以下、nは自然数の値を取るとする。
(1) P: ∀n, p(n)は、Pが正しいなら、n=1, 2, ...の場合を試しても永久に証明できない
(2) P: ∃n, p(n)は、Pが正しいなら、有限回で証明が終わる
数学の証明で非自明なものは、大別すればこの2パターンしかない。
(1)を証明するには、無限回の証明を有限回で行う道具が必要になる。たとえば、数学的帰納法など。
(2)を証明するには、問題から一部の情報を取り出す必要がある。たとえば、剰余をとるなど。
(1)
たとえば、1 + 2 + ... + n = n (n + 1)/2 を証明したいとする。
n = 1, 2, ... の場合をすべて確かめても証明できないが、数学的帰納法を使うと、有限のステップで無限個のケースを証明できる。
極限に関する定理や、コンパクト性などの有限性に帰着させるもの、普遍性を用いるものなどはこのパターン。
(2)
たとえば、a^2 - 3b^2 = 2を満たす整数の組(a, b)が存在しないことを示したいとする。
これも、(a, b)の組を全部試すわけにはいかない。しかし、両辺を3で割ったあまりを考えれば解ける。
このほか、二つの対象が同型でないことを示すのに不変量を比較したり、別の対象への射を考えてみるなども、このパターン。
数学の証明で「気付き」や「テクニック」が必要なのは、この2パターンしかない。
あとの部分は、定義や仮定を自明に変形しているだけ。
ためしに、ヒルベルトの基底定理を見てみる。
以下の補題を使う。
Lemma1:
ネーター環R上の有限生成加群はネーター加群
これの証明には以下の補題を使う。
Lemma2:
R加群の列
0 → M' → M → M'' → 0
が完全とすると、Mがネーター加群⇔M', M''がネーター加群。
これは簡単に示せる。
Lemma1の証明:
M = Σ_{i=1}^n R mi とする。nに関する機能法で示す。
n = 1のときは、M ～ R/ann(m1)なのでネーター。
n-1まで正しいと仮定する。
N = Σ_{i=1}^{n-1} R miとおくと、完全列
0 → N → M → M/N → 0
を得る。Nと、M/N ～ Rmn/N∩Rmnは仮定よりネーターなので、Lemma1よりMもネーター。□
Theorem:
Rがネーター環⇒R[X]はネーター環
証明:
I⊂R[X]をイデアルとする。IがR[X]上有限生成であることを示す。
J⊂Rを、Iの多項式の最高次の係数になる元全体とする。JはRのイデアルになる。
Rはネーター環なので、Jはa1, ..., an∈Rで生成される。各i = 1, 2, ..., nに対して、aiを最高次の係数に持つIの元が存在するので、それをfi∈Iとおく。また、d = max{deg(fi)}とする。
f = bX^m + (低次の項)∈Iを任意の多項式とする。もし、m > dなら、b = Σri ai (ri∈R)の形だから、f - Σrifi X^(m-d)の次数はdより小さくなり、しかもIに入る。
つまり、R加群として
I = (R + RX + ... + RX^(d-1))∩I + ΣR[X] fi 。
(R + RX + ... + RX^(d-1))はネーター環R上有限生成なので、Lemma1よりネーター加群。よって、そのR部分化群(R + RX + ... + RX^(d-1))∩IもR上有限生成。その生成元とf1, ..., fnを合わせると、IのR[X]上の生成元になる。□
ヒルベルトの基底定理の非自明な箇所は
(1) Lemma1
(2) RのイデアルJの構成
(3) Iをd次未満の部分と、fiで生成される部分の分ける部分
あたりだろう
(1)はパターン1, (2), (3)はパターン2だと思う
試験問題なんかで出た場合は、たいていパターン2のほうが難しい
パターン1は使える道具が限られているから、それで解けるなら数撃てば当たる
これなどは典型的なパターン2だと言える。
問題:
Gを群とする。Gの指数有限の部分群は指数有限の正規部分群を持つことを示せ。
回答:
H⊂Gを指数有限の部分群とする。
GのHによる剰余類の集合
G/H = {H = g1H, g2H, ..., gnH}
へのGの作用を
(g, giH) = ggiH
で定めると、n次対称群Snへの群準同型
φ: G → Sn
が得られる。
KerφはGの正規部分群で、準同型定理より、G/Kerφ～Imφ⊂SnなのでKerφは正規部分群。
g∈Kerφなら、gg1H = gH = Hなので、g∈H。よって、Kerφ⊂H。
死ぬ瞬間 キュブラーロス 死ぬ回数 ソフィーダンテ。
Sylowの定理の証明を読んだが、これも群論一般で使える道具が、群作用くらいしかないから、まあべつに空でも思いつけるな
>>1 証明には数学的帰納法とその他がある。と良い手るだけだぬ(´・ω・｀)
間違っちゃいないけど、ざっくり過ぎて「お…おぅ…」としか…
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