすべてチェックするのは非常に困難で、それこそケプラー予想をここまで証明困難なものにした理由である。

ガウス以降、19世紀の間はケプラー予想の証明に向けた進展はなかった。1900年にダフィット・ヒルベルトが数学における23の未解決問題を提起したとき、ケプラー予想は関連する問題とともに第18問題に挙げられた

つづく

つづき

20世紀
解決に向けて次のステップを踏み出したのはラースロー・フェイェシュ＝トートである。彼は、規則・不規則を問わずあらゆる配置の最大密度を求める問題が、有限個の（しかし非常に多数の）計算に還元されることを示した[1]。これはしらみつぶし法による証明が原理的に可能だということである。フェイェシュ＝トートも気づいていたように、十分高性能なコンピュータがあればここからケプラー予想解決への現実的なアプローチが得られる可能性があった。

他方では、あらゆる可能な球配置の最大密度の上界を見つけようという試みがなされていた。イギリスの数学者クロード・アンブローズ・ロジャーズは一つの上界として約78%の値を得た[6]。それに続く数学者の努力によりこの値はわずかに引き下げられたが、立方最密充填の約74%には程遠かった。

1990年にウ＝イ・シアン（項武義）はケプラー予想を証明したと発表した。この成果は「エンサイクロペディア・ブリタニカ」および「サイエンス」誌で好意的に取り上げられ、シアンはAMS-MAAジョイントミーティングに招待される栄誉を得た[7]。シアンの主張は幾何学的な手法でケプラー予想を証明したというものだった[8][9]。しかしながら、ガボル・フェイェシュ＝トート（ラースローの息子）は論文のレビューで「細部に目を向ければ、重要な言明の多くが容認できるような証明を欠いている」と述べた。ヘイルズはシアンの仕事を詳細に批判し[10]、シアンはこれに反論した[11]。現在ではシアンの証明は不完全なものだったと認められている[12]。

ヘイルズの証明
ミシガン大学に在籍していたトマス・ヘイルズは、ラースロー・フェイェシュ＝トートが提案したアプローチ[1]にならい、150個の変数を持つある関数を最小化することによって最大密度配置を見出せると考えた。1992年、大学院生のサミュエル・ファーガソンを助手としたヘイルズは、系統的な線型計画法により、すべての異なる配置の集合に含まれる5000種以上の配置一つ一つについて関数値の下界を求める計画に着手した。すべての配置で関数の下界が立方最密配置の関数値を超えるならば、それがケプラー予想の証明になる。可能なすべてのケースについて下界を求めるには、10万個ほどの線形計画問題を解く必要があった。

1996年に研究プロジェクトを公表するに際して、終結は目前ながら完了まで「1・2年」かかるかもしれない、とヘイルズは述べた。1998年の8月にヘイルズは証明の完了を発表した。この時点で証明は250ページの手稿と3ギガバイトのプログラム、データ、計算結果から構成されていた。

証明の形式が異例だったにもかかわらず、Annals of Mathematics誌の編集者は掲載に同意したが、12人の専門家による査読を条件とした。2003年、四年間の作業を経て、査読者団の筆頭であったガボル・フェイェシュ＝トートは証明が正しいことに「99%の確信を持っている」と報告した。しかし、コンピュータによる計算がすべて正しいと保証することはできなかった。

つづく

つづき

形式的証明
2003年1月、ヘイルズはケプラー予想の完全な形式的証明を求める共同プロジェクトを開始した。その目標は、証明の妥当性に一切の疑問を残さないため、HOL LightやIsabelleなどの自動証明検証（英語版）[訳語疑問点]プログラムにかけられるような形式的証明を構築することであった。プロジェクトは「Flyspeck」と名付けられた。そのうちの3文字、F、P、Kは「Formal Proof of Kepler」（ケプラーの形式的証明）から取ったものである。ヘイルズは完全な形式的証明を構築するのには20年ほどの作業が必要だと見積もっていた。2014年8月10日にプロジェクトの終結が発表された[15]。2015年1月、ヘイルズと21人の共同研究者は「ケプラー予想の形式的証明」と題された論文を公開した[16]

高次元における球充填
最適球充填の問題は1、2、3、8、24次元を除いて未解決である。8次元と24次元における証明は2016年にマリナ・ヴィヤゾフスカによって得られた[22]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AA%E3%83%8A%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%A4%E3%82%BE%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AB
マリナ・セルヒイウナ・ヴィヤゾフスカ（ウクライナ語: Марина Сергіївна В'язовська、英語: Maryna Sergiivna Viazovska、1984年12月2日 - ）は、ウクライナの女性数学者。球充填問題を8次元と24次元において解決した業績で知られる

業績
2016年に、ヴィヤゾフスカは球充填問題を8次元で[7][8] [9]そして、他の人と協力して24次元で解決した[10] [11]。以前は、問題は3次元以下でしか解決されておらず、3次元での証明（ケプラー予想）にはコンピューターを用いて50,000行のプログラムコードを使用して300ページのテキストで提示されていたが[12]、対照的に、8次元と24次元でのヴィヤゾフスカの証明は、わずか23ページ程で「驚くほど単純」であった [11]。

受賞歴
2022年 フィールズ賞受賞[23]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E5%85%85%E5%A1%AB
球充填
超球充填
2016年、マリナ・ヴィヤゾフスカは8次元空間において正規・非正規を問わない最適充填がE8格子（英語版）だと証明した。さらにその直後、共同研究者とともに、24次元における最適充填がリーチ格子（英語版）だという証明を発表した。どちらの格子もその次元における既知の配置の中でもっとも稠密なものであった[10]。ヴィヤゾフスカの証明では、慎重に選ばれたモジュラー関数のラプラス変換を用いて球対称な関数 f を構築する。
f はそれ自身およびフーリエ変換 f^ がどちらも原点で1となるように構築される。さらに、充填の中央にある球の外では
f が負となる一方、f^は常に正となるようにすることで、原点以外のすべての格子点で
f および f^ がゼロになることを示せる。その上で
f に関するポアソン和公式を用い、想定される最適格子の密度をほかのあらゆる格子の密度と比較する[11]。査読論文の中ではないが、ピーター・サルナックはこの証明を「驚くほど簡潔」と評し、「論文の冒頭を読むだけで証明が正しいと分かるだろう」と述べた[12]。[訳語疑問点]

つづく

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice
Leech lattice
In mathematics, the Leech lattice is an even unimodular lattice Λ24 in 24-dimensional Euclidean space, E24. It is one of the best models for the kissing number problem. It was discovered by John Leech (1967). It may also have been discovered (but not published) by Ernst Witt in 1940.
Applications
The vertex algebra of the two-dimensional conformal field theory describing bosonic string theory, compactified on the 24-dimensional quotient torus R24/Λ24 and orbifolded by a two-element reflection group, provides an explicit construction of the Griess algebra that has the monster group as its automorphism group. This monster vertex algebra was also used to prove the monstrous moonshine conjectures.

https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine
Monstrous moonshine
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%82%A4%E3%83%B3
モンストラス・ムーンシャイン（英: monstrous moonshine）もしくはムーンシャイン理論（英: moonshine theory）とは、モンスター群とモジュラー函数、特に j-不変量との間の予期せぬ関係を指し示す用語、およびそれを記述する理論である。1979年にジョン・コンウェイとサイモン・ノートン（英語版）(Simon Norton)により命名された。今ではその背景として、モンスター群を対称性として持つある共形場理論があることが知られている。コンウェイとノートンによって考案されたムーンシャイン予想は1992年、リチャード・ボーチャーズにより、弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra; VOA)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%82%BA
リチャード・ユーウェン・ボーチャーズ (Richard Ewen Borcherds, 1959年11月29日 - ) は、南アフリカ共和国ケープタウン出身のイギリスの数学者である。父は物理学者
ムーンシャイン予想の解決により、数学のノーベル賞と言われているフィールズ賞を1998年に受賞した
(引用終り)
以上

>>30-33
君、博識だねえ
じゃあ
>なぜZFで和集合の公理が必要か、なぜ積集合の公理が不要か分かる？
にも答えられるよね　答えてみて

背景が違うものの成績は序盤は当てにならない。

>>34
>なぜZFで和集合の公理が必要か、なぜ積集合の公理が不要か分かる？
>にも答えられるよね　答えてみて

Terence Tao “post-rigorous”“big picture”https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/ >>6

それは、なぜ無限公理が必要かと同じだよ
公理的集合論を、レゴのブロック遊びと思いなよ

いろんな 積み木を作りたい
無限積み木を作りたい

そのときに、無限公理という レゴのブロックを公理として導入しなければ
無限積み木が できないからだ

逆に 積集合は 既にある他のレゴのブロックを組み合わせれば
できるってことだね

どうやって？
さあ？ 検索するか あるいは いまどき AIさんに聞け！　君はGrok派だったなｗ　；ｐ）

>>36
>積集合は 既にある他のレゴのブロックを組み合わせればできるってことだね
それは自明だろ。
聞いてるのは、１．なぜ積集合はそれができるのか、２．なぜ和集合はそれができないのか

>>37
>聞いてるのは、１．なぜ積集合はそれができるのか、２．なぜ和集合はそれができないのか

多分、どちらか一方を公理にすれば、他方は それから導かれるだろう
しかし、和集合を公理にする方が、きっと公理系としては 美しいのだろう

いま、公理系から離れて 素朴集合論で話をしよう
素朴な 集合演算を定義する

二つの空でない集合 A,B で、和集合(英union) U：=A∪B として
積集合（共通部分 英: intersection）I：=A∩B とする

UからBを除いた部分は As：=UーB
（Asは、和集合からBを除いたAの部分集合で As⊂A）
同様に、 Bs：=UーA

これから、簡単な演算で直ちに
U−(As+Bs)＝I
が導かれる

つまり、和集合Iから 簡単な演算で 積集合Iは出る
これを、正式に集合の公理系で やればいいだけ（面倒だから やらないが　；ｐ）

さて、空でない集合 A,B に対し 和集合Uは 常に空集合ではないが
しかし、積集合Iは、空集合の場合がある

だから、和集合を公理にする方が
公理系としては 美しいと思うよ

>>38 タイポ訂正

つまり、和集合Iから 簡単な演算で 積集合Iは出る
　↓
つまり、和集合Uから 簡単な演算で 積集合Iは出る

分かると思うが

>>38
>多分、どちらか一方を公理にすれば、他方は それから導かれるだろう
任意の集合A,Bとそれらの積集合A∩Bが与えられている前提から和集合A∪Bの存在を導いてみて

>>40
>任意の集合A,Bと
>それらの積集合A∩Bが与えられている前提から
>和集合A∪Bの存在を導いてみて

◆yH25M02vWFhP この瞬間　悶死

>>40-41
上記>>38の記号で
U−(As+Bs)＝I ・・(1)
を導いたよね

ここに
和集合(英union) U：=A∪B
積集合（共通部分 英: intersection）I：=A∩B
だね

(1)式から直ちに（移項して）
U＝I+(As+Bs) ・・(2)
が出る

なお （>>38と同様に）
As：=A−I
Bs：=B−I
(積集合A∩B＝Iが与えられている前提だから、これは可能）■

わろた
さすが稀代のバカ

>>42
U＝A∪B　I＝A∩Bね

A∪B−((A∪B-A)∪(A∪B-B)＝A∩B　�@

�@は正しいね

で？

A∪B=A∪((A-A∩B)∪(B-A∩B))　�A

ところで、右辺で∪を２回も使ってるけど、
まだ定義されてないもの使うってどういうつもり？

毎度お決まりの論点先取？

◆yH25M02vWFhP、論点先取がダメって分からないって、ほんとに高校卒業したの？

もし、全体集合Oが使えるんなら

A∪B＝O-(O-A)∩(O-B)　�B

でいけるんですけどね

公理的集合論では、全体集合は存在しないですからね

◆yH25M02vWFhP、全体集合はNGと知ってるくせに、
論点先取はNGって知らないってどんだけ論理知らんの？

現代数学の系譜 雑談は、和集合A∪Bの存在を導くのにA∪Bの存在を前提にするという循環論法をやらかした。

実は過去何度も循環論法をやらかしている。
・選択公理⇒整列可能定理の証明
・実数の構成

ほんと学習できないね　そりゃ大学1年4月に落ちこぼれるわな

高卒◆yH25M02vWFhPにとって、大学数学の壁は絶望的なほど高かった

微分積分、線型代数で落伍した彼に一変数複素解析すら夢のまた夢

>>43-47
ふっふ、ほっほ
さすが、数学科入学１年の１日目の講義で
目を白黒させて 詰んだ男だ
君に欠落しているのは、囲碁でいうところの大局観だよ

１）そもそも 公理的集合論は 素朴集合論があって
　それを公理化しようとするものだ
　（あたかも、古代ギリシャで ユークリッドが 平面幾何を 公理として整理して いろんな定理を証明した如くだ）
２）さて、集合とはなにか？
　簡単にいえば、複数の要素を集めたものだね
　そして 集合A ={a1,a2,a3}、集合B ={b1,b2,b3}
　この二つの集合で 重なりがないとき
　A+B ＝{a1,a2,a3,b1,b2,b3}
　これが 出来ないと 話が始まらない
　（だから これはこれで 公理を設けるとして）
３）問題は AとB に重なりがある場合だ
　集合A ={a1,a2,a3,c1,c2,c3,・・・}
　集合B ={b1,b2,b3,c1,c2,c3,・・・}
　このとき
　U＝A∪B＝{a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,・・・}
　I＝A∩B＝{c1,c2,c3,・・・}
　だよね。具体例としてはね
　これを、抽象的な公理として どう処理するのか？ だね
　そういう問題 だよね
　
さて 繰り返しいうが
・そもそも集合とは 複数の要素を集めたもの
・二つの集合で 重なりがないときに、二つの集合の要素を集めて 一つの集合を作ることは当然可（これができなければ 話は始まらない）
・問題は、二つの集合で 重なりがあるときに、抽象的な公理として どう処理するのか？ そういう問題でだね
・そこで、ZFC公理系においては、和集合の公理をおいたってことだね

追伸
　>>42 U＝I+(As+Bs) ・・(2) の式において
I,As,Bsの３つ どれも重なりを持たない
だから、この場合は 単純に 要素を列挙すれば良いだけ

これを
公理系として どう実現するかを考えれば良い
まず、そこの文献を調べてみな オチコボレさんｗ　；ｐ）

>>48
>そして 集合A ={a1,a2,a3}、集合B ={b1,b2,b3}
>　この二つの集合で 重なりがないとき
>　A+B ＝{a1,a2,a3,b1,b2,b3}
>　これが 出来ないと 話が始まらない
>　（だから これはこれで 公理を設けるとして）

と

>>38
>どちらか一方を公理にすれば、他方は それから導かれるだろう

は矛盾

語れば語るほどボロ出すオチコボレ

>どちらか一方を公理にすれば、他方は それから導かれるだろう
↑
和集合の公理は必須でないと言っている

>　A+B ＝{a1,a2,a3,b1,b2,b3}
>　これが 出来ないと 話が始まらない
>　（だから これはこれで 公理を設けるとして）
↑
和集合の公理は必須と言っている

自己矛盾してることに気づかないの？　頭のネジ足りてなくね？

>>48
> 集合A ={a1,a2,a3}、集合B ={b1,b2,b3}
>　この二つの集合で 重なりがないとき
>　A+B ＝{a1,a2,a3,b1,b2,b3}
>　これが 出来ないと 話が始まらない

◆yH25M02vWFhP はつっこまれると、
その場で過去の発言
「∩を公理にすれば、∪は それから導かれる」
を全否定

参政党の神谷宗幣とかいうエテ公そっくりだな
国粋主義者である点も含めて

初期の集合論における内包公理からはラッセルのパラドックスとなる集合{x|¬x∈x}を構成可能。
そのため公理的集合論では分出公理に置き換える。

和集合の公理が必要な理由は、分出公理で和集合を構成できないため。
[参考]内包公理による和集合の構成
∪X:={x|∃Y∈X:(x∈Y)}

対の公理、無限公理、べき集合の公理が必要な理由も同じ。

尚、
標準的ZFでは分出公理を置換公理に置き換える。
空集合の公理が必要な理由は、置換公理で空集合を構成できないため。
[参考]分出公理による空集合の構成
Xを任意の集合とする。{}:={x∈X|x≠x}

置換公理で空集合を構成できない理由。
置換公理では既存の集合を定義域とする関数の像を集合と定めることで新たな集合を構成可能とする。
定義域の任意の元に対する関数値が必要なため、関数の像が空集合になることはない。よって置換公理で空集合を構成できない。

>初期の集合論における内包公理からはラッセルのパラドックスとなる集合{x|¬x∈x}を構成可能。
>そのため公理的集合論では分出公理に置き換える。

これは豆知識としてよい

>>53
>>初期の集合論における内包公理からはラッセルのパラドックスとなる集合{x|¬x∈x}を構成可能。
>>そのため公理的集合論では分出公理に置き換える。
>これは豆知識としてよい

ID:gP8zJ0yp は、御大か
巡回ご苦労様です
まあ、いつも引用させてもらっている 渕野 Dedekindの無限証明（下記）
20世紀の公理的集合論が、数十年の歳月をかけて 作り上げられてきたことが良く分かります

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf
数理解析研究所講究録 2011
R. Dedekind の数学の基礎付け と集合論の公理化 神戸大 渕野昌
1 「数の理論を扱かう論理学」の基礎付け
R. Dedekind は，19 世紀的視点からの数学の基礎付けという枠組の中で大きな貢献をはたした．

P170
もちろん，無い物ねだり的な指摘をすることはたやすい．彼の時代には，現
代の我々が識るような形式論理はまだ生れてすらいなかった(彼とほぼ同時代
のFrege の研究には形式論理学の萌芽のようなものが見られるが，[3] の第2 版
の前書き(1893)では，Dedekind は，Frege の仕事を後になってからはじめて
知ることになったと書いている). いわんや，形式的推論の体系や，その体系の
完全性，そして不完全性定理に基づく知見は，どう頑張ったとしてもDedekind
の行なった考察の背景にはなり得なかったはずのものである(2).

P172
現代の記法を用いると，自然数の全体は，[3] では，(a) 無限集合Xを1 つとり，
(b) それがDedekind の意味で無限集合となっていることのwitness となっている略
(e)このベースの上で，現在では，デデキント=ペアノの公理系と呼ばれている
自然数の体系(5) の満たすべき基本性質が成り立つことを示し
(特に完全帰納法や再帰法が成り立つことを厳密に示している）
単純無限的体系Nが導入された後，[3] での(d), (e), (f) に関する議論は，
今日の数学のスタンダードから見ても十分に厳密なものといえる．だが，その
前に，ここでまず問題とすべきなのは，そもそも，なぜこのような定義による
単純無限的体系を，Dedekind が，自然数の全体の集合の基礎付けとなると考
えたのかということであろう．

P173
3 無限の存在証明
単純無限的体系によって自然数の全体の体系の基礎付けがなされうるためには，
そもそも無限集合の存在が大前提となる．しかも，これが，「数の理論を扱かう
論理学の部分の基礎付け」としてなされるためには，無限集合の存在が無条件
に証明できなくてはならない．

晩年のDedekind が，無限の存在証明([3] の66.) の残った
ままのテキストをこの再版に回してしまったことの背景だったのではないだろうか．
ただし，Dedekind の名誉のために付け加えておくと，1911 年の時点では，
無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研
究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある．

>>49-52
さて、オチコボレさんたちへ

ブーメランだよ

１）まず、私は >>38で"いま、公理系から離れて 素朴集合論で話をしよう
　素朴な 集合演算を定義する"と 断っているよ
　そして、素朴集合論として
　よく知られる >>42 U＝I+(As+Bs) ・・(2)
　ここに 和集合(英union) U：=A∪B 、積集合（共通部分 英: intersection）I：=A∩B
　を 示した
　だから、和集合U ←→ 積集合I
　和集合U と 積集合I のどちらか一つが分れば、他は それから導かれる と言った
２）そもそもは、>>18の ペアノ公理の自然数の集合論的構成で
　”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
　”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　とあり、私の主張は、こんなところに 積集合の記号∩ を使うのはまずいだろうということだった
　（ja.wikipedia なんて、だれが書いたかわからんし・・）
　そして キミたちが >>49-52で主張するように 和集合の公理で 記号Uの使用は是としても
　ここで 積集合の記号∩を使うならば、まず 記号∩を 他の公理から導かないといけないだろう
　さらに、その上で ”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね
　あなたちは、積集合の記号∩は 集合論として自明だのウンヌンと屁理屈をこねていて それが出来なかったんだよ

詰んだなｗ　；ｐ）

>>55
まだ分かってなくて草　あったまわっるー

>U＝I+(As+Bs)
+って何だい？　和集合だろ？　Uって何だい？　和集合だろ？　和集合を和集合で定義したら循環論法になるって分からない？　あったまわっるー

＞私の主張は、こんなところに 積集合の記号∩ を使うのはまずいだろうということだった
>ja.wikipedia なんて、だれが書いたかわからんし・・
まずいのは、書いた人物で判断しちゃう君
数学的正しさに書いた人物は関係無い

>まず 記号∩を 他の公理から導かないといけないだろう
分出公理から導けますけど？　知らなかった？
∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀Y∈X:(x∈Y)}

>その上で ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね
不要。
君が理解できないのは必要な説明が欠落してるからではなくもっぱら勉強不足だから。

>詰んだなｗ　；ｐ）
うん、君がね

だから言ってるじゃん
アホみたいにコピペぺたぺた貼り付けてないで勉強しないさいと
だからいつまでもアホのままなんだよ君は

勉強なのだろう

>>56-58
ふっふ、ほっほ

ID:gP8zJ0yp は、御大か
巡回ありがとうございます

>勉強なのだろう

いやいや、囲碁でも攻めている方が楽しいものでね ；ｐ）
（”しのぎ”の得意な人は別としてね）

例えば
(引用開始)
分出公理から導けますけど？　知らなかった？
∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀Y∈X:(x∈Y)}
>その上で ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね
不要。
(引用終り)

『不要』は、完全に、誤魔化しですよね
Ｎ大ゼミで 結構経験があったでしょうね

そういえば、院試の口頭試問で「アスコリ＝アルツェラの定理の証明は？」
と聞かれて、「自明だから証明不要！」と言ったら 落とされたという逸話があるそうな

まあ、当然かも
正直に「わかりません。修士に進学して勉強に励みます」くらい言えば、救いがあったかもですね （＾＾

上記『不要』も同じですなｗ
誤魔化し 丸見えです　 ；ｐ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%AA%EF%BC%9D%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%A9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アスコリ＝アルツェラの定理

>>59
何が分からないのか言ってみ？　教えてあげるから
∩の添え字範囲かい？　そもそも無いよ　添え字集合を使ってないんだから有るはずが無いｗ
はい、他には？

>>59
あぁ、何が分からないかが分からないんだね？　そりゃ救い様が無いね
まずは何が分からないか自分に正直にならないと手の差し伸べようが無い

>>62
>問題は、これが 公理的集合論として 自然数の集合Nになっているか
N＝ωは証明済みだから、仮に自然数の集合になってないとしたらωもそうだよｗ

>それについて どの公理を使ったかを明示しながらの証明が必要だよね 公理的集合論としては
君は証明できるかい？　何なら教えてあげようか？

>さて、下記 独仏英wikipedia と Akito Tsuboi 筑波大と 渕野 昌の５者は、∩を使わない。∩を使わないで済ましているよ
だから？

>>63
>分出公理により，N = {n ∈ On : n は自然数 }は集合になる．
それだめｗ
自然数を構成するのに自然数を使ったらダメでしょｗ　君、いつも循環論法やらかすね　頭悪いね
Onとは？

>上記 ”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は、まずいよね。どの公理を使っているかが 不明確だ
無限公理、空集合の公理、対の公理、和集合の公理、分出公理
ぜんぜん明確じゃん　また言いがかり？

>すなおに 上記の５者同様に ∩を使わずに済ませるのが 賢明でしょ！
それってあなたの感想ですよね？　馬鹿に感想を述べる権利は無いよ　馬鹿はトンチンカンな感想しか述べないから

>>62
>>>60-61
>まだ、ぶつぶつ言っているよ、この人ｗ ；ｐ）
ん？　他に分からないことは無いと？　じゃあ「説明要」は言いがかりってことね？

２２世紀には数学者要らなくなるかもな
https://japan.zdnet.com/article/35235749/

バカじゃないのでコピペはしない
コピペをするのはバカ野郎
バカじゃないなら弁解するなよ
弁解するのもバカ野郎

>>62
英wikipediaや坪井氏が書いてることと
N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
が全く同じだと気づけない高卒◆yH25M02vWFhP

∀と∩が実質的に同じであることに気づけない高卒◆yH25M02vWFhP

バカ？

>>66
>２２世紀には数学者要らなくなるかもな
>https://japan.zdnet.com/article/35235749/

ありがとう 見たよ
それ面白いね

ところで、”コピペをするのはバカ野郎”が間違いであることを、”バカ”野郎が指摘しておくよ
１）URLのリンクはしばしば 切れる（時間が経つと リンク切れが増える）
　従って、最低限 表題 著者 出展と日付（年月） は入れておくのが良い（数学論文のリファレンスと同じ）
　そうすれば、リンクが切れても 内容が推察できるし
　キーワード検索で コンテンツを追跡できる
２）昔 いたずらで ブラクラサイトのリンクを貼る人が居たりした
　いまでは、詐欺サイトのリンクだろうか？
　５ｃｈ便所板に 貼ってあるからと 無警戒で URLのリンクを踏むやつは小数だろう
　（URLのリンクを読んで、安全そうかどうかを判断すべし。そのときに、表題 著者 出展の明示があって URLのリンクと一致していれば なおいい）
３）URLのリンク先に飛ぶ価値があるかどうか？（コスパ、タイパの面で）
　その判断のために、要約を兼ねて 若干のコンテンツを コピペしている
　それは、上記の通り 読者のコスパ、タイパのため
以上

>>68
バカがそんなつまらんことしなくていい
なにがコスパタイパだ　クルクルパーめ

>>68 蛇足
>>２２世紀には数学者要らなくなるかもな

１）”数学者要らなくなる”に二つの意味があると思う
　一つは、いま果たしている いろんな場面での数学使いの人について
　数学使いの人 → 数学AIがその代用になる
　もう一つは、職業としての ”数学者要らなくなる”
２）で、この話の前に いま21世紀で 数学AIのスタート地点に我々が居ると仮定しよう
　そうすると、２２世紀の数学者要らなくなる前の時代は
　数学AIと 人間の数学者の共存とか
　あるいは、数学使いの人が アシスタントとして 数学AIを使うとか（これも共存と言えるかも）
　要するに、優秀な数学AIが出現したとして
　しかし、それはあくまで道具としての 優秀な数学AIであって
　道具をうまく使うのは、人のスキルだね（このスキルは、従来の数学とは違うだろうが、重なる部分もある）
３）さて、『２２世紀には数学者要らなくなる』の時代がどうか？
　それは、いろんな 考えがあるでしょうね
　下記の『タイム・マシン』が使えるかもよ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%A0%E3%83%BB%E3%83%9E%E3%82%B7%E3%83%B3_(%E5%B0%8F%E8%AA%AC)
『タイム・マシン』（The Time Machine）は、イギリスの小説家H・G・ウェルズにより、1895年に発表されたSF小説。同名で2回にわたり映画化されている。操縦者の意思と選択によって時間旅行を行う乗り物であるタイムマシンを導入した初期の作品として、本作は高く評価されている。
あらすじ
『タイム・マシン』の主人公は、単純に「時間旅行者」（又は「タイム・トラベラー」 The Time Traveller）と名付けられた科学者である（主人公の本名は最後まで読者に明かされないが、著名な科学者であることは登場人物たちの会話で示唆される）。
以下略

>>69
ありがとう
ご高説は 承った

それって、あなたの感想ですよねｗ by ヒロユキ

>>72
>渕野先生が、間違っている？
知らん。
N = {n ∈ On : n は自然数 }は自然数の定義に自然数を使ってるから循環論法。
それが分からない君が馬鹿なのは知っている。

>分出公理で 記号∩が導けるか まあそうかな
記号じゃなく共通部分な。

>無限公理で存在の保証された集合 x から 0, 1, 2,. . .　を ”分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる”ならば、それで終わりだ
ぜんぜん終わりじゃない。
集合Nを構成したうえでNが自然数全体の集合であることを証明する必要がある（当たり前だが自然数0,1,2,・・・を使ったら循環論法）。
君、できる？　何なら教えてあげようか？

>詰んだな
詰んだのではなく初めから詰んでる。大学一年四月に落ちこぼれたからね、君。

>N = {n ∈ On : n は自然数 }は自然数の定義に自然数を使ってるから循環論法。
この馬鹿は
整列集合のα番目の元aαが選択関数fで定義されてるのに、fをaαで定義すると言ったり
有理数が完備じゃないから実数の構成が必要なのに、有理コーシー列の収束先で実数を構成すると言ったり
和集合の定義に和集合を使ったり
さんざん循環論法をやらかしている。
さすが大学一年四月に落ちこぼれただけのことはある。初めから詰んでいる。

>>72
>>Onとは？
>そこは、渕野先生からの引用部分だ。
自分で引用しておいてOnが何かも答えられないのか？　何のための引用だよｗ
やはり底抜けのバカだなこいつ。

「渕野先生ガー　渕野先生ガー」
↑
バカ

>>75
Onは順序数全体のクラス
>N = {n ∈ On : n は自然数 }
で言うところの自然数の定義は「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」。要するに順序数全体から極限順序数と極限順序数を要素に持つ順序数を除外した残りが自然数ってこと。

引用するなら意味が通るように引用しろよバカ。引用すらまともにできないんじゃAIに完敗じゃねーかｗ

ちなみに
×「nのすべての要素も後続順序数であること」
〇「nのすべての要素も0または後続順序数であること」
だな。実際1={0}のどの要素も後続順序数でない。淵野先生間違えてて草。

で、馬鹿はなんとか先生に感化されて「自然数を構成するにはその前に順序数の構成が必須」と思ってるようだが、それも間違い。
馬鹿は考えずにものを言うからいつも間違える。

間違えるのが悪いわけではない

>>79
>間違えるのが悪いわけではない

下記ですね
1年間間違え続けて、366日
近くの喫茶店 コーヒー タイムが良かったのか
365日の間違いがあっての 366日目のコーヒー タイムだったわけです （＾＾

”失敗は成功のもと”！
「間違えるのが悪いわけではない」
至言です

(参考)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/53/2/53_2_157/_article/-char/ja/
/数学/53 巻 (2001) 2 号/書誌 p. 157-171
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/53/2/53_2_157/_pdf/-char/ja
L2評価式とその幾何学への応用
大沢健夫*)
Ｐ162
Bergman核の評価に関連する懸案の課題であったL2正則関数の拡張問題をこの新しい
方法を応用して解決し,それを竹腰氏との共著論文にしようと決意した.従ってそれ以後は
Wupperta1でこの問題を話題にすることを避け,一人でいるときはひたすらその証明のことを考
えた.
帰国直前に証明を書き,Math.Zeitschrift誌に投稿したが,しばらくしてから証明に欠陥
があることがわかり,撤回した.
それから約一年間生活は荒む一方であり,
その日は5時過ぎ
になってちょっとしたアイデアが浮かび,竹腰氏にオフィスに来てもらって議論した.いつものよ
うに10分もたたぬうちに行き詰まってしまったが,その日は何となく近くに抜け道があるようで
すぐにはあきらめられなかった.とはいえ特に名案が出るわけもなく,ほどなく竹腰氏も立ち去っ
て行った.毎度のことゆえそう落胆もせず,しかし常よりは早めに帰途につき,近くの喫茶店で
コーヒーを飲んだ(そこは6時閉店であった.)するとそのとき,何かの霊顕でもあったかのように
それまでみたことも聞いたこともない式が頭の中に浮かんできた.すべてを氷解させたその式は
P163
定理1.2(大沢・竹腰[O-T-1])Dは

（なぜかP1のみ）
https://www.saiensu.co.jp/preview/2014-4910054691047/201410.pdf
数理科学NO.616,OCTOBER2014
特集/複素解析の視点
複素解析の魔力
大沢健夫
この原稿の締切が気になり出した6月の上旬,
ドイツのマールブルク大学で複素幾何の研究集会
に参加しました。主催者はこの学期で定年退職す
るG.シューマッハー教授で、彼を囲んで旧交を
温め合う、小ぢんまりとした集会でした。
以下略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%B1%E6%95%97%E3%81%AF%E6%88%90%E5%8A%9F%E3%81%AE%E3%82%82%E3%81%A8
『失敗は成功のもと』（しっぱいはせいこうのもと、原題：Designs on Jerry, 1955年9月3日）は『トムとジェリー』の作品のひとつ。

失敗は成功のもと
しかし
口から出まかせはいかなる成功へもつながらない　残念！

そんなことどうでもいいじゃん。ガルーダの火を勝ち得るが最強。

それからチョウザメの殺陣だろ。

その後の俺は陸軍大将第三世代さ。

氷や雪なんか司ってるよ。しかしやはり火かな。日の丸。

そういう意味では数学は異端さ。やはり火から入るのがレベル上等。文系のな。

ハイレベルは火がアツいだろ。

次のトップが出るまで永遠やってるさ。

次は山岳王かなマグマの。

本音、日本、日の丸等…。

数学やるなら文系数学じゃないと火が億度ぐらいあつないさ。

ガルーダチョウザメに討ち取られながら採点してもらうしかねえよ。

次のトップも血縁じゃないが火が属性だと思うよ。

採点すると想定富士の噴火の88ぐらいかな。予想。

まあ太陽系でも地球でもないさ。白鳥に関係あるかもな。

天文という分野が面白いと思う。理系じゃなくてんぶんがく。

だから数学者なんかになる必要ないさ。運命はね。文転したら。

46じゃ地球しか過ぎないし視野を広げてな。

今存在する赤い血統脈じゃないのかな。

リハビリとかは関係あると思うよ。

死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ さん、いつもありがとうございます。
今後ともどうぞ よろしくお願いいたします。

∩恐怖症は治ったかい？

>>102
>∩恐怖症は治ったかい？

ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが まだ動いている
ガハハハッ

　>>72に戻る
(引用開始)
>まず 記号∩を 他の公理から導かないといけないだろう
分出公理から導けますけど？　知らなかった？
∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀Y∈X:(x∈Y)}
>その上で ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね
不要。
(引用終り)

全部 >>72　v)「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
に書いて有る
(引用開始)
　P10（無限公理） 集合 x で空集合を元として含み，すべての y ∈ x に対し，y ∪ {y} ∈ x となるようなものが存在する．
　無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照．
(引用終り)

分出公理については、上記 渕野先生のpdfにもあるが、下記ja.wikipediaが分かり易いだろう
平たくいえば、分出公理＝部分集合を作る公理
で、ZFC公理系では 自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }を作るのに
一旦 無限公理で Nを部分集合として含む 無限集合の存在A(とする)を認めて
Aから、分出公理で部分集合として Nを取り出すという（by 渕野他）

さて、上記 N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} なる式が 自然数の集合N を表すと宣う
問題は、記号∩を導くのに 分出公理を必要とするならば それは冗長だろう！■

補足
なお 単純に 集合N = {0, 1, 2, . . . }のような無限集合を構築することは ZFC公理系では許されない
下記の通り ラッセルのパラドックスなどを防ぐために 無限集合の構築に制限を設けている

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
3. 分出公理図式（内包公理図式）
→詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照
部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される
分出公理は部分集合のみを構築でき、次のように一般的な集合を構築することはできないことに注意せよ：
{x:ϕ(x)}.
この制限は、ラッセルのパラドックス 略 や、ラッセルのパラドックスの変種（無制限の内包公理を含む素朴集合論に関連するもの）を防ぐするために必要である。

>>103
>踏みつけたゴキブリが まだ動いている
自分で引用したOnが何かも答えられなかったゴキブリが何か言っとる

>>103 追加
>さて、上記 N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} なる式が 自然数の集合N を表すと宣う

集合和 記号∩（Intersection (set theory)）が、分出公理を使って導けるとして
さらに 下記en.wikipediaのように 集合族 Ai i=1〜n の 集合和も定義できるが
しかし、そもそも 集合族 Ai が 不明確だと、集合和 ∩i=1〜n Ai も不明確

さらに付言すれば
単純な例示として
A1={0, 1, 2, . . . ,a1}
A2={0, 1, 2, . . . ,a1,a2}
のように、自然数の集合N = {0, 1, 2, . . . }の要素以外に a1,a2 を含んでいるとき
A1∩A2＝{0, 1, 2, . . . ,a1} となって 自然数以外の余計な要素 a1を含むことになる

冗長な記号∩を使って 何をやりたいのか？
そこが、全く イミフｗ　；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory)
Intersection (set theory)
Notation and terminology
The intersection of more than two sets (generalized intersection) can be written as:
∩i=1〜n Ai
which is similar to capital-sigma notation.
For an explanation of the symbols used in this article, refer to the table of mathematical symbols.

>>103
>自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }
>Nを取り出す
いや、自然数が存在しないから構成しようとしてるのに、自然数0, 1, 2, . . .の存在を前提にしたら循環論法って教えてあげたのに言葉が通じないの？　言語障害？　病院行きなよ
君、循環論法好きだねｗ　これで何度目？

>>103
>さて、上記 N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} なる式が 自然数の集合N を表すと宣う
N=ωは証明済みだから、仮にNが自然数全体の集合でないとしたらωもそうだけどなｗ
で、Nでもωでもただ構成しただけじゃ自然数全体の集合であることが示されていない訳だが、君は示せる？　何なら教えてあげようか？

>問題は、記号∩を導くのに 分出公理を必要とするならば それは冗長だろう！
集合族を構成するために用いられる分出公理と共通部分を構成するために用いられる分出公理を混同してるね　頭のネジ足りないんじゃない？

>なお 単純に 集合N = {0, 1, 2, . . . }のような無限集合を構築することは ZFC公理系では許されない
君、自分が何言ってるか分かってる？
ZF上に自然数全体の集合は存在しないと言ってるんだよ？　正気？

>下記の通り ラッセルのパラドックスなどを防ぐために
「下記」は内包公理を使えないと言ってるだけ。
よって
>無限集合の構築に制限を設けている
は大間違い。
実際、有限集合{0}は内包公理を用いて{x|x=0}で構成できない。対の公理を用いて構成できる。

君、集合論ぜんぜん分かってないんだね。
いつも「公理的集合論ガー」「ラッセルのパラドックスガー」「素朴集合論ガー」「無限公理ガー」って言ってるの全部ブラフなんだね。みっともないからやめなよ。赤っ恥かくだけだよ。

>>105
>集合和 記号∩（Intersection (set theory)）が、分出公理を使って導けるとして
和じゃなく積なｗ
事実だから「として」じゃなく「が」な

>さらに 下記en.wikipediaのように 集合族 Ai i=1〜n の 集合和も定義できるが
{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
は添え字付けられた集合族じゃないから添え字付けられた集合族の話を持ち出してもナンセンス。
って教えたはずなのに言葉が通じないの？　言語障害？　病院行きなよ　数学板にいても病気拗らすだけだから

>しかし、そもそも 集合族 Ai が 不明確だと、集合和 ∩i=1〜n Ai も不明確
君が不明確と思うのは、もっぱら集合の内包的表記・一階述語論理を分かってないことが原因。勉強しなきゃ分からないよ？　君は三歳児かい？

>単純な例示として・・・自然数以外の余計な要素 a1を含むことになる
それは君の例がそうなってるというだけのこと。

>冗長な記号∩を使って
冗長は君の誤解。

>何をやりたいのか？ そこが、全く イミフｗ　；ｐ）
イミフなのは君が数学を初歩から分かってないから。それをこちらのせいにされても困る。君は三歳児かい？

こんなオチコボレが
>踏みつけたゴキブリが まだ動いている
とかほざいてるんだから笑えるよね
自分は正しいと思い込んでいて、落ちこぼれたことすら認識できてないｗ

てかさあ君
キーワード既に全部出してるのに、なんで勉強しないの？　なんでそこまで勉強嫌いなの？　なのになんで数学板に来たがるの？
それこそが「全く イミフ」だわｗ

>>104
>自分で引用したOnが何かも答えられなかったゴキブリが何か言っとる

ふっふ、ほっほ
引用ねｗ
おれは、基本 文字選択→コピーコマンド→貼付けコマンド なので
ハンドタイプの”引用”はしないんだ

”Onが何か”？か　（＾＾
　>>72「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
を見ると P44 2.3 順序数 順序数 (ordinals) のクラス On を導入する．次の性質を On が持つことがポイントとなる．
と記されているよ
百回音読してねｗ　；ｐ）

>>106-110
>いや、自然数が存在しないから構成しようとしてるのに、自然数0, 1, 2, . . .の存在を前提にしたら循環論法って教えてあげたのに言葉が通じないの？

ふっふ、ほっほ
上記 渕野のPDF冒頭
”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた際に見つけた typos などの訂正などの update が書きこまれている”
とある。そもそも 東京大学出版会，2007 成書となるときに、十分な校正がされているはず
そのうえ、”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた”とあるので、
君の指摘は、たぶん 誤解・無理解・上滑り じゃないの？
疑問があったら 渕野先生にお手紙書いてね
おっと、その前に 渕野テキストを百回音読してね
きみの ご指摘の点は、きっと 君の勘違いだよ　；ｐ）

>>103
>3. 分出公理図式
なぜ”分出公理”ではなく”分出公理図式”と書かれてるか分かるかい？
この程度をカンニング無しで即答できないようじゃ集合論を語らない方が良い。

>>105
>しかし、そもそも 集合族 Ai が 不明確だと、集合和 ∩i=1〜n Ai も不明確
まず、何度言っても言葉が通じないが、そもそも
M:={x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
は添え字を使っていないから"i"なるものは存在しない。高校生じゃあるまいしなんでもかんでも添え字付けしたがるなよｗ

次に
Aは任意の帰納的集合、{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]はxが帰納的集合であるとき真となる論理式、よってMは「任意の帰納的集合Aの部分集合で帰納的集合であるもの」の全体からなる集合、すなわちAの部分集合族。
この通りまったく明確。君が分からないだけであって「不明確」はとんでもない言いがかり。

この程度で落ちこぼれてるようじゃとてもじゃないが数学は無理なので諦めた方が良い。
てか君、大学1年4月に授業についていけず落ちこぼれたんでしょ？　なんで数学板なんぞへ来たがるの？　君の無教養さじゃ来てもまったく無意味だよ

>>111 追加

ZFCが urelement（下記）
を持たない 集合論であることは、しばしば 看過される
日常の集合論は、urelementを常用するので その感覚で ZFCの公理系を見ると イミフになる

上記 渕野(>>111)にも 同様の注意書きがある
P8
"公理的集合論では，考察の対象はすべて集合である，と考える．したがっ
て，以下で「ある x について ...」と言ったときには， 「ある集合 x につい
て ...」という意味である．"

"集合論の公理系の一番最初の公理は，すべての集合はその要素の全体から
一意に決まることを主張する次のものである：
（外延性公理）略．
ZFC の他の公理は，すべて，「集合 x1, x2, . . . が与えられたとき，これらか
ら ... という性質を持つ集合を作ることができる」というタイプの主張（存在公理）となっている．”

これらを あたまに叩き込んでおきましょう！　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E5%85%83_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
原始元 (集合論)
原始元(英語: urelement ドイツ語の接頭辞 ur- は「原始的な」を意味する)とはオブジェクトであってそれ自身は集合でないが、集合の要素には成り得るもののことである。原始元は原子、アトムとも呼ばれることがある。また、日本語文献でも翻訳せずにurelementのまま用いられることも多い。原始元は空集合とは異なるものである
集合論における原始元
1908年のツェルメロ集合論の論文では原始元が含まれており、これが今日ZFAやZFCA (すなわちZFAに選択公理を加えたもの)と呼ばれるものの一種である。[1] 公理的集合論と密接に関連する文脈では、集合論は原始元を持たない理論で簡単にモデル化できるので、原始元は必要ないことがすぐにわかった。[2]したがって、公理的集合論ZFとZFCの標準的な説明では、原始元については触れていない（例外については、Suppes[3]を参照）。
集合論の公理化であって原始元を呼び出すものには、原始元付きクリプキ＝プラテック集合論や、メンデルソンによって記述されたフォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論の変形がある。[4]
型理論では、型0のオブジェクトを原始元、アトムと呼ぶことができる。
新基礎集合論(NF)に原始元を追加してNFUを生成する試みは、驚くべき結果をもたらす。
略

>>111
>ハンドタイプの”引用”はしないんだ
引用しなくても「順序数全体のクラス」って答えられるじゃんｗ　言い訳にすらなってなくて草

”Onが何か”？か　（＾＾
だから「順序数全体のクラス」だってｗ　Onを引用した君が答えられなかったから代わりに答えてあげたじゃん　言葉通じないの？　言語障害？

ちなみになぜ集合ではなくクラスとなってるか分かるかい？　当然カンニング無しで即答できるよね？

>>いや、自然数が存在しないから構成しようとしてるのに、自然数0, 1, 2, . . .の存在を前提にしたら循環論法って教えてあげたのに言葉が通じないの？
>上記 渕野のPDF冒頭
>”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた際に見つけた typos などの訂正などの update が書きこまれている”
>とある。そもそも 東京大学出版会，2007 成書となるときに、十分な校正がされているはず
>そのうえ、”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた”とあるので、
君がテキストの中身を理解してないだけのこと。実際Onが何であるかすら答えられなかったじゃん君ｗ
「自然数の構成において自然数の存在を前提にしたら循環論法」は厳然たる事実。どんな言い訳も通用しない。

>>113 追加

さて、その上で

日本語
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%92%8C%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
和集合の公理
　↓
仏語
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_la_r%C3%A9union
Axiome de la réunion
和集合の公理
（google訳）
和公理（または「和公理」）は、ツェルメロ＝フランケル集合論（ZF）の公理の一つである。これは、任意の集合Aに対して、集合Aの要素集合のすべての要素のみを含む集合が存在することを述べている（文脈は、すべての対象が集合であり、特にA が集合の集合である場合の理論の文脈であり、そうでない場合は明示的に指定する必要がある）。
この公理は、部分集合の公理と置換公理スキーム（ツェルメロ理論Zのペアの公理を証明するもので、したがって ZF では冗長）の助けを借りて、2 つの集合の和集合（両方の集合の要素を正確に含む）が集合であることを証明することを可能にします。
　↓
英語
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_union
Axiom of union
Relation to Pairing
The axiom of union allows one to unpack a set of sets and thus create a flatter set. Together with the axiom of pairing, this implies that for any two sets, there is a set (called their union) that contains exactly the elements of the two sets.

Relation to Intersection
There is no corresponding axiom of intersection. If
A is a nonempty set containing E, it is possible to form the intersection
∩A using the axiom schema of specification as
∩A={c∈E:∀D(D∈A⇒c∈D)},
so no separate axiom of intersection is necessary.
(引用終り)

＜補足＞
１）和集合の公理においても、
　仏語 fr.wikipedia にあるように
　”集合Aの要素集合のすべての要素のみを含む集合が存在することを述べている（文脈は、すべての対象が集合であり、特にA が集合の集合である場合の理論の文脈であり、そうでない場合は明示的に指定する必要がある）”
　ということ
　つまり、和集合の公理は 基本は集合Aが含む集合族（集合Aが無限の要素集合の族からなるとして*)）の
　要素集合の族の全ての要素を集めて、集合を作って良いということを主張する
２）また英語 en.wikipediaにあるように
　Relation to Pairing で、対の公理で 集合AとBとで ペア{A,B}を作って 和集合公理を使うと
　A∩B が出来ます
３）さらに、Relation to Intersection つまり 集合積との関係についても
　上記の通りですが、
　ひらたく言えば 集合Aが 集合族D1,D2,・・Di・・から成るとして
　つまり A={D1,D2,・・Di・・} として
　集合族D1,D2,・・Di・・ の 集合積が、和集合の部分集合として 定義できるのです
　だから、”so no separate axiom of intersection is necessary”なのです

注*)もちろん、集合Aが有限の要素集合の族からなるとしても 同様です

>>113
何を言い出すかと思えばまったくトンチンカンなことをｗ

>ZFCが urelement（下記）を持たない 集合論であることは、しばしば 看過される
誰も看過も否定もしてなくて草
ZFにおいてurelementの規定も無ければ存在公理も無いんだから当たり前じゃん　存在公理が無くてどうやって存在を証明すんだよｗ

そもそもurelementが問題となる話題なんてぜんぜんしてないのに突然urelementを持ち出すのがまったくトンチンカン
君、頭だいじょうぶ？

>"集合論の公理系の一番最初の公理は，すべての集合はその要素の全体から
>一意に決まることを主張する次のものである：
>（外延性公理）略．
>ZFC の他の公理は，すべて，「集合 x1, x2, . . . が与えられたとき，これらか
>ら ... という性質を持つ集合を作ることができる」というタイプの主張（存在公理）となっている．
はい、大間違い。
反例：正則性公理、選択公理

君、集合論全然分かってないね。ズタボロだね。

>>116
踏みつけた ゴキブリが、まだ動いている
元気なやつだなｗ ；ｐ）

(引用開始)
>"集合論の公理系の一番最初の公理は，すべての集合はその要素の全体から
>一意に決まることを主張する次のものである：
>（外延性公理）略．
>ZFC の他の公理は，すべて，「集合 x1, x2, . . . が与えられたとき，これらか
>ら ... という性質を持つ集合を作ることができる」というタイプの主張（存在公理）となっている．
はい、大間違い。
反例：正則性公理、選択公理
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
また、勘違いしているよ ゴキブリさんｗ

『ZFC の他の公理は，すべて，「集合 x1, x2, . . . が与えられたとき，これらか
　ら ... という性質を持つ集合を作ることができる」というタイプの主張（存在公理）となっている．』
の部分は、”渕野(>>111)にも 同様の注意書き”（>>113）だよ
引用元を書いてあるでしょ？

そこに 頭突きしたら ”岩に頭突き”しているのと
同じだよ
そこ ”テッパン”だよ

疑義があるならば、渕野先生にお手紙書いてあげてねｗｗｗ ；ｐ）

>>115
誰も一言も否定してないことを長々と書いてて草　まったくトンチンカン
君、ほんと言葉のキャッチボールができないね　自閉症かい？　病院行ったら？

>集合族D1,D2,・・Di・・ の 集合積が、和集合の部分集合として 定義できるのです
大間違い。
和集合である必要は無い。実際、
>∩A={c∈E:∀D(D∈A⇒c∈D)}
のEは
>A is a nonempty set containing E
とある通りE∈AであってE=∪Aではない。
E⊂∪Aだからもちろん∩A={c∈∪A:∀D(D∈A⇒c∈D)}としても良いが。

>>118
>引用元を書いてあるでしょ？
なんの根拠にもならない。
実際、なんとか先生のpdfに間違いがあっただろ？　指摘してあげたのに言葉が通じないのかい？　言語障害？　病院行きなよ

>反例：正則性公理、選択公理
を否定したいなら、それらの公理について実際に
>「集合 x1, x2, . . . が与えられたとき，これらか
>ら ... という性質を持つ集合を作ることができる」というタイプの主張（存在公理）となっている
ことを示す以外に無い。はい、示し切ってみて。
示せなければ間違いを認めるしかないね。君の一番の苦手だけどねｗ

>間違いを認めるしかないね。君の一番の苦手だけどねｗ
箱入り無数目が10年経っても終息しないのは、もっぱら君に間違いを認める器量が無いことが原因。
自分が正しいと思い込む性格（精神病？）を治さない限り君に数学は無理。

「なんとか先生のpdfに書いてあるから絶対正しい」
↑
それ数学になってないよ。数学に向き合うにあたって一番ダメな姿勢だよ。だから大学1年4月に落ちこぼれたんだよ。

>>80 戻る
>”失敗は成功のもと”！
>「間違えるのが悪いわけではない」

・ガウスも間違えた（下記）
　代数学の基本定理の証明の学位論文で
　後世から見て ギャップがあったという。が、歴史的重要性は 色あせない
・リーマン ディリクレの原理
　証明なしにつかって ワイエルシュトラスによって 批判されたが、後 ヒルベルトにより正当化された
　が、歴史的重要性は 色あせない
・新しいところでは、ワイルズ フェルマー最終定理。途中 間違いを指摘されたが、修正され 論文は出版された
・望月IUTも同様

数学の歴史は、間違いの歴史でもあるのです
「間違えるのが悪いわけではない」
至言です　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
代数学の基本定理
注釈 1^ ガウスの最初の証明は幾何学的な前提としてジョルダン曲線定理が暗黙で使われており、後年の観点からは不備がある

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
ディリクレの原理
歴史
純粋数学への応用はリーマンによってはじめて行われた。彼は複素解析の基礎づけのためにこの原理を証明もなしに使用して、リーマン面上の関数の存在定理を証明したが、後にカール・ワイエルシュトラスによってギャップが指摘された。その後、ダフィット・ヒルベルトが再定式化したことで、ディリクレの原理は正当化され

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
しかし同(1993)年9月、証明に1ヶ所誤りが含まれていることが判明した。1年後の1994年9月19日、ワイルズは彼自身が「今までの職務においてもっとも重要な瞬間」と呼ぶアイデアを得た

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 IUT
2012年10月、ヴェッセリン・ディミトロフとアクシェイ・ヴェンカテシュにより「エタール・テータ関数が素数"2"で分割する悪い場所においては正しく機能しなくなる」障害に基づく数値的な有効性の指摘があった

関連研究
2022年7月
ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読論文が、東京工業大学が編集する数学論文誌Kodai Mathematical Journalに掲載された。この結果により、宇宙際タイヒミュラー理論によるフェルマーの最終定理の新たな証明を得たとしている

>>123
>「間違えるのが悪いわけではない」
>至言です　；ｐ）
しかーーーーし　口から出まかせは悪い
口から出まかせ癖を治さない限り数学は無理だよ君

>>123
>”失敗は成功のもと”！
失敗は成功のもとだが、口から出まかせは何の成功のもとでもない
君の間違いの原因は口から出まかせだから君はいかなる成功へもたどり着かない　実際君は大学1年前期を乗り越えるという極々小さな成功すらたどり着かなかった

>>123
>ガウスも間違えた
じゃ余計に
>”渕野(>>111)にも 同様の注意書き”（>>113）だよ
は何の根拠にもなってないじゃんｗ　馬鹿丸出しｗ

>>111
>上記 渕野のPDF冒頭
>”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた際に見つけた typos などの訂正などの update が書きこまれている”
>とある。そもそも 東京大学出版会，2007 成書となるときに、十分な校正がされているはず
>そのうえ、”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた”とあるので、
>君の指摘は、たぶん 誤解・無理解・上滑り じゃないの？

反例：
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ。

長々と書いた君の推察は完全に間違いであることが立証されますた。

今日も大惨敗のオチコボレさん
もう数学板に書き込まない方が良いのでは？　わざわざ赤っ恥かくことないでしょうに

オチコボレさんへの助言
分かってないのに分かってる振りはやめた方が良いよ　赤っ恥かくだけだから
数学板に書き込まなければ赤っ恥かかなくて済むよ　そうしたら？

踏みつけた ゴキブリが、まだ動いている
元気なやつだなｗ ；ｐ）

>>128-129
>分かってないのに分かってる振りはやめた方が良いよ　赤っ恥かくだけだから

それ、ゴキブリくんだろ？ｗ　；ｐ）

>>127
(引用開始)
ID:gZ1LykHx
>>111
>上記 渕野のPDF冒頭
>”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた際に見つけた typos などの訂正などの update が書きこまれている”
>とある。そもそも 東京大学出版会，2007 成書となるときに、十分な校正がされているはず
>そのうえ、”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた”とあるので、
>君の指摘は、たぶん 誤解・無理解・上滑り じゃないの？
反例：
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ。
(引用終り)

それ、下記だね
　>>72「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf

ここに、目次
第 2 章 公理的集合論の展開 .... 29
2.1 整列順序 ... 30
で
(引用開始)
Ｐ44
2.3 順序数
順序数 (ordinals) のクラス On を導入する．次の性質を On が持つこと
がポイントとなる．
(2.13) On は真のクラスで，推移的で14)，∈ に関し整列順序となってい
る15)．
(2.14) 各順序数 α は，（推移的な）集合で，（∈ により）整列されている．
(2.15) 任意の整列順序集合 ⟨X, <⟩ は，一意に決まる順序数 ⟨α, ∈⟩ と順序
同型となる．
これらの性質，特に最後の (2.15) により，順序数の全体のクラスは，すべて
の整列順序集合のクラスの（順序同型に関する同値類の）自然な代表元を集
めたクラスとみなせる．

P48
順序数 α が極限順序数でないとき，後続順序数であるという．
極限順序数の概念を使って自然数の全体の集合 N を定義することができ
る： n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべて
の要素も後続順序数であること，とできるからである．
補題 2.22 (1) 自然数の要素は自然数である．
(2) 集合 X を ∅ ∈ X ですべての y ∈ X に対し y ∪ {y} ∈ X となるよ
うなものとすると，X はすべての自然数を含む．

補題 2.22, (2) でのような X は無限公理により存在するから，分出公理により，
N = {n ∈ On : n は自然数 }
は集合になる．また，補題 2.22, (2) により，p.10 で導入した 0, 1, 2,. . . は N
の最初の方の要素になっていることがわかる．
(引用終り)

さて、上記”反例：
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ。”

において
0以外の任意の自然数n（n≠0）の後続順序数はn+1であって、上記 y ∪ {y} の記号を借用すると
n+1：＝n ∪ {n} と略記できるよね
そして、n（n≠0）の前後続順序数は n-1であって、
n：＝n-1 ∪ {n-1} と略記できる
なので
『実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ』は、イミフ 言葉のサラダだね

>>131 タイポ訂正

そして、n（n≠0）の前後続順序数は n-1であって、
　↓
そして、n（n≠0）の前順序数は n-1であって、

分ると思うが （＾＾

>>114
>だから「順序数全体のクラス」だってｗ
>ちなみになぜ集合ではなくクラスとなってるか分かるかい？

それ、wikipediaにあったな
初学者のために 引用しておく

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする写像 G A,< を超限帰納法によって
G A,< (a)={GA,<(x)∣x<a} ＊）
と定義したとき、GA, < の値域 ran(GA, <) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]
注＊）この式は、原文では”A,<”の部分が 小さい文字の下付添え字になっているのだが 5ｃｈ 便所板では こんな落書きの式になってしまうのです。是非原文をご覧あれ

脚注
2^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という “同値関係” によって類別したとき、順序集合 (A, <) の “同値類” を (A, <) の順序型 (order type) と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。
したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B
順序型（order type）とは、全順序集合同士の "型" を比較するために、その構造のみに注目することによって得られる概念である
非公式な定義
二つの全順序集合 (A, <A), (B, <B) が同型のとき、(A, <A) と (B, <B) は全く同じ "型" をしていると言える
略

正式な定義
上の説明では type(A, <A) をきちんと定義したことにはならない。なぜなら、全順序集合の "型" とは何かが定義されていないからである。(※) をみたすようにすべての全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) を定義する方法として、まず次のようなものが考えられる。それは、(A, <A) と同型な順序集合全体の集合を type(A, <A) と定義する方法である
このように定義すれば (※) が成り立つことが示せるので何の問題もないように思えるかもしれない
だが、この方法には一つ大きな欠点がある
それは、A が空集合でない限り (A, <A) と同型な順序集合全体の集合というものは存在しないことが（集合論の公理から）示されるということである。
つまり、そのような集まりは 大きすぎるため集合になることができないのである。したがって上のような仕方で type(A, <A) を定義することはできない。そこで、この方法を少し修正して次のように順序型を定義する：
略

>>133 補足

順序数を考えたのは カントールで
カントールは、上記のように 順序型 (order type) をベースに
順序数の理論を構築したのです

ところが、ラッセルのパラドックスとかが出て
集合概念を抑制的にして パラドックスを割け
公理的に組み立てられるものだけを
集合としようという 公理的集合論が出た

公理的集合論では、素朴集合論で 扱われていた 大きすぎる対象（つまり 集合公理からはみ出す対象）
は、クラスとして 扱うことになったのです
（つまり、素朴集合論で扱っていた大きすぎる集合は、公理的集合論ではクラスと呼ばれる）

渕野先生の本では、紙数の制限で カントールによる順序数をベースに ここを軽く流すために
『順序数はクラス』としたのでしょうね ；ｐ）

>>134 タイポ訂正

集合概念を抑制的にして パラドックスを割け
　↓
集合概念を抑制的にして パラドックスを避け

分ると思うが　（＾＾

>>130
>>分かってないのに分かってる振りはやめた方が良いよ　赤っ恥かくだけだから
>それ、ゴキブリくんだろ？ｗ　；ｐ）
どのレスでそう思ったか具体的に
また口から出まかせ？

>>131
>『実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ』は、イミフ 言葉のサラダだね
馬鹿ですか？
順序数nはnより小さい順序数全体の集合だから0以外の任意の順序数は要素として0を持つ。
例　1={0},2={0,1},3={0,1,2},・・・
よって
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。

こんな簡単な間違いに気づかないだけならまだしも教えても分からないようじゃ数学なんて到底無理だからあきらめな

>>133
まったくトンチンカン
そもそも1行で答えられる問題に何十行使ってんだよ

>>134
>渕野先生の本では、紙数の制限で カントールによる順序数をベースに ここを軽く流すために
>『順序数はクラス』としたのでしょうね ；ｐ）
何十行も長々と書いて出した答えはまったくトンチンカン
君、ぜんぜん分かってないんだね

>>134
>集合概念を抑制的にして
抑制の具体的内容は？　特に抑制されるものとされないものの境界は何？

>公理的集合論では、素朴集合論で 扱われていた 大きすぎる対象（つまり 集合公理からはみ出す対象）
>は、クラスとして 扱うことになったのです
>（つまり、素朴集合論で扱っていた大きすぎる集合は、公理的集合論ではクラスと呼ばれる）
はい、大間違いです。
クラスとは何らかの数学的対象の集まりです。集合は要素の集まりだから当然クラスです。集合ではない（＝その存在がZF上で証明できない）クラスは真のクラスと呼ばれます。

>>134 追加
下記 渕野 昌
”ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生”
「数理科学」2022年6月号拡張版 が、面白く また 参考になるだろう

https://fuchino.ddo.jp/index-j.html
渕野昌
[22.07.14]『数理科学』2022年6月号特集に掲載された論説 「ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生」のpdfファイルをupdateしました．出版社との約束で，本文が白紙になったものをしばらく置いてあったのですが，ほとぼりがさめたので，可読なヴァージョンで置き換えてあります

https://fuchino.ddo.jp/misc/hausdorff-x.pdf
特集／集合・位相の考え方—数学の基礎をなす概念—
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
—現代，ないし(仮想的) 近未来の視点からの考察
本稿は「数理科学」2022年6月号特集に寄稿した論考の2024年12月17日の時点での拡張版
本稿の最新版は，https://fuchino.ddo.jp/misc/hausdorff.html から download できます．この拡張版には，寄稿記事では，ページ数の制限のために割愛した引用文の原文が含まれています．また，最新版には，寄稿後の修正/拡張も，含まれてい (る可能性があり) ます
目次
1. 今，なぜ，ハウスドルフなのか . . . . . 1
略
P8
ハウスドルフは，フォン・ノイマ
ンの 1920 年代の順序数の基礎付けの研究に気がつい
ていなかったようである．その結果として，順序型の
同値クラス (これは真のクラスになってしまう) のカ
ノニカルな代表元を順序数や基数と定義する，とい
うフォン・ノイマンの発見したトリックを
[Hausdorff 192716)] で採用できず，関連する箇所の記述がもたつい
たものになっている ∗18）．しかも，現代の集合論に翻
訳して考えると，ここでは，同値類が真のクラスにな
るような同値関係での同値類の代表元をとる，という，
もうひとひねり加えないとうまく実現できない ∗19）こ
とを，あたかも実行できているかのように扱って議論
しているので，基礎付けが完全でないものになってしまっている．

Ｐ11
以上，スッペスの [Suppes 195731)] を除くと，どの
教科書も，論理体系への言及は全くなく，順序数や
基数については，[Suppes 196032)] を除くと，どれも，
それを読んだだけでは，整合的な導入ができるのか
どうかは，不明な書き方になっている ∗23）．筆者は，
2007年に行なった学部学生向けの講演で，順序数と
超限帰納法に関連する話題に触れたときに，同席さ
れていた上野健爾先生から，「それはきちんと定式化
できるものなのですか」と質問されて面喰った記憶
がある．しかし，彼が，ここで挙げたような教科書
で「集合論」を習っていたのだとすると，そのよう
な感想が出てきたとしても，何の不思議もないと言
えるかもしれない．順序数や基数については，[彌永
200218)] の 38 ページに「濃度や順序数の一般論はそ
の後それほど利用されることもなく，進展もなかった」
と書かれるなど，(日本では?) 今だに，無理解と継子
扱いに曝されているようである．

参考文献
18) 彌永昌吉: ガロアの時代ガロアの数学，第二部 数学篇，
シュプリンガー・フェアラーク東京 (2002)

順序数全体の集まりはクラスの定義に合致するからクラスです。
しかし集合ではありません。
その理由を君は全然分かってないと。なら公開掲示板で集合論語らない方が良いのでは？
君は「分からない問題はここに書いてね」への質問以外投稿すべきでない。分をわきまえるべき。

>>137
(引用開始)
>『実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ』は、イミフ 言葉のサラダだね
馬鹿ですか？
順序数nはnより小さい順序数全体の集合だから0以外の任意の順序数は要素として0を持つ。
例　1={0},2={0,1},3={0,1,2},・・・
よって
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。
こんな簡単な間違いに気づかないだけならまだしも教えても分からないようじゃ数学なんて到底無理だからあきらめな
(引用終り)

・ブーメランですよ
　その「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
　は、>>131より 「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
　より『P48
　順序数 α が極限順序数でないとき，後続順序数であるという．
　極限順序数の概念を使って自然数の全体の集合 N を定義することができ
　る： n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべて
　の要素も後続順序数であること，とできるからである．』
　の通りで、渕野昌先生の 東京大学出版会の記述で しかも これを神戸大の講義で使ったという
・別に、権威に盲従しろとは言わないが
　もっと、慎重になるべきと思う
　百回音読して なお 渕野昌先生の間違いと思うならば
　渕野昌先生にお手紙書いてね
（だけど、私は君の方の勘違いに、100ペソ賭けるよｗ　；ｐ）
・なお、関連で >>141 渕野昌 数理科学』2022年6月号特集の拡張版PDFをアップしておいた
　これも読んで 勉強してくれたまえｗ　；ｐ）

>>141
なんか検索したらこれ引っかかりましたーー的な？
何十行も長々と引用して「この印籠が目に入らぬかあああ」って言いたげだけど全然トンチンカンだよ
１行でズバり答えてよ

>>143
>順序数 α が極限順序数でないとき，後続順序数であるという．
はい、大間違いです。
実際、順序数0は極限順序数でも後続順序数でもない。

>>142
>順序数全体の集まりはクラスの定義に合致するからクラスです。
>しかし集合ではありません。

ふっふ、ほっほ
そっから、勘違いのオチコボレさんか？ｗｗ　；ｐ）

下記『「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する』などを
百回音読してねｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
クラス (集合論)
クラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。
「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。
例えば、ツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。
（どのような定式化を選んだとしても）「全ての集合の集まり」はクラスである。（ZF では厳密な言い方ではないが）このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。
集合論以外の文脈では「クラス」を「集合」の同義語として使うこともある。
この用法はクラスと集合が現代的な集合論の用語法に基づく区別をされていなかった時代からある。
19世紀以前の多くの"クラス"に関する議論は集合のことを指していた、もしくはもっと曖昧な概念を指していた。
この意味でのクラスは「級」という訳語を当てることがある（たとえば滑らかさのクラスの C1-級など）。

>>143
>n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべての要素も後続順序数であること，とできるからである．』の通りで
え？？？？？？？？
君、1={0}を否定するの？　0の前者は存在しない、すなわち0はいかなる順序数の後続順序数でもないことを知らないの？
君、順序数の初歩の初歩から分かってないんだね　ありゃりゃー

>>146 補足

誤：順序数全体の集まりはクラスの定義に合致するからクラスです
　↓
正：順序数全体の集まりは、現代数学では （どのような定式化を選んだとしても）集合の定義に合致しないから真のクラスである

>>146
>そっから、勘違いのオチコボレさんか？
何をどう勘違いしてると思ったのか具体的に言ってみて

>『「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する』
順序数全体の集まりが集合でない理由とまったく関係無くて草
そんな必死にごまかそうとしなくてもｗ

>>148
>正：順序数全体の集まりは、現代数学では （どのような定式化を選んだとしても）集合の定義に合致しないから真のクラスである
だからその理由を出題してるんだけどｗ
なんでそんな必死にごまかそうとするの？

驚いたね。
1={0}。0は後続順序数でない。
たったこれだけの事実から
>n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべての要素も後続順序数であること，とできるからである．
は否定される。
こんな簡単なことも理解できないとは。。。さすが稀代のバカと呼ばれるだけのことはある。

今までも何度も驚かされてきたが、今日という今日は度肝抜かれた
ここまでバカだったとは

>>147
(引用開始)
>n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべての要素も後続順序数であること，とできるからである．』の通りで
え？？？？？？？？
君、1={0}を否定するの？　0の前者は存在しない、すなわち0はいかなる順序数の後続順序数でもないことを知らないの？
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
　>>143 より再録
「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
　より『P48
　順序数 α が極限順序数でないとき，後続順序数であるという．
　極限順序数の概念を使って自然数の全体の集合 N を定義することができ
　る： n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべて
　の要素も後続順序数であること，とできるからである．』

ここで、渕野先生
『n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべての要素も後続順序数であること，とできる』
　この解釈は
　↓
”n は 0 または (0以外の)後続順序数で (0以外の)n のすべての要素も後続順序数であること”
の略記じゃね？
まあ、”0は例外扱い”は常識（＝デフォルト）ですがなｗｗ

きみ、その指摘を 渕野先生にお手紙書いてねｗ
そして、その返事をここにアップしてくれたまえｗｗ　；ｐ）

>>153
わろた　「０以外の」の追加が必要なら間違いってことじゃねーかｗ

で、なんとか先生も間違うんだから、なんとか先生が言ってたからーは理由にならんってことだろ？
さっさと>>120に答えてよ　君が間違いと言ったんだからよろぴくね

>>153 追加訂正

”n は 0 または (0以外の)後続順序数で (0以外の)n のすべての要素も後続順序数であること”
　↓
”n は 0 または (0から誘導される)後続順序数で (0から誘導される)n のすべての要素も後続順序数であること”

が正確かもね
下記 順序数で
”ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく・・”
となっているので

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の極限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は“永遠に”続いていくのである。

>>154
>さっさと>>120に答えてよ

　？>>120
>反例：正則性公理、選択公理

なんのこっちゃｗ
下記を百回音読してね
（両方とも、渕野先生は「・・存在する」と規定されていますｗ）
あと、先回りして 言っておくが
集合論では、関数or写像も集合に直せるよ（下記。google AIに、教えて貰えｗ）

>>143 より再録
「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
P15
（基礎の公理） 空集合でない任意の集合 x に対し，y ∈ x で，どんな
z ∈ x をとってきても z ∈ y とならないようなものが存在する．
上で y のようなものを x の ∈ に関する極小元とよぶことにする．
基礎の公理から，すべての集合 z に対し z ∈ z とはならないことがわかる．

Ｐ16
（選択公理） 空集合を要素として含まないような任意の集合 x に対し，
x から ∪x への写像 f で f(z) ∈ z がすべての z ∈ x に
対し成り立つようなものが存在する．
このような f は，集合族 x の一つ一つの要素 z から z の「代表元」 f(z)
を選び出す関数となっている．選択公理は AC と略記されることが多い．

google検索：集合論では、関数も集合
AI による概要（AI の回答には間違いが含まれている場合があります）
はい、集合論では関数も集合として定義されます。より正確には、関数は、ある集合から別の集合への対応を、特定の条件を満たす要素の集合として表されます。この対応は、関数のグラフとして知られています。
関数とは:
関数とは、ある集合（定義域）の各要素に対して、別の集合（値域）のただ一つの要素を対応させる規則のことです。例えば、"x を2倍する"という関数は、定義域の各数に、その数の2倍の数を対応させます。
公理的集合論:
公理的集合論では、集合を定義する際に、要素の存在や集合の包含関係などを規定する公理を用います。関数も、これらの公理に基づいて集合として定義されます。

>>155
>”n は 0 または (0から誘導される)後続順序数で (0から誘導される)n のすべての要素も後続順序数であること”
だから大間違いだと何度言わせるんだよ
1={0}の要素に後続順序数なんて無いだろが
どこまでバカなの？

>>155
>下記 順序数で
>”ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく・・”
>となっているので
ωより大きい後続順序数は極限順序数ωを要素に持つから除外されるだろが　「0から誘導される」とかワケワカランアホ条件はいらねーんだよ
どこまでバカなの？

>>156
※
>「集合 x1, x2, . . . が与えられたとき，これらか
>ら ... という性質を持つ集合を作ることができる」というタイプの主張（存在公理）となっている
「作ることができる」だから、インプットx1, x2, . . .を具体的に与えたとき、作られる集合も具体的でなければならない。

>P15
>（基礎の公理） 空集合でない任意の集合 x に対し，y ∈ x で，どんな
>z ∈ x をとってきても z ∈ y とならないようなものが存在する．
>上で y のようなものを x の ∈ に関する極小元とよぶことにする．
>基礎の公理から，すべての集合 z に対し z ∈ z とはならないことがわかる．
これは、空でない集合は∈に関する極小元を持つものだけに限られるという主張で、集合に制限を課している。
例えば、
x={{}}のとき、{{}}の元は{}のみで¬{}∈{}だから、{{}}は∈に関する極小元{}を持つ。よって{{}}は基礎の公理を満たし、よって集合である。
x={x}のとき、{x}の元はxのみでx∈xだから、x={x}は∈に関する極小元を持たない。よってx={x}は基礎の公理を満たさず、よって集合でない。
以上の説明から分かる通り基礎の公理は※に合致しない。

>Ｐ16
>（選択公理） 空集合を要素として含まないような任意の集合 x に対し，
>x から ∪x への写像 f で f(z) ∈ z がすべての z ∈ x に
>対し成り立つようなものが存在する．
>このような f は，集合族 x の一つ一つの要素 z から z の「代表元」 f(z)
>を選び出す関数となっている．選択公理は AC と略記されることが多い．
選択公理は選択関数（集合論では集合）の具体的内容について何も主張していない。よって※に合致しない。

>なんのこっちゃｗ
集合論ちんぷんかんぷんの君にとってはなんのこっちゃだろうねｗ

>あと、先回りして 言っておくが
>集合論では、関数or写像も集合に直せるよ
上記の通りまったくトンチンカン。

>159

>>集合論では、関数or写像も集合に直せるよ
>まったくトンチンカン。

一昔前の大学の授業ではそう教えられていたのだが

>>160
間違いと言ってるのではない
ズレてると言ってるのである　トンチンカンってそういう意味だろ？
だからそこだけ切り抜いての君のコメントもトンチンカン

集合に直せる。はいその通り。集合論の常識。実際「選択関数（集合論では集合）」って書いてるじゃん。
しかしそのことは今ぜんぜん論点ではない。
論点は
>「集合 x1, x2, . . . が与えられたとき，これらか
>ら ... という性質を持つ集合を作ることができる」というタイプの主張（存在公理）
であるか否か。
そして選択公理は否。なぜなら具体的集合x1を与えても選択公理はいかなる具体的選択関数（集合論では集合）も作らないから。

論点がズレてるからトンチンカンと言った。お分かりかな？

>>141 追加引用

岡潔先生とハウスドルフの集合論
について、追加引用

https://fuchino.ddo.jp/misc/hausdorff-x.pdf
特集／集合・位相の考え方—数学の基礎をなす概念—
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
—現代，ないし(仮想的) 近未来の視点からの考察 渕野 昌
本稿は「数理科学」2022年6月号特集に寄稿した論考の2024年12月17日の時点での拡張版

Ｐ3
本稿のもとの表題「ハウスドルフと位相空間論の誕
生」は，『数理科学』の編集部から提案されたものだっ
たのだが，この提案を書き記した email を受けとっ
たときに，真っ先に頭をよぎったのは，岡潔の次の
ような逸話だった: [高瀬 200433)] にもあるように，岡
潔が奈良女子大で教えることになったとき，彼は，講
義の準備のために，ハウスドルフの「集合論」を読み
込んでいる．高瀬氏によると34)，これは，昭和 24 年
(1949) のことで，読んだのは 1927 年版の [Hausdorff
192716)] だった，ということである．このとき，岡潔
が選んだのが，その当時から 20 年以上も前に出版さ
れた [Hausdorff 192716)] だったのは，なぜだったのか？
というのは，筆者が長年抱いていた疑問だった (高瀬
さんに聞くまでは，読んだのは，てっきり，[Hausdorff
191415)] の方だと思っていたので，不思議の感はより
大きなものだった)．この疑問に関連する話題につい
ては，第 4 節で触れることになる．

P10
4. 数学の教科書としての，[Hausdorff 191415)]
と，[Hausdorff 192716)]

以下略

数学のあらゆる対象を集合で論じましょう、あらゆる定理の前提となる公理系を整備しましょう
ってのが集合論のコンセプトやからねえ　当然関数も集合だわな
実際 f:X→Y＝{<x,y>∈X×Y|∀x∈X:(∃y∈Y:(y=f(x)))} やな

ちなみに置換公理では関数クラスという考えが用いられていて、関数クラスは
「論理式 ∀x∀y∀z((φ(x,y)∧φ(x,z))→y=z) を満たす開論理式φ(x,y)の集まり」
と定式化されている。
置換公理はこのφをパラメータとする公理図式（つまり無限のバリエーションを持つパラメータ値と公理が1対1対応）。

つまり、ZF公理系はクラスを規定していないからクラスを使うことはできないが、特に関数クラスについては、集合論がその基礎とするところの一階述語論理の言葉で書き下すことで、クラス概念を用いている。

どや、おもしろいやろ？　どこぞのコピペバカとは一味も二味も違うやろ？

∀x∀y∀z((φ(x,y)∧φ(x,z))→y=z)　の意味分かる？
f:X→Y は X×Yの部分集合な訳だが、「任意のx∈Xに対し、xの写像先f(x)∈Yが唯一存在する。」という意味。
この「唯一」の条件を満たさないX×Yの元はfの元にはなり得ませんよという意味。

唯一存在だから0個存在でも2個存在でもダメ。それが関数の特性。中学で習ったやろ？

論理が分からない、論理式を読めないどこぞのコピペバカはそこらへんチンプンカンプンなのよ
だから聞きかじりしかできない
だからちょっと会話すると途端にボロが出る
そして持論の正しさはもっぱら引用で立証しようとする　引用元が正しい保証なんて無いのに　馬鹿でしょ？ｗ　間抜けな水戸黄門かよｗ

>1の雑談は実数論で同値関係の
概念や線型代数の|・|≠0の意味ができない、中学過程から落ちこぼれ。
レベルは渕野のいうところの、数学の基礎づけでなく基礎(数学)から全くできないレベル。
結局レスこじきの炎上商法で数学でも物理でもない望月語のトンデモIUTにすがりつき罵倒コピペ中毒あらしの日々、、なぜかmath jinを尊敬している。
相手にすると時間の無駄

>1の雑談は実数論で同値関係の
概念や線型代数の|・|≠0の意味ができない、中学過程から落ちこぼれ。
レベルは渕野のいうところの、数学の基礎づけでなく基礎(数学)から全くできないレベル。
結局レスこじきの炎上商法で数学でも物理でもない望月語のトンデモIUTにすがりつき罵倒コピペ中毒あらしの日々、、なぜかmath jinを尊敬している。
相手にすると時間の無駄