数学基礎論・数理論理学　その15 [転載禁止]©2ch.net ->画像>26枚

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1 ：１３２人目の素数さん：2014/11/11(火) 07:58:05.25: 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
http://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その14

http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752/
2 ：１３２人目の素数さん：2014/11/11(火) 08:39:16.09: 979 ：１３２人目の素数さん：2014/11/08(土) 22:17:14.16
カリー化って何のためにするの？その利点は何なの？

980 ：１３２人目の素数さん：2014/11/09(日) 00:21:57.35
>>979
値が何でもすべてが1変数関数として扱える

981 ：１３２人目の素数さん：2014/11/09(日) 20:29:57.54
>>980
ありがとう。
だけど、すべてが1変数関数として扱えるとなにがいいの？
カリー化することのデメリットはなに？
3 ：１３２人目の素数さん：2014/11/11(火) 08:40:40.45: 926 ：１３２人目の素数さん：2014/10/11(土) 01:39:14.02
ShelahとWoodingとかを考えたときに
Shelahがforcingに詳しいと言うのは、恰も、
F1レーサーとマシンメカニシャンではレーサーの方が
エンジンの事をよく知っていると言うような話で大変一面的だと思う

972 ：１３２人目の素数さん：2014/11/05(水) 00:54:35.88
>>926
フォーシングのマシンメカニシャンって誰・どういう人たち？

976 ：１３２人目の素数さん：2014/11/06(木) 18:00:33.78
>>972
横からだがたぶんウディンとかってことじゃ？

977 ：１３２人目の素数さん：2014/11/06(木) 22:37:51.93
どっちかというと
シェラーの方がマシンメカニシャンで
ウディンがレーサーじゃないかなあ

978 ：１３２人目の素数さん：2014/11/06(木) 23:04:54.30
どうして？
独立命題という(ZFC主義者にとっての）ゴミを取り除いていって
ZFCからの真理を探そうとするところは気質的にはそうかもね
4 ：１３２人目の素数さん：2014/11/11(火) 08:44:51.68: 918 ：１３２人目の素数さん：2014/09/25(木) 23:41:48.83
最近の基礎論ってどんな感じのことがはやってんの？
arxivとかみて

920 ：１３２人目の素数さん：2014/09/25(木) 23:56:23.95
>>918
一流誌に近いのはJournal of Symbolic Logicとか
Annals of Pure and Applied Logicとか
Notre Dame Journal of Formal Logicとかになるのかなあ

954 ：１３２人目の素数さん：2014/11/01(土) 06:16:27.59
>>920
アメリカ数学会の提供しているMCQ(直近5年の被引用率)によると
論理の雑誌で0.4を超えているのは以下の2つ

Journal of Symbolic Logic
Annals of Pure and Applied Logic

0.3台の（2流雑誌？）が

Bulletin of Symbolic Logic
Archive for Mathematical Logic
Journal of Mathematical Logic

ノートルダムは0.2台の三流雑誌だ
5 ：１３２人目の素数さん：2014/11/11(火) 08:48:59.21: 955 ：１３２人目の素数さん：2014/11/01(土) 11:03:50.21
哲学とか数学の雑誌の評価するときにIFとかMCQとか持ちだすのは何だかなあ、と思う

象牙の塔の典型例みたいな学問だからね

956 ：１３２人目の素数さん：2014/11/01(土) 16:26:04.88
Journal of Mathematical Logicって
ロジックにも高IFの雑誌を作ろうという意図があったと聞いたが。
引用される頻度で見る限りその企て失敗していたんだな。

959 ：１３２人目の素数さん：2014/11/01(土) 20:56:10.30
>>955
そういう指標と関係なしに
「APALとJSLがツートップで、AMLとかBSLがそれに続く」というのは
分野の誰もが認めることじゃないかな？
MCQはその共通認識に合致しているみたいだから
個人的に信用できると思ったのだが。

975 ：１３２人目の素数さん：2014/11/06(木) 12:04:33.02
>>959
長い論文ではAPALが最高峰で
短い論文についてはJSLが最高峰と聞くが？
そういう住み分けがあるんじゃない？
（短くてAPALに載った論文とか
長いJSLの論文がしょぼいってことはないんだろうけど）
6 ：１３２人目の素数さん：2014/11/11(火) 08:50:19.01: 965 ：１３２人目の素数さん：2014/11/04(火) 21:18:42.37
ま、ぶっちゃけ、ペアノ数論みたいにテキトーな自然数の定義しといて、
無矛盾だと、無矛盾性が証明できない、ああ困った、とかいうのは、
なんつーか、自業自得というか、身から出た錆といえなくもない。

966 ：１３２人目の素数さん：2014/11/04(火) 21:48:22.46
じゃあ>>965がまず
適当じゃない自然数の定義をお願い

974 ：１３２人目の素数さん：2014/11/06(木) 07:06:28.91
>>966
第二不完全性定理を避けるなら、最後の数が必要だね。
「ｎが自然数なら、ｎ＋１が自然数」というような形じゃ
どうしようもない。
7 ：１３２人目の素数さん：2014/11/11(火) 08:56:31.08: ランダムな整数を一つ選ぶ方法
8 ：１３２人目の素数さん：2014/11/11(火) 15:07:30.82: >>3 (前スレ976-978)
トポスとか算術強制法の専門家がマシンメカニシャンなんジャマイカ
とか言ってみるテスト
9 ：１３２人目の素数さん：2014/11/11(火) 21:33:27.47: 確かに集合論ではメカニズムを理解せずに
フォーシングをブラックボックスとして使う人が多いから
そういうのはメカニシャンではなくレーサーと言えるかも知れないけれど、
シェラハとかウディンとかはちゃんと理解して使っていると思う。
10 ：１３２人目の素数さん：2014/11/11(火) 22:36:02.41: 糞論あげ
11 ：１３２人目の素数さん：2014/11/11(火) 22:38:59.24: >>10
俺様の測度と積分論
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1328713470/
12 ：１３２人目の素数さん：2014/11/12(水) 18:21:11.94: よくは知らないんだけど
算術強制法は弱強制関係と強強制関係の間を行き来したり
強制法がうまく働くギリギリのところでやっている印象があるから
メカニズムを理解しないで使いこなすのは難しいだろうね
13 ：１３２人目の素数さん：2014/11/13(木) 00:05:09.42: あるポピュラーな数学誌の今月号に次のような記述があった。
著者は結構な専門家なのだが一寸したケアレスミスなんだろな？
１．形式体系の重要な性質に健全性と完全性がある。
自然数を含む形式体系は、不完全性定理により、完全ではない。
２．健全性とは証明された定理が必ず正しいことを保証するもので、
矛盾を導かないことである。健全性は、モデルを与えることで
保証できる。
14 ：１３２人目の素数さん：2014/11/13(木) 19:48:02.33: >>9
一流のレーサーはエンジンの仕組みは
それなりに理解してるんじゃないかと
15 ：１３２人目の素数さん：2014/11/13(木) 21:53:23.48: 科学史研究という学会誌に渕野さんのデデキントの翻訳の紹介があり、
訳自体は褒めていたが解説については痛いところを突いていた。
16 ：１３２人目の素数さん：2014/11/13(木) 22:16:38.19: 前スレ926は、
一流レーサーが一流メカニシャンとは限らない
（というか両者はまず一致することはない）
と言いたかったんだろうね。
17 ：１３２人目の素数さん：2014/11/13(木) 23:32:34.13: >>13
書誌情報をkwsk

>>15
痛いところをkwsk
18 ：１３２人目の素数さん：2014/11/14(金) 08:36:51.96: http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1414583446/

1 ：１３２人目の素数さん：2014/10/29(水) 20:50:46.27
1963年，Paul Joseph Cohen により
ZFCと連続体仮説は独立であることが証明された．
然し現代数学に於いては選択公理の真理値を真とすることが自然であるように
数学的プラトニズムの立場から連続体仮説の真理値を決定することは重要である．
Kurt Gödel，William Hugh Woodin の様に真理値を偽と信じる専門家もいる．
そんな連続体仮説について議論するスレ．

4 ：１３２人目の素数さん：2014/11/01(土) 10:46:46.53
くるるさんの記事を読む限りでは偽とするのが自然のようだが。

8 ：１３２人目の素数さん：2014/11/05(水) 08:12:54.48
>>4
偽とするのを自然と思っているのは集合論者だけで
モデル論者は連続体仮説は真だと思っているらしい。
基礎論外でも真と思ってる方が多数派じゃないかな。

9 ：１３２人目の素数さん：2014/11/07(金) 21:27:49.45
証明論者や再帰論者はどう考えているの？

11 ：１３２人目の素数さん：2014/11/12(水) 09:14:12.00
>>4, >>8
Woodinは宗旨替えしていまは連続体仮説は真だと言っているらしいぞ

12 ：１３２人目の素数さん：2014/11/12(水) 21:23:10.33
>>11
ウッデンは「究極のL予想」というのを出しているらしい。
究極のLというからには、連続体仮説は真になるのだろう。
19 ：１３２人目の素数さん：2014/11/14(金) 09:44:43.75: >>13
初心者の後学のために、どこがおかしいか教えてチョンマゲ。
20 ：１３２人目の素数さん：2014/11/14(金) 17:37:28.10: グロタンディーク追悼スレ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1415948070/
21 ：１３２人目の素数さん：2014/11/14(金) 21:03:57.36: むかし>>1のテンプレを書いたものですが、
「素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として」
は
「集合論・解析学等の数学の基礎付けなどを動機として」
に変えた方が良いと思います。
前スレの571にも根拠を書きましたが。

しかし、巨星落つ、ですね
22 ：１３２人目の素数さん：2014/11/14(金) 21:12:22.22: >>21
>集合論・解析学等の数学の基礎付けなどを動機として
「解析学」ははずして
23 ：１３２人目の素数さん：2014/11/14(金) 21:46:01.29: うーん、、

集合論は直接にはFourier展開の研究とかから生まれています。
またFregeは数学の論理の形式化の試み以外に、
実数論や自然数論の定式化なども行っています
（Frege全集の目次とかで確認できるかと）。

当時PeanoとかDedekindとかが、自然数や実数を特徴付ける
形式的な公理系を立てて議論をしようとした事は、、やはり数学史的には
解析学の基礎付けを目指す流れと同源のものだと思うんですけどね。
ジャキントの「確かさを求めて」はそういう立場で記述してありますし、
それ以外でも当時の数学史について書いた本はだいたい
解析学の時代、Fourier展開の発見→解析学の厳密化→集合論の誕生
という感じの流れになってると思います。

あと抽象代数研究の流れとかもありますが。
幾何学に関しては、あまり関連が深いとは言えないですね。
24 ：１３２人目の素数さん：2014/11/14(金) 22:01:34.90: >>23
非ユークリッド幾何学が数理論理学の動機付けと無関係とは到底思えない。
また射影幾何学の双対原理は数学基礎論の萌芽と言われている。
25 ：１３２人目の素数さん：2014/11/14(金) 22:02:20.86: ベールの範疇定理てどうやって証明するの？
26 ：１３２人目の素数さん：2014/11/15(土) 06:25:57.31: たとえばLevyのBasic Set Theoryには載っとるんじゃよー
27 ：23：2014/11/15(土) 06:36:37.14: >非ユークリッド幾何学が数理論理学の動機付けと無関係とは到底思えない。
それは実は同意です。
ボヤイ・ロバチェフスキー→ヒルベルト「幾何学基礎論」の流れで
ヒルベルトの公理観数学観に多大な影響を及ぼした可能性は強いと思います。
幾何学の本流とどのくらい接点があるかというと若干微妙ですが。

あと20C初頭のドイツは非常に爛熟しかつ頽廃した空気が漂っており、
当時のドイツのインテリゲンツィア層には時代背景として
何かしらの危機感のようなものがありました。
もともと数学者であったフッサールも一時期、論理学や算術の哲学などに興味を持ち、
「ヨーロッパ諸学の危機と超越論的現象学」などという本も著しています。

第一次世界大戦→ドイツの敗戦、市民生活の悪化
→ワイマール共和国体制の構築とナチスドイツによるその実質的崩壊
という歴史的流れも絡んで、なんだか訳の分からない時代精神が流れています。

林晋さんなども調べれば調べるほど訳が分からなくなる、みたいなこと仰ってた気が。
28 ：１３２人目の素数さん：2014/11/15(土) 08:39:32.12: そういえば物理も古典力学と電磁気学では
説明の付かない現象がいろいろ見つかってきて
逆二乗則の指数は実は2じゃなくて2.00000000032くらいなんじゃなかろうか
みたいな末期的な論文が発表されたりしてた時代ですね

古典力学と電磁気学の黎明期に関する本とか
近代とドイツ精神　http://www.amazon.co.jp/dp/4896420128
こういう本読むと結構新しい発見がありそう。
29 ：１３２人目の素数さん：2014/11/15(土) 09:55:58.60: >>27
射影幾何学の方はコメントなし？
30 ：１３２人目の素数さん：2014/11/15(土) 10:01:53.77: 私はそっち系の話題はよく知らんので。
語りえぬものについては、沈黙しなければなりません。
それは決して、それが重要ではない、と思っている訳ではないのです。

と思ったけどパスカルの定理とかブリアンションの定理とか
デザルグの定理の自己双対とかそこらへんですかね。
ちょっと時代遡りますけど、確かに少しメタな視点に移行する為の萌芽にはなりますよね。
31 ：１３２人目の素数さん：2014/11/15(土) 18:07:39.86: テンプレについて議論があるようだけど
前スレの実績（2年もった）から推し量ると
次スレ立てるのは2年後だよ。
いま議論しても忘れられるだけじゃないかな。
32 ：１３２人目の素数さん：2014/11/15(土) 23:30:46.73: というか、前スレ571にテンプレ改訂案を書いたのを、
書いた本人の僕も忘れてました

また次も忘れるでしょう（笑
33 ：１３２人目の素数さん：2014/11/16(日) 09:15:45.74: 前にも話題になってたけど、
専門家の間で連続体仮説の真偽はどう理解されているの？
ウッディンが真と主張しているのなら
「偽と考えるのが主流」とはいえなくなったように思うんだが。
34 ：１３２人目の素数さん：2014/11/16(日) 09:23:41.53: まず偉い誰々がこう言ってるからこれが正しい、という思考をやめよう
自分がいかに稚拙でも、まず自分の頭で考えることだ

話はそれからだ
35 ：１３２人目の素数さん：2014/11/16(日) 13:00:58.61: 俺には>>33は「専門家はみんな偽と考えている」と得意げに語ってた連中への皮肉・当てつけだと理解したが。
連中はどこ行ったんだ？
36 ：１３２人目の素数さん：2014/11/16(日) 13:46:21.13: 超大家になると主流からズレたことを自信を持って言えるようになる。(ただし正しいとは限らない。)
だから大家が言ってるから主流ではないとは言えない。
37 ：１３２人目の素数さん：2014/11/16(日) 15:43:32.88: >>36
必死だなｗ
38 ：１３２人目の素数さん：2014/11/16(日) 15:49:21.20: ageさん、いつも短文で横入り、ご機嫌ですね。
39 ：36：2014/11/16(日) 15:58:38.02: >>37
実勢に則したレスだと思うんだけど
志村五郎の本に書いてある彼の意見が数学界の主流の意見ではないのはいい例
40 ：１３２人目の素数さん：2014/11/16(日) 17:19:19.29: >>39
うん
だからおもしろい
41 ：１３２人目の素数さん：2014/11/16(日) 17:33:34.51: >>40
必死だな
42 ：１３２人目の素数さん：2014/11/16(日) 17:35:30.96: とりあえず面白いって言っておけば余裕アピールできるやろ
という打算が透けて見える
43 ：１３２人目の素数さん：2014/11/16(日) 19:49:07.53: とりあえず、結論として連続体仮説が真とか偽とか言う前に
もっと基礎的な所をきちんと理解すべき
44 ：１３２人目の素数さん：2014/11/16(日) 19:50:30.42: 感想をいえばいいんだよ
45 ：１３２人目の素数さん：2014/11/17(月) 10:08:35.77: 「ウデンが集合論界の超大家」はその通りだけど
「志村五郎が数学界の超大家」には異議ありだな

数学界の大家の中では小物だろ
46 ：１３２人目の素数さん：2014/11/17(月) 14:39:49.30: >>13
数セミ2014年12月号53ページ
47 ：１３２人目の素数さん：2014/11/17(月) 14:42:13.86: >>15
「訳者が紹介したい事柄が主題で、そのとりかかりとしてデデキントを扱うのならば、書名も構成も改めなくてはならないだろう。」
48 ：１３２人目の素数さん：2014/11/17(月) 15:02:36.36: >>47
ワロタ
49 ：１３２人目の素数さん：2014/11/17(月) 21:04:25.99: 「『専門家はみんな偽と考えている』と得意げに語ってた」ときにこそ
>>34や>>43みたいなレスは出てくるべきなのに
今まで出てこなかったのはなんでなんだろうか

「専門家は～」みたいな話は眉唾だって教訓だな
50 ：１３２人目の素数さん：2014/11/17(月) 22:32:06.80: 「みんな」が眉唾なだけで後は正しいんじゃないの
そりゃ本人から直接聞いた訳じゃないから伝聞情報だけど、
集合論の最先端なんてそんなもんだ
51 ：１３２人目の素数さん：2014/11/18(火) 15:41:48.24: >>46
12月号って三角関数の特集だけど？タイポ？
書誌情報には、著者と記事のタイトルも書くもんだ
（タイポがあった場合に修正のとっかかりになる）
52 ：１３２人目の素数さん：2014/11/18(火) 16:04:48.56: ４６君ではないが４６の内容で正しいよ
「ケプラー予想の計算機による証明と検証について」という記事だ
53 ：１３２人目の素数さん：2014/11/18(火) 16:19:19.13: >>52
サンクス
54 ：１３２人目の素数さん：2014/11/18(火) 19:11:59.49: なんか、あからさまに間違ってなくて
むりやり解釈しようと思えば出来てしまう所が何ともモニョるな。

九工大と九大の先生の記事みたいだけど、
こういう記事見るにつけても、東大や九大とかにも
ロジック専攻の教授職を一匹分置いとくと便利だと思うけどなあ。
名古屋東北は既に割と強力な勢力があるけど。
55 ：１３２人目の素数さん：2014/11/18(火) 21:10:12.81: 通信手段の発達した現代において
同じ学内でも交流がなければ同じこと
56 ：１３２人目の素数さん：2014/11/18(火) 23:41:05.41: >>54
あからさまに間違ってるんじゃない？
よくある間違いでもあるからケアレスミスではなさそうだ。
57 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 00:28:46.40: 完全性は統語論的完全性の事だと一応言えるでしょ。
>自然数を含む形式体系は、不完全性定理により、完全ではない。
これも「無矛盾ならば」が抜けているとか言えば言えるけど、
そんなことで叩くのはちょっと本質的ではない気がする。
58 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 07:54:13.87: >>57
無矛盾性と健全性の混同はどう擁護する？
59 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 09:28:24.65: >>57
いやいやそんなことじゃなくてｗ
２種類の「完全性」の典型的な混同。
>>58
その混同もある。
60 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 10:10:58.43: >>59
わかったけど、もっと大きな話をしようぜｗ
61 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 13:18:58.74: 細かく言えば間違いとはいえ大枠としては大体正しいから
不完全性について素人の間違いをあげつらう一部の(twitter上の?)人々のように
批判する気にはならないけれど、
著者が数学者となると話は別だ。

たとえロジックは専門ではないのかもしれないが
専門用語は（専門外であっても使うのならば）きちんと定義に基づいて使うというのは
数学者として最低限の能力でありマナーだろう。

それが出来ていないのだから、数学者失格と言っていい。
62 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 13:23:08.31: 相手にされないからといってこんなところで文句いっても
63 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 15:06:03.95: あんなひどい文章でも、結構、擁護する人がいるもんだなｗ
確かにツイッターとは随分雰囲気違うね
64 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 18:45:38.62: >>58
あ、ホンマや
65 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 19:08:01.51: >>61
その通り。
しかし、
>細かく言えば間違いとはいえ大枠としては大体正しいから
これは違う。「大体正しい」なんてことはない。
66 ：ISIS参加しようとするも逮捕されますた＞＜：2014/11/19(水) 20:26:06.47: >>23
お前すごくね？
数学にも哲学にも詳しいな　すげーわ
かなりIQ高そうだし数学できるんだろうな
今度強制法おしえてくんね？ぜんぜんわからなくて泣いてる

>>61
さすがにそれはなくね
まー雑誌に書いちゃうのはまずいけどね、読んだ人の影響かんがえると
しかし数学者失格とか他人を断罪できる立場にあるか自分のポジション考えてみな
もっちーの件にしろハーツホーンにしろ揚げ足しかとれてないのが基礎論住人の現状だから

ちぇけらっちょ　ぷんしゅかぷんしゅか
67 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 20:35:01.15: 「揚げ足を取る」の使い方が間違ってますよ
68 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 21:16:19.75: 原文は見ていないが>>13の記述を信用すると
1.については完全性を「標準モデルで真ならば証明可能」と理解すれば正しいし、
「\Pi^0_1完全」のように実際にこの意味で完全性を使う場合もある。
（この意味の完全性を「健全性と完全性」と並べることがあるかは疑問だけどね。）
2.は厳密には>>58の言うように擁護のしようがないけれど
健全性は固定した意味論（広義のモデル）での妥当性が演繹で保存されることで
無矛盾性はその意味の健全なモデルの存在として定義することもある。
69 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 22:00:49.34: >>68
1.ぐずぐず言ってるが、早い話それが>>59のいう２つの完全性の混同だよ。
なお、標準モデルだけで真な命題が証明可能にはなり得ないし、
「健全性と完全性」と並べる完全性はどちらの完全性であるかも自明なことだ。
2. これは擁護してるのしてないのどっちだ？
70 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 22:15:03.55: >>69
誰も本気で擁護しようとなんてしていないでしょ。
擁護派も「黒に近いけど、黒とは断言しづらい」くらいにしか言ってない。
71 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 22:36:30.78: >>69
>>59のいう2つの完全性は
意味論的完全性と統語論的完全性（否定完全性ともいう）であって
>>68の「標準モデルで真ならば証明可能」という完全性はそれらとはまた別だよ。

>>68
その完全性で考えるのなら、
並べられる健全性も「証明可能ならば標準モデルで真」と解釈すべきでは？
モデルを与えることでどうして保証されるのか分からなくなるけど。
72 ：１３２人目の素数さん：2014/11/19(水) 23:16:54.07: >>71
>並べられる健全性も「証明可能ならば標準モデルで真」と解釈すべきでは？
そういう妙に緩い「健全性」って意味あるんでしょうか？
73 ：１３２人目の素数さん：2014/11/20(木) 07:16:11.40: >>72
君にとって意味あるかどうか知らないが
新井先生の論文にはそういう意味の「健全」が使われていたと思う
74 ：１３２人目の素数さん：2014/11/20(木) 11:15:39.94: 2つの完全性の混同つって騒いでいた香具師が
実は3つの完全性を2つに混同していたってオチかｗｗｗ
75 ：１３２人目の素数さん：2014/11/20(木) 12:05:58.23: 仕方ないよ、2つの異なる完全性があることはこの界隈では有名だけど
3つ目の完全性はあんまり言及されることがないから
（田中一之先生の本なんかには出てくるけど）
この界隈のカキコ見て物知りになった気になってるだけの奴には。

それでも>>68はきちんと定義書いているんだから
「数学者として最低限の能力でありマナー」があれば
最初の2つとは違うことくらい分かるだろ、と思うけど。
76 ：１３２人目の素数さん：2014/11/20(木) 15:19:26.02: >>62
著者達がエゴサーチしたときに掛かるように名前を晒しておく

溝口佳寛：
https://twitter.com/ym9658

田上真：
https://sites.google.com/site/tagami77/
77 ：１３２人目の素数さん：2014/11/20(木) 15:38:33.56: 自分の名前じゃないのかよw
78 ：１３２人目の素数さん：2014/11/20(木) 16:22:48.08: >>76
二人でやりあえよ（笑）
79 ：1/3：2014/11/20(木) 21:13:20.11: >>66
北の大学の数学科の方？

別に私も強制法をマスターした訳ではないけど。
書いてる事に確証は無いので参考までに。参考にするのは自己責任ということで。

強制法はたぶんJech読んだ方が要らない事書いてないから分かりやすい。
それから、定理が言ってることや定理の仮定や諸定義の意味がだいたい掴めたら
細かい論理のチェックは最初は読み飛ばしても良いと思う。

Kunenは細か過ぎるから最初は辞書的に使うと良いかも。
全部読むのには結構な根気と時間が要る。

あとKanamoriのCohen and set theoryとか
CohenのThe discovery of forcingとかいろいろ読んでみたら理解が深まる気がする。
80 ：2/3：2014/11/20(木) 21:13:50.01: 強制法は
Cohenの方法→ブール値モデル（Scott、Solovay、Vopenka）→Shoenfield式の定式化
という感じで定式化が変わってきている。

Cohen自身の強制法はよく知らんけど、たぶん
最初の→はvan Dalenいうところのesoteric→didactically soundという感じの変更だと思う。
一方で二つ目の→はprofane→sacredという感じの「強化」がされてる気がする。

Boole値モデルは、多値論理のアナロジーを取る方法。Jechはこのやり方。
付け加えたい対象からposet P とそのposet topologyを考えて、
その正則開集合全体の為す完備ブール代数 B = ro(P) を作り、
真偽値を増やしてM^Bを考えた後、
さらに真偽値をgeneric (ultra)filterで割って二値に潰す"俗"な方法。
ultrafilterを使った超準モデルの作り方とかを知ってるとこれは分かりやすい。
代数学で習う極大イデアルで割る操作とほぼ同じ類の操作。

一方で普通の教科書に書いてあるShoenfield流の方法は
syntax/semanticsのアナロジーを取って
一種のオラクルのような述語を一つ加えてやる事で新しい性質を持つ
モデルを考える方法、みたいな感じだと思う。
こっちは私はあまりきちんと知らんのだけど、
Mの中でM[G]の性質が（p∈Gかどうか以外）"ほぼ"分かることが数学的に大事だ、
とか言うのはこっちの流儀で学ばないとたぶん理解できないことだと思う。
81 ：3/3：2014/11/20(木) 21:14:22.68: 強制法はどの本にもgenericなGをMに加える方法と書いてあるけど、
最初に勉強する時はGがfilterであることの意味をもっと考えないといけない。

filterとかultrafilterというのは極限を考えたり、
多くのものを張り合わせたいときに使うものだけど、強制法のときもこれは同じ。

モデルを真に拡大したいのだから新しく付け加える対象 g はMに属してはいけない。
付け加えたい対象 g の部分情報たちを含むposet P を考えて、
その部分情報を適切に貼り合わせることで
（或いは、部分情報の一種の極限を考えることで） g を再構成する。
その張り合わせ方（或いは、"極限"の取り方）をコードしてるのがgeneric filter G。

ここでgenericって何だという話になるけど、
genericは「meagerの補集合」という概念と似た概念（cf. Kanamori）。
meagerの特別な場合のnowhere denseの場合、その補集合が
「全ての開集合と交わる」というgenericと同じ性質を満たすことは少し考えてみれば分かる。

それから、これはこないだのサマースクールで池上先生が仰ってた事だけど、
Mが可算推移モデルのときgeneric Gが存在するというRasiowa-Skorskiの定理が
Baireのカテゴリ定理とほぼ対応する。

あとは個々の強制の実例で
Gがgenericであることから何が従うか、いろいろ見てみれば、
genericityについては或る程度理解できるはず。
82 ：１３２人目の素数さん：2014/11/20(木) 21:21:44.58: 書き忘れたけど g の部分情報ってのは、
たとえば g の有限部分集合とか始切片とかそういう類の奴ね
83 ：１３２人目の素数さん：2014/11/21(金) 20:48:39.32: 統語論的完全性と「第3の完全性」って同値じゃないか？
>>71の意味の「妙に緩い」健全性が必要だけど。

Tが第3完全　⇒　Tが統語論的完全：
任意の文Aについて、標準モデルでAまたは￢Aが成り立つので
第3の完全性より T \vdash A または T \vdash ￢A

Tが統語論的完全　⇒　Tが第3完全：
Aが標準モデルで真だとすると
統語論的完全だから T \vdash A または T \vdash ￢A だが
>>71の意味の健全性より T \vdash ￢A ならば矛盾するので T \vdash A
84 ：１３２人目の素数さん：2014/11/21(金) 22:10:44.61: >>83
確かに論理式の複雑さに制限をしなければ同値なんだけど
>>68に書いてあるように「第3完全性」や「妙緩健全性」は
論理式の複雑さを制限することが多くて
その場合は同値にならない。

Aが\Pi^0_1でも￢Aは\Pi^0_1とは限らないから
＞任意の文Aについて、標準モデルでAまたは￢Aが成り立つので
＞第3の完全性より T \vdash A または T \vdash ￢A
この部分が言えなくなる。
85 ：１３２人目の素数さん：2014/11/21(金) 22:36:43.55: つまりΔ論理式なら同値と
86 ：１３２人目の素数さん：2014/11/21(金) 22:47:13.95: 特撮やアニメのおかしな所に無理矢理な理屈をつけるスレみたいになってきた。
87 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 00:00:01.06: まあ、そういうのも特撮やSFの愉しみ方の一つだったりするしねえ、、
88 ：ISIS参加しようとするも逮捕されますた＞＜：2014/11/22(土) 01:00:52.63: >>79-81
サンクス
今親戚に匿われてて時間たっぷりあるゆえJech読み進める
89 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 08:12:33.86: 「第3完全性」とか「妙緩健全性」ってちゃんとした名前ないの？
90 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 08:16:26.85: >>83みたいな議論するときって
何が議論の前提で何が示すべき事柄なのか分からなくなるよね

集合と位相の教科書で見るからに当たり前の命題を
"証明"しろと言われたときの感覚と似てる
91 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 09:53:17.93: 統語論的完全性と第3完全性が同値だったら
ゲーデルの不完全性定理は
「Qを含む再帰的公理化可能な妙緩健全な体系は第3完全でない」
といえてしまわない？
不完全性定理に「真」を使ったら間違いと習ったけど。
92 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 12:54:14.74: 本当は原文を確認してからじゃないと話にならんのだけど、
大学の時分は図書館で簡単に複写取る事が出来たけど
今はアクセスがないからなあ……

でもこのくらいの話題で数学セミナー買ってくる気もしないし
前月号の特集は買ったけどね

>>91
言いたいことは大体分かるが、そもそもその健全性とか完全性って
特定の自然数論の理論 T ごとの性質じゃないと思うんだけど。

>不完全性定理に「真」を使ったら間違いと習ったけど。
そんなことないよ。
ただ、真偽への言及を最小限にしたのがゲーデルの証明。
もっときちんと理解しないと。
93 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 13:51:36.29: >>92
では議論に資するだろうことを期待して、該当部分の引用をしてみる。
（引用にしてはちょっと長いかもしれないがフェアユースの範囲内でしょ）

５.形式証明の正しさ
　形式証明の正しさについてはヘールズの論文[7]に
概説されている。形式的論理体系の性質で重要なもの
に健全性と完全性がある。完全であるとは正しい命題
が必ず証明できる形式論理体系を意味する。今考えて
いるHOLは自然数を含むので、ゲーデルの不完全性
定理により完全ではない。健全性とは証明された定理
が必ず正しいことを保証するもので、矛盾を導かない
ことである。健全性は、一般にはモデルを与えること
で保証できる。すなわち、形式体系の記号にモデルの
対象や操作を結びつけ、すべての公理と推論がモデル
で成立することを示す。矛盾のないモデルを持つ形式
体系は無矛盾である。…

ヘールズの論文[7]というのはT.Hales. "Developments in formal proofs",2014.のこと
94 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 14:02:53.89: あー、こういう言い方って
　正しい命題
　≒普通の数学者が正しいと感じるような命題
　≒標準構造で真＝Th(N)に属する
という言い方してるケースが結構あるんだよね。
確かに言葉の使い方がロジシャンとしては雑だけど
普通の数学者には一番通じやすい。
特にこの場合、Thomas C. HalesってLanglandsプログラムの研究者だから
いわゆる普通のworking mathematicianだからね。

なんか間違いだ！とか言って突っ込む人が多いけど、
ネットとか見てるとそういう批判してる当人がもっと雑駁な理解してる場合も多いよね。

まあ、本屋で立ち読みしてこようかな
95 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 14:21:45.14: >>94
雑過ぎるコメント
96 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 14:31:24.45: >>95
全く同感だ。
わかってる人がわざとくだけた言い方をしたのを口まねしてる感じ。
97 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 14:36:05.35: >>92
>そんなことないよ。
>ただ、真偽への言及を最小限にしたのがゲーデルの証明。
>もっときちんと理解しないと。
おいおい。不完全性定理が純統語論的定理であることは強調すべきじゃないの。
もっときちんと理解しないと。
98 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 15:17:35.27: 初心者が雑にやってはいかん
99 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 16:04:54.41: >>89
ないよ。どちらも中途半端な概念だから。
100 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 16:06:05.27: そろそろ強制法にフォーカスしようぜ
101 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 20:11:00.27: >>97
じゃあ算術的な完全性定理とかを使った
不完全性定理の意味論的証明とかは「間違い」な訳だね？

～～を（ほとんど）使わないで証明できる、というのと
～～を使って証明したら「間違いだ」、というのでは天と地ほど違うと思うが。
誰がどう弁明しても>>91は後者の書き方してるからね。

（自分は）～～と習ったから～～が正しい、という根拠の主張の仕方がそもそもおかしいと思う。
102 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 20:38:33.23: >>94 >>95
まあ確かに雑だけどね。
（自然数論に関する）「正しい命題」とは恒真な命題の事である、という解釈の仕方も変でしょ。

だいたいどの理論の上で恒真な命題のことだ、ということになる。
（一階述語論理上の）Peano算術ではありえない。同様にZFCでもありえない。
Th(N)を使ったら、同語反復、循環論法になってしまう。

つまり、Tarskiの真理定義条項が、決して真理を一意に決め切れておらず、
量化の複雑な式の真偽の定義は、背景にある意味論を考える
集合論の宇宙の取り方に依存してしまう。
二階や高階の述語論理を用いても同様の問題は出て来る。

このへんについてコメントしている教科書はたぶん無いはず。
日本語の本で似た問題に言及しているのは、私が知る限り
菊池先生の本（「自然数」Nに対応する概念を三種類くらい区別している所）
しかないな。あとは辻下さんのpdfとかになる。

>>98
まあ、そうね。でも大抵の教科書は
「標準構造 N っていうのはまあアレだ、分かるでしょ、あの N のことだ」
というどうみても定義になってない臭いものに蓋式の書き方してるけどね。
103 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 20:42:23.55: >>101
>不完全性定理の意味論的証明とかは「間違い」な訳だね？
不完全性定理が純統語論的定理であることは強調すべきことだ
と言った。意味論的証明はもちろんあってよい。ただしそれは、
簡便な証明にはなるが構成的ではないので、あくまで「別証」と
いう位置づけだと思う。

>誰がどう弁明しても>>91は後者の書き方してるからね。
91は、「不完全性定理に不用意に「真」を使うのは理解があやしい
場合が多い」と言おうとしたのじゃないか？

>（自分は）～～と習ったから～～が正しい、という根拠の主張の仕方
これは小学生でもなければやらないんじゃないか？
104 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 21:07:03.57: まあ皆さんアレですよ、principle of charityですよ
http://d.hatena.ne.jp/keyword/%B4%B2%CD%C6%A4%CE%B8%B6%CD%FD

分析哲学の方法論の話だけど、最初にこれを学んだ時は
たちまち目から鱗のようなものが落ち、私は元どおり見えるようになった。
105 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 21:13:30.90: >>104
いいこと言うね。こういう人政界にもほしいね。ほんと。
106 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 22:04:33.54: >>97
>不完全性定理が純統語論的定理であることは強調すべきじゃないの。
>もっときちんと理解しないと。

不完全性定理が純統語論的定理かどうかは主観的な問題だろう。
PAとかZFCみたいな「ゆるふわ健全」な体系（逆数学でもそうでない体系は出てこない）
にしか適用しない人には>>91のような定式化でいいわけだから。

ゲーデル本人が示したのは～、という反論がありそうだが、
それなら「ゲーデルの不完全性定理はプリンキピアの体系に関する定理で
PAやZFCなど現代メジャーになっている体系に関する定理ではない」のか？

「本質的に同じだからこれも誰誰の定理」だとか
「その差は無視できないから別の定理」だとかは
所詮は主観的な価値観の問題に過ぎない。

「ゆるふわ健全」な体系にしか不完全性定理を適用しない価値観から見れば
>>91の定式化も純統語論的な定式化も同じことなんだよ。
107 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 22:31:32.02: >>106
あんただれ？言ってることがゆるふわしてて複雑だわ
108 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 22:37:02.80: 「正しい命題は～～」とか書いてる記事や本はだいたい全部トンデモ　　　←極論
109 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 22:39:29.50: 糞論厨は全員全部トンデモ　　　←ホント
110 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 22:42:38.63: ゆるまん健全性、とか言ってみるテスト
111 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 22:52:55.07: >>99
中途半端な概念だと考えているようだけど、
第二不完全性を厳密に証明していることで有名なブーロスの本で
可証性条件１の証明にこの第3の意味での\Sigma^0_1完全性を使っていたりするんだな。
112 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 23:22:06.10: >>111
数セミのあやしげな記述が出発点だという所から捉えると、もはや「フェルマーはフェルマー予想と志村谷山予想の関連に気づいていた」レベルの妄言のように思える。
113 ：１３２人目の素数さん：2014/11/22(土) 23:25:35.34: >>109
実際、
自然数というものは一つに定まっている訳ではない、揺らいでいるのだ、
とか言い出したら、数学の基礎について考え過ぎて頭おかしくなったか、
とか言われても仕方ないよね
114 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 08:52:30.37: たぶん>>91はytb先生の教え子だったのではないか？
昔から「ゲーデルの不完全性定理を真偽概念を使うのは間違いだ」と言い立てていたし。
「間違いだ！とか言って突っ込む人が多いけど、
ネットとか見てるとそういう批判してる当人がもっと雑駁な理解してる」典型例。
115 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 09:24:15.31: 溝口・田上両氏が一階述語論理の完全性を意図していたという決定的な根拠はあるの？
批判派からは「完全性と言えばこの完全性に決まっている」という態度しか感じ取れない。
言葉づかいは流派によって異なるもので
「自分の周りで完全性といえば一階述語論理の完全性だから」と考えているのなら典型的な厨二病。
>>104の原理に沿えば「第3完全性」と理解するのが自然だろう。
116 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 09:35:19.86: ＞完全であるとは正しい命題
＞が必ず証明できる形式論理体系を意味する。
117 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 09:39:20.68: は「標準モデルで真ならば証明可能」と理解できるわけだが？
118 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 09:55:26.22: 「第3完全性」は論理体系ではなくて理論に対する性質では？
119 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 09:55:55.50: その直後に「ゲーデルの不完全性定理により完全ではない」と言っているのだから
一階述語論理の完全性を意味しているわけではないのはほぼ明らかではなかろうか？
一階述語論理の完全性とゲーデルの不完全性定理は関係ないし
HOLでも一階述語論理の完全性は成り立つのだから。
「標準モデルで真ならば証明可能」と理解すればすべて辻褄が合うし
この完全性も確立された使い方なのに
わざわざ意味の通らない解釈持ち出して「間違ってる！」と主張する香具師ってなんなの？
120 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 10:00:45.19: >>118は論理体系と理論が明確に区別できるような「教科書」に出ている例しか見たことないんだね。
その論説にあるようなHOLを見てみれば、その区別がいつも明確にできるわけじゃないことを悟れると思うよ。
121 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 10:09:27.03: 横からだが
PAみたいな明らかな「理論」ですら
「形式論理体系」と呼ぶことはあると思うぞ
122 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 11:00:35.18: >>119
>「標準モデルで真ならば証明可能」と理解すればすべて辻褄が合うし
>この完全性も確立された使い方なのに
そのセンスがおかしんだよ。
もともと陥りやすい混同をしたものだから、わざわざそういうを解釈しないと
辻褄が合わなくなっただけだよ。後から辻褄合わせが要らないように書いとけという話。
123 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 11:06:38.43: 「センスがおかしんだ」だけじゃ>>115で批判された通りじゃないか。
自分のセンスを押しつけるんじゃなくて、ちゃんと根拠を示せよ。
124 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 11:17:17.68: >>123
そもそも115は何言ってるんだ？２つを「混同」していると言ってるのだが
125 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 11:19:48.07: 君からはからは「完全性と言えばこの完全性に決まっている」という態度しか感じ取れない
126 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 11:21:53.64: >>113
ここの議論はお互いのポエムを語ってるだけ
127 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 11:28:24.73: 1.著者は「一階述語論理の完全性」と「統語論的完全性」を混同している
2.著者は一貫して「第3完全性」を意味している。

2を主張する側は「それだと自然に解釈できる」を根拠にしているが
1の側はその主張の根拠は何？
128 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 11:39:24.70: >>127
フェルマーの書き込みも、志村谷山予想を使った証明を知っていたとすれば自然に解釈できるよ。
余白には書けない驚くべき証明だ。
129 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 11:41:08.41: 決着がついたようだなｗｗ
130 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:01:51.03: 完全性関連は擁護派の言うとおりかもしれないが
健全性と無矛盾性の混同はどう擁護するんだ？
>>58でガイシュツの問題だが。
131 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:10:20.79: >>130
そこは俺には擁護不能。ってか間違いだと思うし、著者はよく理解できていないと思う。
だけど、一か所間違いがあるからと言って、他の箇所が間違っている根拠にはならない。
132 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:12:03.08: >>127
初心者が陥りがちな典型的な間違いだから
そういわれても仕方ないけどね
133 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:13:48.08: >>131
いや、間違い方のレベルが同じようだから、もう一つも。
134 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:14:26.63: まさにアニメの矛盾点を擁護するスレと全く様相を呈している。
135 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:16:06.31: >>132
そういう根拠で人を批判するのは感心しないなあ
136 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:16:43.94: 全く様相→全く同じ様相
137 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:19:45.07: >>135
人を批判してるわけじゃないんだが
138 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:25:05.71: 間違いだ間違いだと言って優越感に浸ろうとしているようにしか見えないけど？
あとは「初学者の陥りやすい間違いの典型例を俺は知っているぜ」という自己顕示欲？
139 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:30:59.40: >>132とか>>133みたいな根拠で他人の主張を「間違いだ」と断じるって
人として恥ずかしくないのかねえ
140 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:37:41.86: >>138-139
その記事を読む読者の事を忘れてませんか？
誤解を生む表現ならそれを指摘して正す必要があると思いますよ
141 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:41:50.39: なんとか不完全性定理が分かるぐらいのレベルでお互いぐちゃぐちゃ
細かいことを言うのはもうやめよう。志を高く。
142 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:54:14.19: >>138
それは何か根拠があってのことでしょうか
>>104の理念に反するように思われますが？
143 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:54:22.66: 140に賛成だが、同時にあの記事のすばらしい点も評価しないと筆者に気の毒だな
144 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 12:58:22.13: >>138
全然思わないよ。
数学で間違いの指摘は人格批判ではない。
145 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 15:50:04.33: 批判側の根拠は
1. 著者は初学者っぽい
2. 初学者が陥りやすい間違いである
3. だから間違いである
というだけに見えるんだけど、
これだけで辻褄の合わない解釈をわざわざ持ってくる根拠になると本気で思っているの？
146 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 15:55:27.59: >>140
「誤解を生む表現」と主張するのと
「間違いだ」「混同だ」と主張するのとでは
天と地ほどの違いがありますよね？
147 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 16:00:25.19: >>146
なんぼ弁護しても書き手がゴメンナサイしたら終わりやで。
代わりに責任持つ覚悟で擁護してんの？
148 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 16:01:46.52: >>144
著者は初学者だから典型的な間違いをしているはず、
というのは一種の侮辱だと思いますよ。
149 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 16:06:20.22: >>147
著者を擁護する気なんて最初からないわ。
「間違いだ」という主張に問題があると言っているんだ。
それが分からんか？
150 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 17:32:57.31: こういうのを見ると基礎論が他の分野から孤立していくのも無理もないと思ってしまう。
隣接分野から参入しようとしても、ちょっと間違えただけで
初学者認定されてあることないこと全部間違いにされちゃうんだから。
そりゃ誰も基礎論にお近づきになろうとしなくなるわ。
151 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 17:43:26.87: >>150
非寛容なのはアマだけでプロは違うと思いたい。
>>99みたいに言い切ってしまうのは典型的なアマの万能感だし。
152 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 19:04:14.77: >>104の理念とはいったいなんだったのか…
153 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 20:10:14.50: ゲーデルは人間の理性の限界を明らかにしたし、完全性定理と不完全性定理という相反した定理を証明したよね。
154 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 20:29:40.13: 99など、無矛盾性などの統語論的な命題に比べて
標準モデルに言及するすると胡散臭くなると考えている人がいるみたいだけど、
「任意の矛盾に至る証明について」とか「矛盾に至る証明は存在しない」とかの
量化の範囲を固定するのと、自然数論の標準モデルを固定するのはほぼ同じだよね。
（強いていえば後者の方がまだましかと思う。）

>>>111に書いてある\Sigma^0_1完全性の証明とか自分で証明してみると
そういうことがよく分かると思う。
155 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 20:42:39.74: >>150
2ch のスレ見て何を言ってるんだ君は
156 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 20:43:20.45: 今日駅前の大型書店に行ってみたが数セミ無かった。
どうしても買いたいときは新幹線で隣町まで行くか
インターネッツで購入せんといかんらしい。
腐っても政令指定都市なのになあ……

「完全性」はarithmetical completenessの意味だ、と解釈したら
一応>>93の引用文は整合的になるけど、
筆者は当然そういう意味で書いたのだ、というのは若干むりやりかもね。
>健全性とは証明された定理が必ず正しいことを保証するもので、
>矛盾を導かないことである。
こっちの解釈はもっと厳しい
157 ：104：2014/11/23(日) 20:59:54.11: principle of charityは、私は伊勢田哲治さんの
「哲学思考トレーニング」で知ったんだけど、
この本には、princple of charityがあるからといって
「京都は日本の首府だ」とか言っている京都人に対して
京都が日本の首府な訳ないから、きっとこの人は
「京都」という単語を東京という意味で使っているんだろう、
みたいな無理な解釈をすると逆に失礼だから、程度には気を付けよう、
みたいな絶妙な補足も書いてあったりします（笑）　この本は割とお勧め。

>>150
いや、実際、難しいんですよ。こういう用語の使い訳は。
そしてそもそも術語の名付け方や啓蒙書入門書の書かれ方が
初学者をこういう落とし穴に嵌めてしまいやすい書き方になってる気もします。
そんなに難しい区別では無いはずなんですけどね。

「meta/objectの区別とsemantics/syntaxの区別の区別」は割と難しいですが。
158 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 21:00:54.46: >>155
2chに限らずなのだが。不完全性定理の魔女狩りはネット上で有名じゃないか。

>>156
一応は整合的に読めるものを「間違いだ」「混同だ」と決めつけるのはいくないでしょ。
しかも根拠が>>132や>>133みたいなのでは。
159 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 21:01:20.18: 数セミといえば11月号の「コンピューターと論理学」特集はみなさんどうでした？
160 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 21:05:37.47: >>159
とりあえず買って、面白そうだなあ、と思いながら積読してます
161 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 21:10:08.10: >>154
＞「任意の矛盾に至る証明について」とか「矛盾に至る証明は存在しない」とかの
＞量化の範囲を固定するのと、自然数論の標準モデルを固定するのはほぼ同じだよね。
確かにその通りなんだけど、意味論・モデルと聞くと
とても強いオントロジカルな仮定にコミットしている気がしてしまうんだよね。
なんでなんだろう。
162 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 21:14:08.81: >>159
俺も面白そうだったから買った。内容については聞かないで。
163 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 21:16:39.66: >>159
本屋で立ち読みしたけど、結局買うのは辞めちゃった
164 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 21:24:37.99: >>154
同意。不完全性定理は真偽概念を（全く）用いずに証明できる、
と言う人はこういうことはどう考えてるんだろう、と時々思う。

証明をそのGoedel数と同一視したら
実質的に自然数を扱っている事になる、という点を措いても
数項毎の表現可能性（numeralwise representability）とかは
自然数の標準構造を前提にしないと何言ってるか良く分からなくなると思う。

この本では自然数の標準モデル N を前提する、とだけ断り書きする方がよほど潔い。
欲を言えば、算術の或るモデル N' があることを仮定する、
と書くのと比べて違うのはどういう点なのか、読むのは初学者なのだから、
きちんと明確に説明してくれていれば言う事は無いが
（真面目に考えると案外non-trivialで面白い）。

まあ私も不完全性定理の証明の存在論的な仮定が何であるか
綿密に分析したりした訳じゃない（し、大して興味も無い）けど。
165 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 22:33:39.47: >>159 >>160 >>162 >>163
なんだ、誰もｗ読んでないのか
166 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 22:43:51.60: >>164
自然数は０項演算０と１項演算後者で自由生成される構造。
証明全体や記号列全体はもっと多くの演算で自由生成される。
どうして後者を走る量化はよくて
前者を走る量化を胡散臭いとみなすのか理解できないよね。
167 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 22:45:34.48: ヒルベルトの6を6個の棒 |||||| の為す構造だとみる、みたいな話の再来だな
168 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 22:47:03.41: >>164
真偽概念を使うことと自然数の標準構造を前提にすることとはどう関係するの？
169 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 23:57:38.79: <N, S(・), +>は決定可能だから
前提するのがこれだけなら認識論的な仮定はかなり弱い気がする。

だから個人的には、存在論的な仮定も同じくらい弱いような気分はする。
でも認識論的な仮定の弱さから存在論的な仮定も弱いということが
どうやって出て来るんだとか言われたらDummettがやってるような
晦渋な議論をしないといけないんだろうな。
170 ：１３２人目の素数さん：2014/11/23(日) 23:58:13.85: あ、定数記号 0 を入れるの忘れた
171 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 07:13:46.05: >>170
0 は <N, S(・), +> で定義可能だからどっちでもいいわけだが。
本当に分かって喋ってる？
172 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 07:38:16.59: あーそうか、加法入ってるからどっちでも良いですわな。
指摘ありがとうございます。

最初166を参照して<N, S(・)>と書いた後に、決定可能性に関して
加法を入れても大きな違いは無い、と思って
<N, S(・), +>と書き直したので頭の中でごっちゃになってました。
173 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 07:39:47.25: あ、すみません
<N, S(・)>でも 0 はもちろん定義可能ですね
ダメだ良く考えてからレスしないと
というかモデル理論勉強しないと
174 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 07:50:11.14: <N, S(・)> でも￢∃y(x=S(y))で定義可能だけど。
175 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 08:10:02.19: >>172
>>166の自由生成の概念を一階の構造に帰着させるのは違和感がある。
加法も乗法も（冪も）自由生成に基づいて定義するわけだが
自由生成させる演算である後者関数から一階定義可能ではない。
有限列に関しても、連結演算は自由生成に基づいて定義するが
自由生成させる演算から一階定義可能ではない。
176 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 08:35:31.83: でも二階以上の概念なんて
集合論援用してるようなものじゃん
177 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 11:50:48.60: 「二階以上」は要らないんじゃない？
一階では足りないが二階のごく一部分でいいのだから。
178 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 12:43:40.53: 乗法を含む標準モデルが一階述語論理でうまくとらえられないことは大前提で、
「証明全体」など統語論的対象の全体でも同じ問題がある、という話でしょ？
一階を逸脱する概念を持ち込まなきゃいけないのは当然のことじゃないか。
>>176は一体何を問題視しているんだい？
179 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 14:36:18.23: >>156
>健全性とは証明された定理が必ず正しいことを保証するもので、
>矛盾を導かないことである。
これだけなら「妙緩健全」とか「ゆるふわ健全」と言われているもの
（arithmetical soundness というのかな？）理解すればいいのでは？
無矛盾性と同値ではないけれど、無矛盾性を導くのだから
「健全でないけど無矛盾な場合」が文脈上で重要でなければ
「ことである」は許容範囲でしょう。
誤解を招く表現なのは確かだけどね。

問題は、それに続く「モデルを与えることで保証できる」まで
整合的に解釈すること。殆ど不可能にみえる。
180 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 14:49:52.62: 何度も言うが、筆者を擁護したい訳ではない。
きちんとした根拠に基づいて「間違いだ」「混同だ」と批判するのなら健全なことで賛成する。
しかし強調したいのは、証拠の上がった犯罪者に「どうせ悪いことしたんだろ」と
他の罪まで薄弱な根拠でなすりつけるような真似をするべきはないということ。
181 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 14:53:48.20: >>93で引用されているところが批判されてるけど、
あれの代わりにどのように書かれていたらよかったと言うんだろ。
182 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 14:58:34.50: >>180
「他の罪」にあたるものを明示していないので何も言ってないに等しい。
183 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 15:06:37.67: 99君が反論してくれないと盛り上がらないね。
逃げちゃった？
184 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 15:12:56.44: arithmeticalな意味での健全性の概念があやふやな状態で
arithmeticalな意味での不完全性定理をどうやって証明できるのだろうか
185 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 15:30:04.31: 集合論の含む致命的矛盾を指摘して数学界にハルマゲドンを引き起こしたい。
どうしたらそれが出来るの？
186 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 18:16:15.95: 標準自然数があいまいというなら統語論の議論領域も同程度にはあいまい。
統語論は具体的というのなら標準自然数だって同程度に具体的。
これいかに？
187 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 18:57:22.88: その気になれば個別の証明については省略一切無しで具体的に書ける、という確信があるでしょ
188 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 19:07:30.16: ＞健全性とは証明された定理が必ず正しいことを保証するもので、矛盾を導かないことである。
＞健全性は、一般にはモデルを与えることで保証できる。

この２つの記述に不備がないとすると、著者の言う「健全性」とは「無矛盾性」と同値な性質だよね
189 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 19:11:21.63: >>187
そうなの？
その気になれば証明は存在するが
10^10^10^10以下の長さの証明は存在しない式とか普通に作れるけど
190 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 19:44:10.46: 不完全性定理の証明のことだよ
標準自然数の存在を仮定するなら10^10^10^10どころじゃない
191 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 20:51:23.71: 無矛盾という性質を議論に載せるには
個別の証明だけではだめで、
証明全体が定まっていないといけない。
192 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 20:57:27.05: >>188
「証明された定理が必ず正しい」の「正しい」はどういう意味になる？
193 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 21:11:36.98: >>192
「その否定が証明可能でない」かな
194 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 21:17:23.65: >>193
なるほどねー。
どこかの分野（たとえば筆者の属していそうな分野）で
そういう言葉遣いが確立されていることを示す例は出せる？
195 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 21:25:25.03: その言い方だと、
不完全性定理はφも￢φも正しいようなφが存在する事を示した。
これは真理の複数性が～～みたいな文章も問題無い事になる。

ぎりぎり自己矛盾はしてないけど、個人的には非専門家が
こんな文章書いてたら頭の中に警報アラーム点灯させながら読むな。流石に。

というか、あまり無茶苦茶な解釈しちゃダメだよって言われてるじゃん
196 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 21:36:50.82: >不完全性定理はφも￢φも正しいようなφが存在する事を示した。
>これは真理の複数性が～～みたいな文章も問題無い事になる。
ヒルベルトの数学的な存在と無矛盾を同一視する立場を援用して
どこかの哲学者がそういう文章を普通に書いてそうだけどね。
197 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 21:49:07.02: 「反例が挙げられないこと」を加えると良い。
198 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 23:27:02.79: 完全性については「正しい＝標準モデルで真」と解釈すれば整合的
健全性については「正しい＝否定が証明不可能」と解釈すれば整合的。
だけどだけど両方合わせたら整合的じゃなくなるじゃん！
199 ：１３２人目の素数さん：2014/11/24(月) 23:40:40.96: >>159
面白そうだったから買った。
中では鹿島さんの記事が比較的よかったはよかったが、
この分野全体あまりに進展がなさそうなのでビックリした。
単にこの特集記事の集め方の問題か？
200 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 03:08:42.92: >>159
「証明は計算できる／項書き換えシステムと定理証明」に期待して買ったら、
続新しいプログラミング・パラダイム共立出版 1990/11/25 の
「最大公約数…」と同じ内容でがっかりした。
201 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 07:30:00.83: >>198
完全性＝正しい命題は証明可能＝否定が証明不可能な命題は証明可能
とみれば一応整合性はとれるんじゃない？
202 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 07:39:32.07: もう良いよそういうデタラメ解釈は
203 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 07:56:25.92: >>201
それは正に統語論的完全性だね。
問題は世間の言葉遣いとの整合性。>>194への答え次第だね。
（すべての分野の言葉遣いを知ってるわけじゃないので
俺は「そんな言葉遣いはない」とは言い切れない。）
極端な話出てくる単語の意味を全部変えれば
なんだって自己整合的には出来るわけだから
自己整合性だけではちょっとね。
204 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 09:56:57.09: >>199 >>200
たしかにね。20年変わってないのかな。
205 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 11:49:43.64: そんな無茶苦茶な用語法を採用する分野なんてあり得ない、とは言えない一方、
そういう用語法があってもおかしくはない、とも言えない絶妙なボーダー事例だね。
あ、事例であるかすら怪しいのか。
206 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 12:06:15.14: >>205
ずぶずぶに寛容だなｗ
207 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 12:17:03.92: 「そんな言葉遣いはない」を示すなんてのは悪魔の証明。
算術的完全性ときちんと名前が付いた言葉遣いがある完全性のときとはかなり違うだろ。
208 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 13:54:03.31: >>207
算術的完全性は局所的にか解決しないが
「正しい＝否定が証明不可能」はここ一か所で不自然さにさえ目を瞑れば
万事解決するというのは大きくないか？
209 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 14:05:55.51: 充足可能性のことだとするとそれほど不自然でない…かもｗ
210 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 14:15:59.29: それほど不自然でないが…自然でもない…よね？
211 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 14:31:08.26: 人名地名書名の間違いは鬼の首を取ったようにあげつらうが、
盗作や誤訳のような若干主観的判断が要ることになると途端に
「どっちとも言えないなあ」と口を濁す奴を知っている。

実証的学問をやり過ぎて、普通とか常識とか相場とかの感覚を意図的に殺しているとそうなる。
212 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 14:47:57.73: >若干主観的判断が要ることになると途端に
>普通とか常識とか相場とかの感覚を意図的に殺している
学問板では褒め言葉だよねｗ
213 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 14:57:25.40: 裏付けさえ周到であれば、どんな非常識な主張も認められるからな。
学問的な事は真っ当なのに、ちょっとでもそこを外れると滅茶苦茶な事を言い出す人はうじゃうじゃいる。
渕野昌さんはその系統。
214 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 14:57:55.49: >>211
その通りだな。
215 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 15:04:25.78: 下手な学問は人間を壊すな。
216 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 17:13:11.08: >>169
決定可能と認識論的に弱いこととはどういう関係があるの？
217 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 19:47:05.23: >>212
そうでもない。中庸・common senseは大事。

ただ、誰にも思いつかないような極端で気違い地味たな事を言う人の
妄想というか発想の中からこそ、進歩が生まれるのも事実。
用語の細かい間違いを論う偏執狂にもそれなりの意味はあるんだろう。

たぶん両方が必要なんだと思う。まあ難しいけどね。
218 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 19:51:56.20: >>216
決定可能だったら有限個の公理のセットを知っていればそれで良いけど
決定不能だったらそうはいかないでしょ。

「Th(<N, S(・), ＋, ×>)については読者はよく知っていると仮定する」
とか言われても、実際この中にRiemann予想（の自然数論上の同値命題）
とか双子予想とかが入ってるかどうかなんて分からないんだから
ちょっと真面目に考えると途方に暮れるしかない訳で。

まあ原理的には決定可能な命題の中にも、
IMOの実不等式の証明問題になるようなnon-trivialな命題は存在するけどね。

あとこういう話題にはTuring還元の話とかとも関係すると思う。
219 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 20:02:06.43: 【訂正】
誤：双子予想
正：双子素数予想
220 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 20:50:20.75: >>218
決定可能（統語論的完全）な理論は有限公理化可能なの？
221 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 21:05:29.42: 「有限個の公理のセットを知っていればそれで良い」の意味を勘違いした模様
222 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 21:16:45.87: もったいぶらずに、勘違いが解けるように説明してよ。
223 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 21:34:38.65: >>218
ね。
相場や普通や常識を忌避している人間の発言の典型でしょ。
224 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 22:21:26.36: >>223
あなたの発言にはずっと大いに賛成なのだが、218についてはおかしいとは思わないのだが？
225 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 22:37:01.84: 218に同意を求めてるんでしょ、多分
226 ：１３２人目の素数さん：2014/11/25(火) 23:37:24.08: 数学板ID表示制検討スレッド
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1416399853/

ID表示制導入投票スレ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1416399853/
227 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 00:10:33.82: >>224
よく知っているとする、というのは、常識的なことをそれなりに知っててね、ということでしかない。
「よく考え」ない方が良いことである。
228 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 00:14:40.80: >>223
たぶんアンカー間違えてるんじゃなかろうか
217宛てでは？
229 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 00:21:01.06: true arithmetic Th(N)は決定可能である、って言うかなあ。
決定可能って言った場合はもっとeffectiveに決定できるって
ニュアンスがある気がするけど。

まあとにかく、上で決定可能と書いたのは
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~terui/incomp.pdf
この定義10の、decidable set = recursive setかどうか
という意味で使ってるのでそういう風に解釈して下さい。
230 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 08:35:23.46: 無関係の個人名あげて人格批判している香具師が「常識」について講釈してるとは
231 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 10:53:47.17: >>230
非常識ほど自分が常識あると思ってるもんさ
232 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 11:41:43.13: 逆ギレのレスはスルーして数学的な話をしようぜ。

99君の反論はまだ？
決定可能≠統語論的完全だとしても>>220への回答もまだだよ？
「相場」だの「常識」だのとごまかさないで数学的意味のあることを言ってくれ。
233 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 11:49:50.72: 決定可能なら有限の公理で済むのはそういう相場だから理由なんぞ必要ない、だとさｗｗ
234 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 12:47:06.91: >>230
雑誌のこの文章おかしくないか、と話題にするのがなぜ人格批判になるのか？
常識とか相場とかを持ち出しているのは私だが、数セミ記事の筆者を叩くレスをした覚えはない。
235 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 14:18:06.91: 標数0の代数閉体の理論は
決定的かつ統語論的完全（再帰的公理化可能なので両者は同値）だけど
有限公理化可能ではないよね。
「有限個の公理のセットを知っていればそれで良い」の意味は
有限公理化可能ではないらしいけど、どういう意味なんだろうね？
236 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 14:45:30.87: 相場は相場だ、反例なんて関係ない！ｗｗｗｗｗ
237 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 17:14:01.83: 常識や相場を公理系のように扱うことはできない。
238 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 17:15:44.10: イーガンの『ルミナス』とか『暗黒整数』になるな
239 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 18:01:53.87: なんかSTSっぽくなってきたな
240 ：218=229：2014/11/26(水) 18:09:01.75: なんか218=99みたいに思ってる人が居るけど
99を書いたのは私ではありません。

>決定可能（統語論的完全）な理論は
229見れば分かるでしょうが、そもそも
決定可能＝統語論的完全という同一視を当然だと思われると困ります。
計算可能性理論の言葉遣いともちょっとズレるわけです。

だから、Godelの不完全性定理の論文について、
「彼が言いたかったのは本当は統語論的完全性なのに、
ロジックが未発達だったから形式的に決定不可能という言い方をしたんだ」、
と見るのはおかしい訳です。数学史的に見ても、不完全性定理の後、
彼はrecursive functionの正しい定義とは何であるかを調べる仕事に移っています。
Hilbertが漠然と信じていたのも、統語論的完全性というより
決定可能性に近いと言った方が正しいでしょう。
Hilbertの第十問題もディオファンタス方程式の決定性の問題ですしね。
241 ：218=229：2014/11/26(水) 18:09:48.88: >>218の「有限個の公理のセットを」
というのは、きちんと細かい定義は考えていませんでしたが
ZFの公理は外延性、対、和、無限、冪、置換、正則性の7つだ、
とかいう数え方をするときの「7」のことです。実際は置換公理は無限個ありますが、
それにも関わらず我々は置換公理について、
一塊りの公理群として一応ちゃんと理解できる訳です。
算術における数学的帰納法の公理スキームについても同様です。

ただ誤解を呼ぶ書き方なのは確かですね。「有限個の公理のセット」ではなく
「有限種類の公理のセット」或いは「有限個の規則のセットを」くらいに読み替えて下さい。
最悪、φが正しいかどうかを万能Turing machineで判定するときの
動作規則の数と思って読んで下さい。本質的に有限的、という感じです。

>>233
相場がどうとか理由が要らないとかそういう主張は私（218）自身はしていません。
242 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 18:43:07.29: ようは公理のスキームが有限個ってこと？
243 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 18:55:35.58: >>235
一階述語論理上の群論（や環論・体論）の理論は
再帰的公理化可能ですけど統語論的完全ではないですよね。
ということは決定不能ということで良いんでしょうか？

再帰的公理化可能なときに決定的と統語論的完全が
同値になるということはどういう文献に載っているんですか？
純粋に興味があるので御教示いただければ幸いです。
244 ：235：2014/11/26(水) 22:00:05.28: >>243
申し訳ない、書き方がかなり悪かったのだけど
「再帰的公理化可能なときに決定的と統語論的完全が同値になる」という意味ではなくて
「標数0の代数閉体の理論の場合はどっちで考えても同じ」くらいの意味です。
どちらも真だから同値くらいの（無意味と言われれば無意味な）意味でした。
245 ：１３２人目の素数さん：2014/11/26(水) 22:11:17.12: 気持ちとしては、この理論が統語論的完全であることは有名で、
再帰的公理化可能だから両者合わせて決定可能性も従うので、
どちらの定義でも同じことだよね、と思って書いたんです。
246 ：１３２人目の素数さん：2014/11/27(木) 08:20:25.92: >>241
>「有限種類の公理のセット」或いは「有限個の規則のセットを」くらいに読み替えて下さい。
>最悪、φが正しいかどうかを万能Turing machineで判定するときの
>動作規則の数と思って読んで下さい
最悪以下まで緩めればもちろん正しいけれど
必ずしも有限の公理図式（スキーム）に収められるとは限らないよね？
（ここで公理図式とは「穴」の空いた論理式を考え
この「穴」に任意の論理式を代入したものは公理とすることとする。）
ZFのように有限の図式にできる場合を例に挙げるのは特殊すぎると思う。
247 ：１３２人目の素数さん：2014/11/27(木) 21:03:50.90: みんな>>93の文章の前提となっているHalesの論文を無視している。
とりあえず読めるようリンクを貼っておく。
http://arxiv.org/abs/1408.6474
248 ：１３２人目の素数さん：2014/11/27(木) 22:26:34.92: まあ時間掛けてこれ読む前にまず数セミの記事読みますわ。
そっちの方が理解が早そう。
まあ今近くに数セミ売ってないから、
来年四月以降に大学図書館とか訪れた際にでも気が向いたら。
真理は決して逃げていかないからね。
249 ：１３２人目の素数さん：2014/11/27(木) 22:37:37.33: >>213
ふちの先生は割と慎重に文章を書く人だと思います。
crazyでoriginalで考え抜かれた意見こそ学問では大事だと思います。
250 ：241：2014/11/27(木) 23:13:31.58: >>246
たしかにちょっと特殊ですね。
元々の169の構造はPresburger算術のintended modelなので有限公理化可能ですけどね。

「有限個の公理スキームで公理化可能な理論」は
面倒なのでfinitely-schematically axiomatizable　有限図式的公理化可能とか
図式的公理化可能 schematically axiomatizable　とでも呼びましょうか。
調べてみるとDummettのお弟子さんのNeil Tennantという人が
Changes of Mindという本のDef.40でそういう定義をしているみたいですね。

FS公理化可能な理論は「決定可能理論」のなかで、
実際に外延的に特殊例となっているのか（つまり前者は後者の真部分集合なのか）、
或いは見かけ上特殊なだけか、ってのは一つの興味ある問題ですね。
実際に特殊例となっているなら、決定可能だがFS公理化可能でない理論を挙げよ。　　　（課題１）

2012年九月号のBSLに割と関連が深いかも知れない論文が載ってますね。
　http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/1803-toc.htm
　Vaught's Theorem on Axiomatizability by a Scheme, by Albert Visser, pages 382 - 402.
Visserって聞いたことあるなあと思ったらやっぱりinterpretability logicの研究者ですね。

あと一階述語論理上の群論【resp. 環論・可換環論・体論・可換体論・標数pの体論 etc.】
の理論は決定可能か、それとも決定不能なのか、というのも面白い問題だと思います。　　　（課題２）

再帰的公理化可能性と決定可能性から統語論的完全性が従うかどうか、
従わないなら反例は何か、とかも面白い気がします。　　　（課題３）

有限公理化不可能なZFCの保守拡大であるNBGは有限公理化可能ですが、
同じような現象は一般的に起こるのかどうか。
つまりPeano算術の保守拡大で有限公理化可能な理論はあるのかどうか。　　　（課題４）
有限公理化不可能で、そのどんな保守拡大を取っても
有限公理化不可能な公理はあるのかどうか？　　　（課題５）
251 ：１３２人目の素数さん：2014/11/27(木) 23:16:48.98: すいません、課題４は自己解決しました
まさにNBGがそうでした
252 ：１３２人目の素数さん：2014/11/28(金) 00:00:57.56: >>249
自分の専門に関しては慎重なんだろうけど、そこから飛び出すと…という話をしている。
253 ：251：2014/11/28(金) 00:11:34.64: すいません自己解決してませんでした
NBGはPAの保守拡大でも何でもありませんでした
254 ：１３２人目の素数さん：2014/11/28(金) 08:23:21.37: >>250の問題が解けたら論文になるのかな？
そうしたらこのスレが参考文献に出る？なんかすごいね。
255 ：１３２人目の素数さん：2014/11/28(金) 11:54:54.75: >>254
んなことはない。課題４は ACA_0 で瞬殺。
256 ：１３２人目の素数さん：2014/11/28(金) 21:13:11.58: 数学はただの公理システム
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1409217956/
257 ：１３２人目の素数さん：2014/11/29(土) 13:15:35.37: 課題５はTuring機械の動きをそのまま記述できる言語（たとえば算術を含むように）に拡張すれば
動作規則の数が有限なのだから有限公理化可能な保守拡大ができるんじゃないかと思います。
258 ：１３２人目の素数さん：2014/11/29(土) 14:49:35.66: >>256
＞一方、現実の数学の証明は何らかの単純な規則に基づいていると思われるが、
＞形式系として規則を明文化すると実際に使われる以上の推論まで許してしまうことになるのは、事実上避けられない。
これな
よく議論になるのがZFCの置換公理
実際の数学では \Sigma_1 とか \Pi_1 くらいしか使わないのではないかという主張は多い
259 ：１３２人目の素数さん：2014/11/29(土) 17:18:39.26: つうか置換公理は全く無くても大抵困らない説あり
260 ：１３２人目の素数さん：2014/11/29(土) 17:21:22.52: >>257
意図しているのは以下のようなこと？

言語L上の理論Tを決定可能とする。
算術の言語とLの両方を disjoint に含む言語L'とその上の理論T'を考える。
T ⊢ A も￢(T ⊢ A) も \Sigma^0_1 命題だから算術でコードできて
T'がロビンソン算術さえ含めば話題の \Sigma^0_1 完全性より以下が言える。

T ⊢ A　⇒ T' ⊢ "T ⊢ A"
￢(T ⊢ A)　⇒ T' ⊢ ￢"T ⊢ A"

さらにT'が公理図式

(*) "T ⊢ A" ←→ A (A:閉論理式)

を含んでいてかつ無矛盾ならば

T ⊢ A　⇒ T' ⊢ A
￢(T ⊢ A) ⇒ ￢(T' ⊢ A)

がいえるのでT'はTの保存的拡大といえる。

従ってT'はロンビンソン算術（有限の公理）と図式(*)だけでいい。
だけど図式(*)はあくまで一つの図式に過ぎず有限個の公理ではない。
このような図式を使わずに
チューリング機械をコードした話と、Tの中の話を「繋ぐ」ことはできる？
261 ：１３２人目の素数さん：2014/11/29(土) 18:17:31.51: 裏取引禁止は良いこと
262 ：１３２人目の素数さん：2014/11/29(土) 18:18:32.02: 分出公理だけでどこまで池るん？
263 ：１３２人目の素数さん：2014/11/29(土) 18:18:51.31: >>257, >>260
課題５って理論の決定可能性を仮定しているの？
>>250ではZFCやPAの場合を一般化できるかという話だったのだから
決定可能性は仮定していないんじゃないかな？

もちろん true arithmetic が有限公理化可能な保存拡大を持たないのは自明なので
再帰的公理化可能な理論くらいの仮定はいるだろうけどね。
（「理論」の定義に再帰的公理化可能性を入れる流儀があることは承知している。）
264 ：１３２人目の素数さん：2014/11/29(土) 20:28:23.12: >>250
課題１のFSに出てくる「図式」の定義は>>246のでいいの？
だとすると>>235であげられた「標数０の代数閉体の理論」はFS公理化可能ではないのでは？
「標数０」の部分は「穴」にどんな論理式を入れてもいいわけではないので。

>>260
その図式(*)も>>246の意味の図式にはなっていないよね？
"T ⊢ A" とコードの中にAを代入するのは「穴」に代入するのとは別のメカニズムが必要なので。
265 ：１３２人目の素数さん：2014/11/29(土) 22:40:29.06: これまでに出た解答をまとめると次の通り。
これらが正しいかどうかは知らない、出題者の>>250に判断して貰いたい。

課題１
実際に外延的に特殊。例：標数０の代数閉体の理論

課題４
ある。例：ACA_0

課題５
ある。例：true arithmetic

課題２と３は未解決。
266 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 12:37:26.79: 一階論理上の群、半群、環、可換環、整域、体は決定不能、
有限体、標数ｐの体は決定可能
ほかに決定可能な一階の理論は、冪なしの実数体、ユークリッド幾何学、双曲幾何学、ブール代数など
実数とか一階論理は記号を少し付けたり取ったりするだけで決定可能性が変わり複雑
例えば実数RでR^nにある2点から等距離にある点、ある2点の間にある点の3項演算子2つを入れたものはn＝2で決定可能で、
それ以外ではΠ^1_1-hardになり一気に決定不能になる
集合論から決定可能なものを切り出している計算機科学者もいる
267 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 12:42:27.87: 上で少し間違えた
標数ｐの体ではなくｐ進体が決定可能
標数ｐの体は実閉体で決定可能がわかっている
268 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 13:28:34.63: >>267
意味がわからん
標数ｐの体の理論は決定可能なのか不能なのか？
269 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 14:49:24.66: 標数ｐの体の理論は決定不能
なぜなら体が決定不能なので、それに0とpを同一視する公理を加えたものも決定不能なる
だたし、実閉体のような決定可能な理論に標数を設定した場合は逐一確かめないとならない
実閉体に関しては標数をｐとしても決定可能性を保てる
また、体に可換性の公理を加えても体が決定不能なのでやはり決定不能
つまり、課題２の解答はすべて決定不能
270 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 14:53:42.14: 課題５はcomputableとかc.e.のような条件は適宜補って考える必要があるでしょうね。

>>266
どういう文献に記載されていますか？
271 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 15:02:22.03: 捕捉）
一般の標数ｐの体は決定不能であるにもかかわらず、
数学的にはF_pは標数ｐの有限体だけど決定可能になる
同様、自然数論は決定不能だけど、冪のない実数論は決定可能になる
それからR^2に、ある2点の間にある点の3項演算子を付け加えたものが
Rから掛け算をとったものに同等になりどちらも決定可能になる。
通常の数学で、群より一般的な数学的対象だからといって
その理論まで決定不能性を引き継いでいるとは限らない
272 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 15:14:40.67: >>264
「標数0」の部分で、∀x≠0,
∀x≠0 x + x ≠ 0,
∀x≠0 x + x + x ≠ 0,
∀x≠0 x + x + x + x ≠0,
......... ,
∀x≠0 nx（xをn回足したもの）≠0
を全てのnについて公理とする、ただしnはメタな自然数、
という定義の仕方で、或る意味、純粋にobjectレベルではない
自然数の標準構造の情報が、若干、密輸入されてる感はありますよね。

Neil Tennantの本の当該部を見ると、そこらへんは
substitutionによって得られる"normalな"axiom schemeを指すことにする、
と書いてありますから、彼は>>246式の定義を考えていると思います。
Tenannt式の定義では、schematically axiomatizableでない
decidableな理論が存在する、ということで問題無いと思います。

ただ代数閉体の理論は公理図式によって公理化されていると言ったら間違いかというと、
それはロジシャン各人の用語法によってさまざまだと思います。
或るTuring machineによって生成されるような公理系であれば、
全て図式的に公理化可能と呼ぶことにすれば、これはc.e.ないしsemi-decidableと同じ事ですね。
ここまで拡張的に解釈しても、semi-decidableではあるがdecidableではないような理論は存在しますね。
273 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 15:22:21.36: >>270
Mathematical Logic J. Donald Monk
に基本的なリストが掲載されていますが古いものです。
ただし課題２は60年代で解決済です、あとの研究は個別の論文をあたるしかないと思います
リストみたいなものは見たことないです
決定可能集合論は割と新しい
Set Theory for Computing (Monographs in Computer Science)

最近でも自然数論に掛け算の代わりに連分数演算をぶち込んで決定可能にしたり
興味深いことは多い
274 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 16:50:04.12: >>269
>なぜなら体が決定不能なので、それに0とpを同一視する公理を加えたものも決定不能なる
よく分からないのだが、この理屈だと
「体が決定不能なので、それに代数的閉の公理を加えたものも決定不能」
といえてしまわないのだろうか？
275 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 17:54:42.36: ＞ただ代数閉体の理論は公理図式によって公理化されていると言ったら間違いかというと、
＞それはロジシャン各人の用語法によってさまざまだと思います。

これに反応して自称相場師が湧きそうなおかん
276 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 18:17:15.24: 決定可能な理論に有限個の公理を加えても決定可能（付加した公理を前件においた含意を考えればよい）なので
対偶をとれば決定不能な理論から有限個の公理を除いても決定不能とはいえるよね。
だけど逆は>>274のいう通り成立しないんじゃない？

とすると>>269の以下の記述はどう理解すればいいの？
>なぜなら体が決定不能なので、それに0とpを同一視する公理を加えたものも決定不能なる
>また、体に可換性の公理を加えても体が決定不能なのでやはり決定不能

結論だけでなくて「個別の論文」の情報もあげてくれない？
277 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 19:29:31.48: >>273
ありがとうございます

２．４．と１．は解決
５．も超越的で良ければtrue arithmeticで解決
c.e.性ないし決定可能性を仮定した場合は分からない
３．は未
って感じですね
278 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 20:42:36.44: 位数4の群の理論は、モデルはすべて有限濃度（というか４）で有限個のみなので決定的。
∀x (x^2=e) は Z/4Z で不成立、(Z/2Z)^2 で成立なので、統語論的に完全ではない。

どんな代数構造でも、範疇的にならない有限濃度なら同じ議論ができる。
以上、課題３の略解。
279 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 20:55:21.60: おー
280 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 21:08:34.50: >>269は、どこまでが文献に証明のある内容で、どこからが独自研究なのか、を明示すべきだと思う。
281 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 22:25:10.05: 独自研究は信用できないね。

「体が決定不能なので、それに0とpを同一視する公理を加えたものも決定不能なる」
って p=1 だと明らかに嘘でしょ？
体の理論に「1=0」を加えても無矛盾だけれど、
範疇的な理論でモデルが有限なので決定可能。

もちろん1は素数でないけど
「公理を加えただけだから」は理由にならないってこと。
282 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 23:50:45.99: 決定不能な理論を拡張して決定可能になる場合はあるけど逆は成り立たない
だから本質的決定不能という用語がある
実際に群は決定不能なのにアーベル群は決定可能になってしまう。
またMが決定可能ならその商体Q(M)は決定不能
逆にMが決定不能ならその商体Q(M)は決定可能という例もある
283 ：１３２人目の素数さん：2014/11/30(日) 23:54:02.23: 同感、むしろ代数的閉体なんて先に標数ｐに関しての完全性を証明してから
標数0を考えて通常の代数的閉体の決定可能性を示している。
284 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 01:26:15.24: Presburger算術を拡張してPeano算術にしたら
決定可能な理論が決定不能な理論に格調されるのではないの？
285 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 01:27:19.45: 格調→拡張
286 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 07:27:01.74: >>284
そういう言語を拡張するのはまた別
287 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 08:28:02.09: ＞またMが決定可能ならその商体Q(M)は決定不能
＞逆にMが決定不能ならその商体Q(M)は決定可能という例もある

Mの理論とQ(M)の理論の関係は、公理を加えたり除いたりする関係にあるわけ？
一見関係ありそうで関係ない話を持ち出してきて混乱させるのやめてくれない？
288 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 10:28:29.98: そいつは理解せずに適当な言葉を並べているだけ。STS（本人？）みたいな香具師。

＞だたし、実閉体のような決定可能な理論に標数を設定した場合は逐一確かめないとならない
＞実閉体に関しては標数をｐとしても決定可能性を保てる

>>276の指摘で一文目がナンセンスであることは分かるが
そもそも実閉体は順序体なのだから標数は0以外あり得ない。
「標数をｐとしても」というが標数をpにしたら矛盾するのだから
決定可能性が保たれるには違いないがそもそもナンセンス。
289 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 14:13:47.39: STS逝ってよし
290 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 17:34:15.43: >>273
>最近でも自然数論に掛け算の代わりに連分数演算をぶち込んで決定可能にしたり

検索のヒント教えてください
291 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 19:45:19.85: http://arxiv.org/pdf/1407.7000v1.pdf
OSTROWSKI NUMERATION SYSTEMS
292 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 20:01:55.06: ありがとうございます。
落として読みます。
293 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 21:03:54.66: 結局、課題２はどこまで解決したんだ？
294 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 21:07:11.22: ちなみに私は中身を理解していないのですが＾＾；
>>265が課題２は未解決といってたこともありGoogleを駆使して
>>266 >>267 >>269 >>271 >>273 >>282 >>283 >>291を執筆しました
もちろんモデル理論などまったくわかりません。
ではこれにて失礼
295 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 21:23:07.61: >>294
死ね
296 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 21:27:59.26: 理解していないのならいないなりに
検索結果と独自研究を分けて書けば喜ばれただろうに
297 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 21:50:07.99: やっぱりSTSの野郎だったか
298 ：１３２人目の素数さん：2014/12/01(月) 21:57:10.93: まあ話半分に参考にするよ。
どうせ物事の真偽を最終的に判断するのは自分だ。
Monkの本には確かに何か一覧表見たいなものが載ってた気がする。
Monkの本は>>294のレスと違ってちゃんと出典を明らかにしてたはずだし、
かりに載ってなくてもMonkの本は定評のあるGTMの本だから
あれを参照してみることは無駄にはならんだろう。
299 ：１３２人目の素数さん：2014/12/02(火) 13:02:17.51: 怪しげな>>269をあてにしないで課題２の解を示す。

語の問題
http://en.wikipedia.org/wiki/Word_problem_for_groups
特にリンク先にあるBoone-Rogersの定理と
有限表現可能な群の語の問題は一階の閉論理式で記述可能であることから
群の理論は決定可能ではない。

したがって>>276の二行目により
モノイドの理論、半群の理論も決定不能。
300 ：１３２人目の素数さん：2014/12/03(水) 14:27:11.87: スコーレムのパラドックスってどう理解すればいい？
非可算集合の存在を主張するZFに可算モデルがあるというやつ。
モデルの中からとか外からという説明がよく分からんのだが。
301 ：１３２人目の素数さん：2014/12/03(水) 18:06:07.72: >>299
それで良さそうだね。他の理論（環とか）は？

>>298
その本見てみたら結果を書いてくれない？
302 ：１３２人目の素数さん：2014/12/03(水) 19:08:49.47: 二次元ユークリッド空間（E^2、ユークリッド幾何のモデル)内に構成した
双曲幾何のPoincare円盤モデル（Hyp）はE^2内ではただの円盤C⊆E^2に見えている。
円盤モデルの中での直線は、E^2の図形として見ると、Cに直行する円弧に見える。

つまり
(直線)^(Hyp)
= (Cに直行する円のうちC内の部分の円)^(E^2)
= Cに直行する円のうちC内の部分の円

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/Triangolo_iperbolico.svg

スコーレムの話も同じことだよ。当時既に非ユークリッド幾何なんて
普通に知られていたから、数学者の間で大激論が起こったりとかはしなかった。
スコーレム自身が自分で解決したんじゃなかったかな。
303 ：１３２人目の素数さん：2014/12/04(木) 12:06:39.01: >>302
スコーレムのパラドックス自体にまったく触れずに
非ユークリッド幾何と同じと言ってもなｗ

ZFに限らずそもそも形式系は可算と非可算の区別ができないというのが、
このパラドックスを理解するポイントじゃないのか？
304 ：１３２人目の素数さん：2014/12/04(木) 14:43:26.36: >>296
俺はSTS君ではないが

http://en.wikipedia.org/wiki/Decidability_%28logic%29#Some_undecidable_theories
The first-order theory of groups, established by Alfred Tarski in 1953.[2]
Remarkably, not only the general theory of groups is undecidable, but also several more specific theories, for example (as established by Mal'cev 1961) the theory of finite groups.
Mal'cev also established that the theory of semigroups and the theory of rings are undecidable.
Robinson established in 1949 that the theory of fields is undecidable.
305 ：１３２人目の素数さん：2014/12/04(木) 22:34:23.70: 群の決定不能は新井の数学基礎論の計算論の章にのってるよ
語の問題といっしょに
306 ：１３２人目の素数さん：2014/12/04(木) 23:07:14.31: >>303
>モデルの中からとか外からという説明がよく分からんのだが。
とあったので、それに対するレスのつもり。

あるモデルMでは、Mの中での可算とMの中での非可算の区別は
当然出来る。ただ、xがMの中で可算とは、
Mの中にωとxの間の全単射が含まれること、つまり
「∃f s.t. f:ω → x は函数かつ全単射」がMで成り立つことなので、それはMに依存する。
このなかで∃fの部分が本質的に非有界な操作なので、可算という概念は
絶対的（Mの中と外で解釈が同じこと）にはならない。
307 ：１３２人目の素数さん：2014/12/04(木) 23:27:58.10: ZFに対する可算モデルは期待していたモデルではないよね、もちろん。
308 ：１３２人目の素数さん：2014/12/05(金) 00:38:37.84: 寧ろ強制法とかやってると、モデルと言えば
可算推移モデル（c.t.m.）みたいな感じになってくるので微妙
309 ：１３２人目の素数さん：2014/12/05(金) 08:02:13.89: >>306
大体教科書にはそう書いてあってその文章を追うことはできるんだが
よくわかった気がせんのだ。
モデルの中とか外とか言うが、そもそもモデルってどっちから見るものなんだ？
だれが見るんだ？
310 ：１３２人目の素数さん：2014/12/05(金) 08:05:43.86: 俺だよ、俺
311 ：１３２人目の素数さん：2014/12/05(金) 21:25:06.21: >>309
集合論では「モデルの中」という言葉に相当する概念として
relativization相対化とsatisfaction充足という、二つの異なった概念がある。
具体的には、相対化はproper classでも定義できるけど
或るクラスにおけるsatisfactionは、ZFCの論理式としては表現できない。

これはきちんと区別できないと集合論を理解しているとは言い難い。

モデルの中/外というのは、だいたい公理ZFC（±α）（:= X）の下で
ZFC±αの集合論（:= Y）のモデルのことを考えているときのことを言うと思う。
このとき X における話の事をモデルの外、 Y における話の事をモデルの中というと思う。

ただあと中とか外とかいう言葉遣いをしている人は、往々にして
meta/objectとsemantics/syntaxの区別を区別していない。
これもきちんと区別しないといけない概念だと思う。
312 ：１３２人目の素数さん：2014/12/06(土) 13:16:54.49: グッドスタインの定理は、ペアノ算術では証明できないが集合論では証明できる命題の一例ですが、
同じように、再帰的関数論の定理で集合論を必要とするものは知られていますか？
313 ：１３２人目の素数さん：2014/12/06(土) 13:45:25.19: >>312
Hardy階層/fast growing階層の上の方(ε_o 以上)の関数の全域性
314 ：１３２人目の素数さん：2014/12/06(土) 14:23:33.32: ありがとうございます
どうやらグッドスタイン数列の長さもfast growing階層に入ってるんですね
これの全域性がペアノ算術で証明できないのは、言われてみれば当たり前でした…
315 ：１３２人目の素数さん：2014/12/06(土) 18:15:42.45: Robertson–Seymourの定理もそうだね。
ただこの定理もGoodsteinの定理も再帰関数論の定理っていうのかな？
再帰的関数の部分クラスの全域性は再帰関数論の定理といえるだろうけど。
316 ：１３２人目の素数さん：2014/12/08(月) 15:47:44.42: 結局、標数ｐの体の理論は決定的なのかな？
誰か知らない？
317 ：１３２人目の素数さん：2014/12/11(木) 19:53:29.61: 有限体は全部決定可能
The Collected Works of Julia Robinson/ Julia Robinson
318 ：１３２人目の素数さん：2014/12/11(木) 22:34:35.71: 有限体ってどういう意味で言ってる？
モデルの濃度が有限になるような理論だったら決定可能なのは当たり前。
それに標数が有限だからと言って体そのものが有限とは限らないよね？
319 ：１３２人目の素数さん：2014/12/11(木) 23:21:21.68: 文系で興味持って一冊読み切ったわけよ
そしたら学習者の手引きってとこにたくさん参考書が載ってるわけよ
皆この教科書何冊も借りて、被ってないとこ読んでるの？
そうやって学習してるの？
320 ：１３２人目の素数さん：2014/12/12(金) 09:23:47.21: そんなことしない
321 ：１３２人目の素数さん：2014/12/12(金) 20:45:27.40: >>1で出てる3大定理理解してからまた来るわ
322 ：317：2014/12/12(金) 20:48:49.97: sinimasu^^;
323 ：１３２人目の素数さん：2014/12/17(水) 00:30:19.85: >>311
横からかつ亀で申し訳ないが、その「外」というところで成り立っている規則が明示されていない、という感覚を持っている。
metaの世界で使っていい論法って何？
324 ：１３２人目の素数さん：2014/12/17(水) 23:01:38.96: >>323
逆数学などではいろいろな前提が置かれているようだ。
普遍的な規則など何も仮定しない。
325 ：311：2014/12/18(木) 00:44:35.30: >>323
まず、311にも書いたけど「外」＝metaではない。
311に書いた例で言えばX（=ZFC±α）という地の理論の上で
Yのsemanticsやsyntaxを考えているだけ。
従ってYのモデルM_Yの外でどうのこうのとか言った時には
使って良い規則は当然X（=ZFC±α）の公理と普通の推論規則になる。

metaな世界で使って良い論法は、対象理論の論理式などについて
考察するときに必要になる論法だから、弱めの自然数論で足りる場合が多いはず。
場合によっては可算個のモノの集まりなどは使いたくなる場合もあるかもしれない。
Tarskiとかは、メタ論理としては一階古典論理を採用する、と明言していたりするみたい。
それはそれで一つの明晰な立場だとは思う。

ただ最近いろいろ勉強してて思うのが、メタ論理として許容するのは
一階古典論理だとか二値原理だとかいうのは、突き詰めて考えれば、
ただのconvention規約に近いと思う。
326 ：１３２人目の素数さん：2014/12/18(木) 00:45:26.90: あと311は相対化と充足の違いについてちょっと不正確だった気がする。

相対化というのはある論理式φに対して、そのMへの相対化φ^Mを考える操作の事で、
従って式φの属する理論と同じレベルでは相対化という操作φ |→ φ^M 自体は扱えない。
つまりこれは一種のmetaな操作になる。

一方、「<m, r> |= "φ"」というのは」これ自身が集合m、m上の関係r、
論理式をコードするゲーデル数（または遺伝的有限集合）"φ"という
3つの変数を持つ一つの論理式とみなすことができる。
「<m, r> |= "φ"」もφの複雑さについての帰納法で下から定義することが出来る。

（省略せずに言うと「φはψの部分論理式である」という関係は、自然数"φ"と"ψ"の
関係として整礎的なので、"φ"についての命題は整礎関係に関する帰納法によって
定義することが出来る。）
327 ：１３２人目の素数さん：2014/12/19(金) 23:29:24.83: >>325
弱めの自然数論と一階古典論理ってどっちが強いとか弱いとかあるの？
328 ：１３２人目の素数さん：2014/12/20(土) 04:30:25.05: 弱めの自然数論は普通、一階古典論理とか
直観主義論理とかの上で展開されるものなんじゃないの
329 ：１３２人目の素数さん：2014/12/20(土) 12:02:32.20: 不完全性定理の証明の肝は「メタ数学の算術化」と言われる。
ということは、その議論では、メタ数学は
不完全性定理の主張で出てくる算術で形式化できなければならない。
この場合、ZFC＋αなんて強すぎる。
（ZFCについての不完全性定理を述べるならそれでもいいが。）
330 ：１３２人目の素数さん：2014/12/20(土) 20:30:19.26: 結局、「自然数って何ですか？」
という質問になる。
331 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 00:41:33.67: 一階古典論理のうえで1+1=2って成り立っているの？
違うよね？
332 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 11:16:10.10: >>331
1とか2とか+とかが一階古典論理の対象でない以上、成り立つもクソもないでしょう。
333 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 11:43:20.96: たぶん「あの」（標準的）自然数とか自然数に関する命題というのは
成り立ったり成り立たなかったりするものじゃなくて、
ただどこかに在るものなのだと思う。

命題間の帰結関係も、そのなかに関係としてただ在って、
そのpathをたどっていく事で、数学者は新しい認識的価値を持つ命題に辿り着くのだと思う。
その帰結関係の有無を統べる法則が論理的な公理や推論規則。
334 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 13:00:32.26: 「ただ一つ」実在するとは限らないわけで
335 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 13:05:24.44: 存在なんて全て揺らいでいるのだから
自然数の実在が揺らいでいても驚くにはあたらないかと
336 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 13:35:35.87: 圏論のようにZFに納まらない対象があるのに、ZFが標準的な集合論と考えられている理由は何なのでしょうか。
337 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 15:46:10.69: ZF (+C) で研究対象としてちょうど良いくらいに豊かだから。
338 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 16:50:57.60: 証明論や逆数学の人はPAや二階算術の方が研究対象としてちょうど良いくらいに豊かだと思ってるだろうよ。
339 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 20:00:00.72: >>336
圏論はZFに収まらないってのは精確にはどういうことですか？
良く聞くけどいつも良く分からないです。

個人的には、代数学者でロジックに詳しくない人とかの言う事は
あまり鵜呑みに出来ず、自分で判断しないと危ないと思ってます。
340 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 20:02:34.83: 逆に聞くけど、ZFでの圏論の確固とした基礎付けなんてあるの？
341 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 20:18:58.38: すべては集合。
それに収まらない問題は疑似問題だから無視してよい。
342 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 20:23:05.27: >>339
そもそもそれは数学的に定式化できる類の問題ではないので、精確にはどうかと問うても仕方がない。
343 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 20:38:06.64: >>339 >>342
そうなの？ Yonedaのレンマとの関係は？
344 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 21:29:51.72: >>341
良く分からんけど、atomとかurelementとかは無いの？

集合論で全てが集合なのは
・それだけで十分済むから
・扱いが簡単だから
この二点であって、別に深遠な哲学的根拠から
対象領域の全ての要素集合だという事になったわけではないよ。

>>342
数学的に定式化できる問題でなければきちんとした意味が無いの？
だとしたらそもそも正しいかどうかも分からないんじゃない？
345 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 22:04:02.52: 切断なり、基本列なりで実数を構成した後、初心者は実数を非集合の原子に置換したがる。
346 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 22:31:13.46: なんの初心者？ｗｗｗ
347 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 22:31:57.30: 超準解析とか
348 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 22:39:42.64: >>344
「全てが集合」で本当に最後まで世界のすべてを形式化できそうなんだし、それでいいじゃないか。
どうしてもできない、となってからオルタナティブなものを考えればいいのさ。
349 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 23:01:40.43: 超準解析の超準元とか、構成が比較的複雑だし
構成法を忘れてしまいたい代表例だと思うけどなあ

実数をどういう風に構成するかなんて非本質的な情報の
最たるものなのに、それを最後まで残る意義が分からない
350 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 23:05:16.47: >>349
斎藤の
http://www.amazon.co.jp/超積と超準解析―ノンスタンダード・アナリシス-斎藤-正彦/dp/4489003749
とかにも原子のある集合論の紹介があったから、基礎論の専門家でない人は気にするようだよ。
351 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 23:08:16.51: 年収９００万 /４２歳ボーナス２３０万すべて税金税金

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352 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 23:14:25.75: ZF+V/=L の無矛盾性って、まずLに非構成的集合を一つだけ付加して、それを
ZF公理系を充足するように一歩一歩拡大していくことによって簡単にできる
んじゃないかと思うのだが、どこで間違ってる？
353 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 23:17:21.89: >>350
JechのAxiom of Choiceとか
HalebisenのCombinatorial Set Theoryとか
BarwiseのAdmissible Sets and Structuresとかでも
atomとかurelementのある集合論が載ってるよ

この人たちは専門家じゃないんだろうね
専門家の350さんには勝てませんなあ
354 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 23:18:16.49: >>352
そういう非構成的集合が一つ取れることの証明は？
355 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 23:20:43.81: ここに専門家なんていないよ
このスレは以前から下手の横好きしかいない
356 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 23:26:32.61: 専門家だからどう、専門家じゃないからどうとか
言ってる発言は頭が悪いから総じて相手にする必要無いと思う

専門家が、素人っぽいと言ってる場合、
細部での詰めの甘さとかを総合して言っている事はあるけど、
それならそれで詰めが甘いとか少しでも具体的に言うべき
357 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 23:45:46.50: >>354
Lに属さない或るものをとってきて、それがLといっしょにZF公理系を充足
させるというだけでいいんじゃないの？それが「取れる」とうことでしょ？
358 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 23:54:40.29: >>348
「全てが圏」で本当に最後まで世界のすべてを形式化できそうなんだし、それでいいじゃないか。
どうしてもできない、となってから集合なんてものを考えればいいのさ。
359 ：１３２人目の素数さん：2014/12/21(日) 23:56:51.82: >>358
口喧嘩するにも機転の良し悪しとかユーモアセンスとかが問われるよね
360 ：１３２人目の素数さん：2014/12/22(月) 00:18:47.90: >>357
L に含まれない新しい要素 a を付け加えるにしても、
Lとかの要素 x を任意に取って来たとき、
x ∈ a はどういう x に対して成り立ってどういう x に対しては成り立たないかは
決めてやる必要があるでしょ。

これが決まってないのに ZF を満たすも満たさないも無いでしょ。
361 ：１３２人目の素数さん：2014/12/23(火) 10:30:45.02: >>354
|u|＞ωのときはDef(u)⊂P(u)だから、P(u)-Def(u)の部分から取ればいんじゃないの？
362 ：１３２人目の素数さん：2014/12/23(火) 10:45:15.13: その集合はL-rankがもっと高いだけで定義可能な要素である場合もあるでしょ。

特殊なuの選び方するのかもしれないけど、具体的にはどう取るの？

というかCON(ZF)のもとで、
「非構成的集合が一つ存在する」
⇒「非構成的集合が一つ存在すると仮定しても矛盾しない」
⇔「ZF+V/=L の無矛盾性」
だからね
363 ：１３２人目の素数さん：2014/12/23(火) 11:39:58.17: >>362
>その集合はL-rankがもっと高いだけで定義可能な要素である場合もあるでしょ。
そこだけど、そんなことあり得るかな？だって「rank」なんだしｗ
もしあったとしても、各rank nについて、Def(L(n))⊂P(V(n))なんだから、
結局、Lに属さない集合がVの中のどこかに取れるはずだね？
なお、下の5行は分かってる。
364 ：１３２人目の素数さん：2014/12/23(火) 13:00:22.93: 名前に騙されるのは素人の典型症状
365 ：１３２人目の素数さん：2014/12/23(火) 15:22:51.64: >結局、Lに属さない集合がVの中のどこかに取れるはずだね？
あなたはZF + V = L が矛盾してるって言いたいの？

我々が当面棲んでるモデルではV=Lが成り立ってるかもしれないのだが。

>>363
実例が新Kunenのconstructible universeに演習問題扱いで載ってたはず
今手元に無いから確認不可だが
366 ：１３２人目の素数さん：2014/12/23(火) 17:34:40.64: 数理論理学の初学者向けの本は無いのか
367 ：１３２人目の素数さん：2014/12/23(火) 18:12:40.97: スマリヤン
368 ：１３２人目の素数さん：2014/12/23(火) 19:15:12.53: >>365
>あなたはZF + V = L が矛盾してるって言いたいの？
いや、ZF + V /= L　があり得ると言ってるつもり。
もちろん、ZF + V = L もあり得るし。

>実例が新Kunenのconstructible universeに演習問題扱いで載ってたはず
少し探したが見つからなかった
369 ：１３２人目の素数さん：2014/12/23(火) 19:46:46.52: 「ZF + V ≠ L」があり得ることの証明をするために、
もし「ZF + V = L」であれば存在しないような要素を一つ無造作に持ってきて
それを使って証明しても、何を示した事にもなってないでしょ
大丈夫？
370 ：１３２人目の素数さん：2014/12/26(金) 13:23:18.36 ID:7HLZVdWF: まあなんだ、構成可能階層とか分岐型理論まわりでは、
階数(rank)と度数(degree)の違いを理解していない人が多いよな
371 ：１３２人目の素数さん：2014/12/27(土) 00:45:32.36 ID:YAF4YSPU: degreeって良く知らん
372 ：１３２人目の素数さん：2014/12/28(日) 09:17:04.54 ID:p7ggcCxE: 階数nの集合からなる集合の階数はn+1なのに対して
度数nの集合のなす構造において定義可能な集合の度数がn+1になる。
（有り体に言えば度数nの集合を走る量化を使って定義可能な集合の度数がn+1）
よって自然数の集合（階数ω）たちの中に色々な度数を持つ集合が存在するわけ。

Lの構成は確かに階数も上げて行くが
L-rankというのは分岐型理論のdegreeと考えた方が良い。
373 ：１３２人目の素数さん：2014/12/28(日) 15:34:00.38 ID:3KsUA0jk: 叩き台です

正規文法（Deterministic Finite Automaton）は統語論的にも意味論的にも完全
文脈自由文法（Push Down Automaton）は統語論的にも意味論的にも完全
文脈規定文法（with Backtrack）は統語論的には完全だが意味論的には不完全
句構造文法（Turing Machine）は統語論的にも意味論的にも不完全

ちなみに計算機屋の直観に過ぎず数学はあまり知らないです
374 ：１３２人目の素数さん：2014/12/28(日) 15:41:27.11 ID:3KsUA0jk: これの、
Type0＝Σ^0_1＝RE⊇Δ^0_1＝R＝RE∩co-RE＝CLH1⊇Type1＝IL⊇CLH2⊇Type2⊇Type3

CLH1、CLH2のマシンスペックを教えてください
375 ：１３２人目の素数さん：2015/01/03(土) 15:51:59.56 ID:2Poiqfi3: TTTさん、CLH1とCLH2のマシンスペックを教えてください
376 ：TTT：2015/01/04(日) 00:06:58.50 ID:LUBGFHcm: 昨日から調べたけどわからなかった
自分でもなぜそんなことを考えたのか・・・
完全性は形式体系でしか意味を持たない
形式文法の完全性は意味をなさない
他はcomplexitly zooを調べてくれ！
377 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 00:36:03.56 ID:SK2m6pqV: 正規文法: Deterministic Finite Automaton: テープと変数一つのヘッダ
文脈自由文法: Push Down Automaton: テープとスタック一本のヘッダ
文脈規定文法: with Backtrack: テープのバックトラックができる
句構造文法: Turing Machine: テープの書き換えができる
378 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 00:52:16.65 ID:LUBGFHcm: 同値な体系はいくらでもあるよ有限オート万トンとか
完全性はまったく違う概念だし証明体系にしか通用しない概念だから
証明体系の決定可能性（＝完全性）と計算論的な決定可能性をはき違えたか？
379 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 00:53:55.58 ID:SK2m6pqV: モウア可愛いんだよ。俺が死んだら迎えてくれよって言ったらうれしそうに
うんうん頷いてる
380 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 00:55:07.88 ID:SK2m6pqV: >>379は失礼。誤爆
381 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 01:02:29.32 ID:SK2m6pqV: >>378
意味論的な決定可能性ってじゃあなんですか？統語論的不完全、意味論的
不完全以外に第三の不完全性があるということ自体に懐疑的な計算機屋です
382 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 01:12:55.85 ID:LUBGFHcm: 2つの体系が同値なことと
2つの体系が意味論と統語論の関係にあることは全く違う
383 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 01:15:11.82 ID:SK2m6pqV: 例えばゲーム意味論はプログラミング言語それ自体を抽象してのけるわけですよね？
僕は統語論と意味論以外のものなんて世の中にないと思いますよ
384 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 02:19:54.34 ID:LUBGFHcm: >>373
それらはすべて統語論的に完全
さらにすべて完全性をみたす（＝同値な）意味論的体系をもつ
385 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 05:09:48.62 ID:SK2m6pqV: >>384
チューリングマシンの意味論が完全なのですか？
386 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 05:11:43.37 ID:SK2m6pqV: テープの書き換えをしてもシンタックスが完全なのですか？
387 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 10:15:08.32 ID:efy1N43M: テープを書き換えても読み込みオンリーでもテープが複数でも
チューリングマシンは決定可能な体系
万有チューリングマシンになると半決定可能になる。
388 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 14:06:31.59 ID:SK2m6pqV: 意味論というものに今ひとつ洞察が働かない計算機屋ですが、もしかして
みなさん、意味論と言えば考え得る限りのうちで「最小の」意味論みたいな
ものを想定されてますか？
389 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 14:48:26.80 ID:XxuvqTcG: 意味論という言葉はJAISTとかの計算系の人と
そうでない数学・哲学の人でだいぶ発想が違うと思う
言語学はその中間かな

そもそも良く分からないsyntaxが最初に与えられてて
それに何種類もsemanticsを考えないといけない、という状況があまり無い気がする
390 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 15:12:33.81 ID:NIAo2Zzj: 二階述語論理だと意味論のとりかたによっては完全じゃなくなる
集合論やモデル理論だと意味論は色々考えることになる
391 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 15:21:30.67 ID:NIAo2Zzj: JAISTも数学系も全部同じだよ意味論の捉え方は
ちがうんだったら意味論とか考える意味がなくなるから
392 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 15:31:57.58 ID:SK2m6pqV: トラウマだらけの犬ドッグ
393 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 18:41:28.16 ID:7U7+4hw5: 不完全性定理の意味というのは、第二階述語論理の公理系は完全ではないでFAなのか？
394 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 20:28:27.27 ID:9D6l8J09: 違うよ
不完全性定理は形式体系の完全性（＝決定可能性
2階論理の完全性は意味論的完全性
395 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 20:59:58.34 ID:7U7+4hw5: なんで二階述語論理の公理系の完全性が意味論的完全性になるの？
あれは完璧構文的問題じゃん。意味なんて全然考えない。
396 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 21:20:42.52 ID:7U7+4hw5: ていうか、公理系の問題なんだから構文的な問題だろ。
「公理」って恒真な論理式の形式だぜ。
397 ：１３２人目の素数さん：2015/01/04(日) 22:47:21.24 ID:9D6l8J09: 数理論理学の教科書1冊読んだら？
完全性定理の方が意味論的問題で、ゲーデルの不完全性定理の方が構文論的問題だよ。

完全性定理は意味論（モデル）と構文論（一階述語論理の証明体系）の整合性がとれていることを示している。
ゲーデルの第一不完全定理は証明にはモデル側がでてくるが、
実際の決定不能な命題は意味論側とは無関係に存在しているもの。
398 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 12:16:22.53 ID:YmoEB8UA: 完全性定理は意味論と構文論の関係についての定理。
つまり意味論にも構文論にも両方に関わる定理なのに
なぜ「完全性定理は意味論の定理」と言われるのか？

「不完全性定理は構文論の定理」が
意味論に関わらないという意味を含むのなら、
「完全性定理は意味論の定理」は
構文論に関わらないという意味を含むことになってしまう。

「不完全性定理は構文論の定理」と「完全性定理は意味論の定理」は
対にして並べるべきスローガンではないと思う。
399 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 18:00:19.68 ID:Da5cS2lz: そもそもsyntaxが或る程度定義されてなければ
semanticsも考えようがないからね

ただ、こういう議論は代数的閉包の存在は
集合論の定理なのか、代数学の定理なのか、
みたいな議論と同じで、あまり意味無いと思う。
どっちでも良いじゃん、というのが結論。

>>394
上で出てきた話だけど
true arithmeticとかは完全だけど決定可能じゃないので
構文論的完全性＝決定可能性とか書くとちょっとアレ
400 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 19:53:47.82 ID:v+EtTKZw: >>397
曲がりなりにもなんとか読んでるからこうやって書いているんだが。

完全性定理は第一階述語論理の恒真論理式が、公理系から導出可能かどうかという定理で
モデルはその証明に出てくるだけであって、主張には出てこなかったはず。

確信は持てないが、完全性定理が意味論的で、不完全性定理が構文的というのは逆じゃないか。
不完全性定理の原題って「PMやその関連体系での形式的に決定不可能な命題について」だぜ
決定可能性って、論理式の表現が恒真であるかどうかを確認できるかどうかって性質でそれは意味論側。

>>399
構文的完全性＝決定可能性は、第一階述語論理にしか言えない。ゲーデルの完全性定理から。
401 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 20:45:57.02 ID:Da5cS2lz: >>400
true arithmetic（TA）って一階述語論理の理論なんだけど。
402 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 20:50:28.85 ID:v+EtTKZw: マジか。精進します。
403 ：401：2015/01/05(月) 20:52:14.06 ID:Da5cS2lz: >>400
恒真の定義は知ってる？
構造とかモデルの概念が出て来るじゃん

>決定可能性って、論理式の表現が恒真であるかどうかを確認できるかどうかって性質
これもちょっと変で、単にφが正しいのかnot φが正しいのかを
実効的に確かめるためのアルゴリズムがあるかどうか、という問題だよ。
つまり計算可能性の問題。syntaxかsemanticsかという問はあまり意味が無い。
上野動物園のパンダは中国人なのか日本人なのか、とか恰もそういう感じ。
404 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 20:52:53.67 ID:2aPTrt7j: 横レスだけど、
構文論的と意味論的な完全性ってのは
完全性定理と不完全性定理を見分けるためとどこかで読んだ
あとゲーデルの原論文では意味論と構文論はわかれていない
そのかわり無限階述語論理（型論理？）みたいなのを使っていたと思う
405 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 20:54:02.14 ID:mAek2SMM: >そもそもsyntaxが或る程度定義されてなければ
>semanticsも考えようがないからね

正にそこだよ。そもそも syntax というのは
何が well formed formula なのかを決める、つまり言語を定めるもの。
言語学でもプログラム言語の理論でもそういう使い方をされる
（以下「狭義の構文論」と呼ぶ）。

公理とか証明可能性とか（便宜上、以下「証明可能性論」と呼ぶ）
までを構文論 syntax に入れてしまうのは論理学界隈だけの変な習慣だと思う。
プログラミング言語の公理的意味論との類似が強い。

意味論に必須なのは狭義の構文論だけであって証明可能性論は必要ない。
坪井先生などモデル理論の人の書いたのを見るとそういう立場で書かれている。

狭義の構文論の上に（それぞれ独立に）構築される
モデル（意味）論と証明可能性論の関係を述べるのが完全性定理。

一方、不完全性定理は証明可能性論の定理なので
広義の構文論（狭義の構文論＋証明可能性論）だけで記述できる。

この意味でも、構文論と意味論の対立で説明するのは不適切だと思う。
406 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 21:05:12.85 ID:v+EtTKZw: まあ何が知りたいかということを端的に言うと、ゲーデルの不完全性定理って
一体何がすごいの（すごかったの）ということが知りたいのです。
407 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 21:25:16.30 ID:v+EtTKZw: 恒真性って任意の個体領域で真となる性質の事でモデルなんて出てこないっすよ。

素朴な疑問なんですが、不完全性定理の証明に出てくる述語 Bew って
単項述語をとる述語で二階述語です。だから
∃r . Bew(r)
が恒真だけど決定不可能、
つまり恒真ということを公理系から確認するためのアルゴリズムが原理的にない
ってことですよね。
というわけで、恒真論理式≠決定可能な論理式
で公理系が完全ではない

全然関係ないですが公理系が完全ってヒルベルト空間の基底が完全系を成すというのが元だと思う。
408 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 21:32:23.65 ID:Da5cS2lz: syntaxとsemanticsの区別自体が数理論理発の考え方だから
仕方無いんじゃないの

>>404
もっときちんと勉強しよう

syntax（統語論/構文論）とsemantics（意味論）は、
別に完全性定理と不完全性定理を区別する為に考え出されたものではない。
もし何かの本にそう書いていたのなら、その著者
（か、それを紹介している404）が適当な理解しているだけ。

ゲーデルの論文で使われてるのは型の理論という
syntacticalなシステム。
前原昭二の数学基礎論入門は原論文のまま、これでやっている。
409 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 21:39:57.27 ID:Da5cS2lz: >>407
その、任意の個体領域で～～みたいな概念は意味論的概念なんだけどね。

>不完全性定理の証明に出てくる述語 Bew って単項述語をとる述語で二階述語
単項述語を取る述語じゃなくて、単項述語（を表す文字列）のゲーデル数を取ってるから
自然数を引数に取る一階の述語でしょ。
だからこそ一種の自己言及が可能になって不完全性定理が証明できる。

二階の述語というのは、一階の述語そのものを引数に取る述語で、これらは全然違う。

ゲーデル数化というのは、やはり当時にあっては革命的なアイディアで、
このアイディアが計算機の理論や技術の発展に根本的に効いているのでそれをスルーするのはおかしい。
「LISPやってる奴からすれば不完全性定理とか当然じゃん。ヒルベルトとかゲーデル馬鹿じゃね？」
とかそういう意見をたまに目にするけど、とんでもない。
410 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 21:46:45.91 ID:v+EtTKZw: >>409
>単項述語を取る述語じゃなくて、単項述語（を表す文字列）のゲーデル数を取ってるから
>自然数を引数に取る一階の述語でしょ。
そうなんだよ！そこがわけわからんのだよ。最初は単項述語とる述語とされているんだけど、
ゲーデル数を代わりにとると途中でなるから一階なのか二階なのかわからないんだよ。

それに、ゲーデル数のアイディアってレーヴェン＝ハイムスコーレムの定理である程度使われてない？

LISPでもリフレクション計算知らないと当然とまでは言えないし、一体なんなのかわからない。
411 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 21:47:32.66 ID:v+EtTKZw: レーヴェンハイム＝スコーレムね。
412 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 21:53:13.20 ID:Da5cS2lz: あ、ちなみに命題の階数というのは
そもそも自己言及を許さないようにするために
RusselとWhiteheadのPrincipia Mathematicaで導入されたものなんですよ。
この本で展開されているのが（分岐）型理論 ramified type theoryというもの。
低階の述語は高階の述語を参照できないというのが悪循環原理 vicious-circle principleというもので、
これはPoincareとかの非可述性（unpredicativity）批判が元になっています。

啓蒙書では数学を本当に勉強することは出来ないとか言うけど、
こういう史的事項に限って言えば、ロジックの教科書にはほとんど書いてなくて
一般向けの啓蒙書の方が寧ろ詳しい。岩波新書（赤）の三浦のラッセルの本とかも。
こういう非数学的なことも重要であれば割と良く書いている点で
菊池誠先生の不完全性定理の本は良い本です。

タイプ理論の起源と発展　←　こういうのを読むと勉強になると思う。
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/151121/1/ronso38_S49_type.pdf
413 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 21:57:59.81 ID:v+EtTKZw: 史的事項が載っている数理論理学の本もあるよ。
http://www.amazon.co.jp/dp/B000JAQISY
というよりもこの本が発端だ。
なぜ誰にも読めないと言われたPMの型理論が知られているかというとこの本が解説したからだ。
414 ：412：2015/01/05(月) 22:06:30.70 ID:Da5cS2lz: ああ、なんか不完全性定理や基礎論が訳分からんって
言われる理由がちょっと分かった気がする。

普通、ブルバキズム以降の数学の専門書では
或る概念を考える意義とか意味合いについてはｇｄｇｄ語らずに
使ってりゃ慣れるし自ずと分かる、という立場が貫かれている。

ところが数理論理含めて論理学では、その概念導入の
契機となった歴史的出来事とか論争とかを知らないと
何のために概念を導入するかが全く理解できないからだ。

なんで俺みたいな数学科出てない人間が、数学科のほとんどの人間より
良く不完全性定理のことを分かっているんだろうと思ってたけど、なんか納得。
数学科の人はたいてい数学史的理解を（相対的に）軽視するからなんだと思う。

>>413
そのHilbert-Ackermannの本の原書は
Grundzuge der theoretischen Logikっていって1928年の本。
そこに挙がってた課題を解決して研究者としてのキャリアをスタートさせたのがゲーデル。
歴史上の聖遺物みたいなものだね。史的事項が解説されている本というか、正に史的な本。
岡潔にとってのBehnke-Thullenとかと一緒。
415 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 22:09:36.75 ID:Da5cS2lz: ごめん
unpredicativityじゃなくてimpredicativityだ
俺アホや
416 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 22:44:13.91 ID:v+EtTKZw: >>414
>そこに挙がってた課題を解決して研究者としてのキャリアをスタートさせたのがゲーデル。
そうだ完全性定理はまさしくそうだし（狭義の述語論理の完全性）、
不完全性定理もそうだ（広義の述語論理の完全性）。

ここに書き込むのはちょっとしたチャレンジだったが朝日が見えてきたような？
417 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 22:47:37.99 ID:dUrn9Oqx: 訳わからんといえばモデルというやつも訳が分からない。

自然数がペアノの公理系のモデルになってる？とか、完全性定理の証明に集合論の仮定が出てくるとか
訳のわからないものはだいたいモデルってやつが登場してくる。
418 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 22:49:50.59 ID:v+EtTKZw: モデルは完全性定理の証明の中に唐突に出てくる。定義は確かに一体なんなんだ。
419 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 22:59:32.31 ID:dUrn9Oqx: >>418
いやさすがにそれはない・・・

モデルの話の中に完全性定理が出てくる。
それくらいはオレでもわかる。
420 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 23:07:56.24 ID:v+EtTKZw: あら、そう。俺がわかってないってだけだから。
421 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 23:21:17.54 ID:FFE/5qyf: (1)∀x(x=x)
(2)∀x∀y(x=y⇒y=x)
(3)∀x∀y∀z(x=y∧y=z⇒x=z)

例えば、(1)が(2)と(3)から導かれないことは
１点集合{a}において=を常にa=aが偽である
ようにモデルを作ると、このモデル上では
(2)と(3)は成り立つのに(1)は成り立たない
ということから証明できる
(2)が(1)と(3)から導かれないことや
(3)が(1)と(2)から導かれないことも
そういうモデルを作ることで証明できる
したがって(1)(2)(3)は互いに独立であることが示される
422 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 23:53:39.94 ID:YmoEB8UA: >>408
>syntaxとsemanticsの区別自体が数理論理発の考え方だから

何言っているんだ？ syntax と semantics の区別は言語学で古くからある
文法用語として ordinal と cardinal の区別があったのと同じで
そうでなければもっと人工的な言葉になるでしょ
（和製漢語の「構文論」「意味論」はいかにもな造語だけど）

プログラム言語の理論での syntax の用法は
数理論理経由ではなくて、言語学から直接入ったように見えるけど、
実際の歴史はどうなんだろね

>>405の「証明可能性論」を syntax と言ってしまう慣習は
「意味論的概念を使わない」という否定的な意味以上のものはないと思う
これを syntax と呼ぶ積極的な理由が見当たらない
423 ：１３２人目の素数さん：2015/01/05(月) 23:58:56.08 ID:v+EtTKZw: >>421
恒真性とつながりがわかってきました。きちんと勉強します。

なにはともあれ、不完全性定理＝第二階述語論理の公理系の不完全性
といってもトンデモ扱いにされないということがわかりました。
なんでもかんでもトンデモ扱いしてるとどんどん業界が狭くなっていくと思うので
安全な言明というのを確保していかんと一般向けのアピールもなんもないです。
森田某さんとかも結構そういう意味で頑張っとると思うんですが、
あんまウケよくないっすよね。俺は結構応援してますよ。
424 ：１３２人目の素数さん：2015/01/06(火) 00:01:11.68 ID:nVabzE2i: 公理と推論規則が導入された後の話をsyntaxと呼ぶのは変なのでは？
と思う
425 ：１３２人目の素数さん：2015/01/06(火) 02:00:56.25 ID:gMX3PmPD: >>422
論理式だけじゃなくてその有限列の証明とか、
式からつくられたsequentとかは全部syntacticalな対象だと見做しても
別におかしくないと思うけどなあ。

ただ、semanticsのために必要なsyntaxはごくごくわずかに過ぎない、
というのは事実だし大事なことだけどね。
426 ：１３２人目の素数さん：2015/01/06(火) 08:36:39.20 ID:IVGa2w31: >>425
その大事な事実を見落とすような言葉遣いが定着してしまっているのは残念だよね
君なら「semantics の為に必要な syntax」とそれ以外の「証明可能性論」を
どういう言葉で区別すればいいと思う？
427 ：１３２人目の素数さん：2015/01/06(火) 09:29:51.04 ID:p/NeFy4Q: >>422
文法的な論理式を定めた後に「証明可能」「証明不可能」という区別を導入するんだから
「証明可能性論」はむしろ意味論の範疇に入るのではないか？
プログラミング言語の公理的意味論が「意味論」と呼ばれるのもこういう考え方からだろう。
「意味論的概念を使わない」という否定的な意味、すら怪しい。

>>424
同意。
証明不可能であることをシンタックスエラーとは言わない。
文法的でないという意味でしか使わない。
428 ：１３２人目の素数さん：2015/01/07(水) 02:10:56.42 ID:5a1IlPin: >>422
> 何言っているんだ？ syntax と semantics の区別は言語学で古くからある
・・・
> （和製漢語の「構文論」「意味論」はいかにもな造語だけど）

本来の（つまり自然言語を研究対象とする）言語学では"syntax"の訳語は「構文論」ではなく「統語論」を用いるほうが圧倒的に多い。
"syntax"に対して「構文論」という訳語を常用するのは計算機科学屋や数理論理学屋だね。
論理学でも（「論理学」と言えば数理論理学を指すようになる以前の哲学での論理学を指していた時代の）古い文献などでは
「統語論」という訳語を用いているのを散見するので、
ひょっとしたら「構文論」という訳語は計算機科学（言語理論かプログラミング言語論）屋が造語したのか又は（昔、誰かが創案したものの
流行らずに忘れ去られていたのを）リバイバルさせたのかも知れないね。
429 ：１３２人目の素数さん：2015/01/07(水) 12:22:33.83 ID:b726ceUB: もしsyntaxの土台の上にsemanticsがあるというピクチャでは
「完全性定理は、syntaxとsemanticsを結び付ける」と言われても
意義がどうもいまいちはっきりしないね。

やはり、狭義の統語論の土台の上にそれぞれ独立に定義される
「意味論」と「証明可能論・推論論？」を結び付ける、
と言って初めて完全性の意義が浮かび上がる。

積分を微分の逆演算と定義したのでは
微積分の基本定理の意味がしっくりこないのと同じ。

論理の完全性に対応するプログラム意味論の定理は
公理的意味論の完全性だけど、
こちらは「公理的意味論と表示的意味論を結び付ける」と言えるので
そういう問題は起きない。
430 ：１３２人目の素数さん：2015/01/07(水) 19:46:38.82 ID:8GATPbPi: >>429
公理的意味論と表示的意味論を結びつける！そういうことか。

あと、やや軸がずれるけれど、そういう論理学とプログラミング言語と
融合させる話ってもっと外に出していくべきだ。よく言われるけれど、
これからは分野の融合が重要だってそのとおりだと思う。
だから個々の分野の要点というのはなるべく出していくべきだ、と思う。
431 ：１３２人目の素数さん：2015/01/07(水) 20:21:47.91 ID:h7rIxKjm: じゃあ操作的意味論に相当するものは何だよ
432 ：１３２人目の素数さん：2015/01/07(水) 21:11:15.66 ID:b726ceUB: プログラム言語は計算機の動作を命令するものだから
その動作こそが意味である、というのが操作的意味論。
しかし論理式は何かに「動作を命令するもの」ではないので
操作的意味論に相当するものがあるようには思えない。

ちなみに言語学にも統語論と意味論の他に音韻論や語用論などもあるが、
それらすべての対応物がプログラム言語論や数理論理になければいけないものではない。
たとえば音韻論の対応物を考えることはできるだろうが、意味があるとは思えない。
433 ：１３２人目の素数さん：2015/01/07(水) 21:37:20.52 ID:rH0YItp9: >>427
>文法的な論理式を定めた後に「証明可能」「証明不可能」という区別を導入するんだから
>「証明可能性論」はむしろ意味論の範疇に入るのではないか？

そういう側面を強調したのが、最近哲学方面で流行っている「証明論的意味論」なんじゃないの？
科学哲学会でシンポジウムもあったみたい↓

http://pssj.info/program/program_data/46/ws/46ws.html

オーガナイザの矢田部さんって
「不完全性定理は統語論の定理」って熱心に布教しているっぽいけど
このスレの議論を見たらなんて言うんだろうね。

「不完全性定理は統語論の定理」というときの「統語論」は狭義の統語論ではあり得ないので
「証明論的意味論」の「証明論」と同じ意味だと思うけど、
そうすると「統語論的意味論」なんていう言い方も許すんだろうか？
434 ：１３２人目の素数さん：2015/01/07(水) 21:52:16.71 ID:8GATPbPi: >>432
>それらすべての対応物がプログラム言語論や数理論理になければいけないものではない。
そこは確かにすごい重要だな。何でもかんでも別分野で意味付けようとするのはまぎれもないトンデモで
話を聞いてもらえなくなる。あくまで現実の問題解決するという見通しつけられるものでないとだめだろう。
435 ：１３２人目の素数さん：2015/01/07(水) 23:33:30.78 ID:qhwNSNwD: EndertonのA Mathematical Introduction to Logicのtermの定義で疑問があります．
p.74でtermの定義が，
「The set of terms is the set of expressions that can be built up from the constant symbols and variables by applying (zero or more times) the Ff operations.」
となっていますが，「the constant symbols and variables」の「and」は「or」の方が正しくないでしょうか．

ちなみにFf operationは
Ff(ε1, ..., εn) = fε1, ..., εn
となっています．
436 ：１３２人目の素数さん：2015/01/08(木) 02:47:23.35 ID:y5eA49ZV: >>435
英語学者に聞いた方がいいぞ

Endertonがどういう文脈でtheを使っているかわからないけど
the [constant symbols and variables]
という風にtermのurelement(原要素)を一つの集合として考えていればand。

質問者は多分
[the constant symbols] and [variables]
と解釈して両方共という意味にとっているのかもしれない。
その場合はorだけど[the constant symbols]だとどの論理体系でも
決まった定項があるみたいに聞こえる。
437 ：１３２人目の素数さん：2015/01/08(木) 09:04:27.54 ID:M7HxBMcv: 公理や定理(証明可能性)の話をsyntax(統語論/構文論)と呼ぶべきではないという方向に収束しつつあるけど
それどころか意味論の一種（証明論的意味論）だと言う話まで出てきたら
完全性定理で結びつけられるもう一方を単に「意味論」とは呼べなくなるけれど、なんて呼べばいいの？
モデル論？

プログラムの「公理的意味論と表示的意味論を繋ぐ」に対応して
論理学では「証明論的意味論とモデル論的意味論を繋ぐ」と言うことになるのかな？
438 ：１３２人目の素数さん：2015/01/08(木) 09:31:04.29 ID:tgqwNFEP: >>437
数学者がモテないのは数学が解決する学問だからだよ
439 ：１３２人目の素数さん：2015/01/08(木) 12:14:08.82 ID:tHk20E2N: >>437
>論理学では「証明論的意味論とモデル論的意味論を繋ぐ」と言うことになるのかな？

単に「証明論とモデル論を繋ぐ」でもいいと思うけどね。
でも二つの意味論を繋ぐという意味で「意味論的完全性」という名前がしっくりくることになるかもね。

一方の「統語論的完全性」っていう名称は不適切ってことだね。
「証明論的完全性」と言うか、まったく別の観点の名称である「否定完全性」というべきなのかな。

ちょっと前に話題になった第3の完全性こと「算術的完全性」も
「証明論的意味論とモデル論的意味論を繋ぐ」と言えてしまうので
「意味論的完全性」の一種ということになってしまうけど。
440 ：１３２人目の素数さん：2015/01/08(木) 19:16:40.04 ID:0x+k9WnT: 証明論ってのはもっとspecificな数学の一分野を指すし
それはモデル理論でも同じなので、
単に証明可能性と恒真性の関係を示すもの、ということで良いと思うけどね。

証明可能性はあくまで統語論的に定義される概念で、
恒真性は意味論的に定義される。それだけの話なのに
証明可能性＝統語論とか恒真性＝意味論みたいな話をするからおかしくなる。
441 ：１３２人目の素数さん：2015/01/08(木) 19:58:27.48 ID:tgqwNFEP: バムとしょうこは戸籍がなければ俺の養子にしてやるぞ
442 ：１３２人目の素数さん：2015/01/08(木) 19:59:47.41 ID:tgqwNFEP: バムを爺ちゃんの養子にしてしょうこを俺の養子にすればいい。結婚できるよ
娘の戸籍も作れる
443 ：１３２人目の素数さん：2015/01/08(木) 20:01:27.53 ID:tgqwNFEP: バムの戸籍は親戚を頼ってもいいな。池田家の養子にしてもらうか？
444 ：１３２人目の素数さん：2015/01/09(金) 07:10:42.80 ID:2T7+xeaQ: >>439
「証明論的完全性」は証明論ではまず使われずモデル論でよく使われるわけだが。
ゲーデルの完全性定理によりモデル論的帰結で定義しても同値な概念だよね。
証明論だけで定義できるから「証明論的完全性」というのなら
モデル論だけでも定義できるのだから「モデル論的完全性」でもいいことになるよ。
後者の方が使用実態に即しているよね。

>>440
その「統語論的に」と「意味論的に」の意味が、数理論理学以外の
本来の言語学やプログラミングでの意味と違うというのが趣旨だったと思うが、
そこを「それだけの話」で済ませたら
（変だと言われている論理学での使い方に固執していると理解できるけど）
議論はかみ合わないよ。
445 ：１３２人目の素数さん：2015/01/09(金) 09:55:14.72 ID:rgy9E6lY: >>436
なるほど，納得できました．
と思ったら同じページに，
「The terms are defined to be those expressions that can be built up
from the constant symbols and the variables by prefixing
the function symbols.」
とも書いてありました．
謎ですね．

確かに，英語学者に聞いた方がいいかもしれませんね．
446 ：１３２人目の素数さん：2015/01/11(日) 09:38:58.67 ID:2FjdQ/JV: 言語学やプログラム言語の統語論は、記号列に対して
(A)「形式的基準で」 (B)「文法的であるかどうかを決める」
という意味合いだと思う。
この用語を論理学に流用する際に、
前半(A)を重視するか後半(B)を重視するかで食い違うということでしょ。
前半を重視すれば証明可能性は「統語論」だということになる。

ただ言語学で
形式的基準で文法以外のことを定めても（(A)かつ￢(B)）「統語論」と呼ぶか
というと呼ばないと思うんだ。
たとえば形式的基準で意味を決めても「統語論」と呼ばれることはないと思う。
「形式的」＝「統語論的」というとらえ方はまずいと思う。
447 ：１３２人目の素数さん：2015/01/12(月) 20:55:45.34 ID:SOHvXY20: 仮に言語学での使い方とちょっと違うとしても、
現状のsyntax/semanticsの使い方で
充分意義がある概念的区別を出来ていると思う。
ただ言語学での使い方に合わせることによるメリットがあるようには感じないけどな。
デメリットはあるけど。

プログラミング言語での使い方と合わせろというのはさらに無茶。
圏論のモナドという概念がHaskellのモナドと違うからHaskellに合わせろというような感じ。
ライブニッツの単子論からズレてるとか、categoryがアリストテレスのカテゴリー論と
似ても似つかないと言われるなら理解は出来るが。
448 ：１３２人目の素数さん：2015/01/13(火) 13:03:19.30 ID:iZygaNY+: 話の発端が、言語学の使い方と違うことによるデメリット
（semanticsが依存する部分と独立の部分の区別が見えなくなる）
だったと思うが。

「形式的」は「形式的」と言えばいいのであって
わざわざ他所から言葉を借りてきて「統語論的」なんていう
メリットこそないと思うけどな。
449 ：１３２人目の素数さん：2015/01/13(火) 20:57:38.33 ID:aolX718/: もう一つの２ちゃんの方であったカキコだが
2ch.netユーザには見られないのでコピペしとくわ。

446 ：１３２人目の素数さん：2015/01/10(土) 13:15:03.12 ID:lW602vQxX
>>440
>単に証明可能性と恒真性の関係を示すもの、ということで良いと思うけどね。

それはつまり
「論理的公理からの証明可能性」と「任意の一階構造での充足性」が同値
といういわゆる弱完全性だけだよね？

「非論理的公理からの証明可能性」と「非論理的公理の任意のモデルでの充足性」が同値
（>>444風に表現すると「証明論的帰結とモデル論的帰結が同値」）
といういわゆる強完全性をそう表現するのは変だと思うけど。
後者を「恒真」とは言わないと思うし。

もしゲーデルの完全性定理を弱完全性の形でしか知らないのなら
（そこまで馬鹿にするなと怒られそうだけど）
非論理的公理が無限の場合を考えると、
強完全性は弱完全性より真に強いことが分かるよ。
ゲーデルのオリジナルがどちらの形なのかは知らないけれど
現代では強完全性まで含めてゲーデルの完全性定理と呼ばれる。
450 ：１３２人目の素数さん：2015/01/14(水) 00:15:06.62 ID:S3hph08g: 440=447なのか？
弱完全性しか知らないで、メリットだのデメリットだのと語られてもな。
451 ：１３２人目の素数さん：2015/01/14(水) 13:14:29.75 ID:IKcOKAb8: 440が完全性定理を弱い形でしか知らないのか失念していただけなのかは分からないけど、
言葉の問題をいうのならその直前の2行で指摘している問題も大事だと思う。

逆数学や算術はモデル論的な議論ばかりしていても証明論に分類されたり、
集合論と呼ばれる理論でも構成的だと集合論ではなく証明論で扱われる。
使われる手法、研究対象としての理論、研究分野の名称が
どれも「○○論」で表示されるのでこんなメチャクチャなことになる。
452 ：１３２人目の素数さん：2015/01/14(水) 16:53:58.11 ID:0duPZJWs: 分野名に拘るようになったらその分野はそろそろ終わりだな。
453 ：１３２人目の素数さん：2015/01/14(水) 23:04:46.14 ID:Yulpb0t7: >>449
Σ |= φを「Σのモデルでφは恒真」とかそういう言い方するんじゃないの？
私が大昔に勉強した教科書では確かそんな書き方してた記憶がある。

毎回Σ |= φという単純な式を「φはΣの任意のモデルにおいて充足可能」と読むより、
Sigma models phi、「Σのモデルではφが恒に真」とか
「Σにおいてφは恒真」とでも読むほうが数学的には自然だと思う。
言葉遣いが違っても数学的には言ってる事はどれも同じ。

逆に弱完全とか強完全とかそういう使い分けを強調してる教科書とか見たことない。
区別することで何が嬉しいのか分からない。
数理論理の教科書は結構持ってる方だが
"弱完全"の場合のみ証明した教科書とか見た事無いよ。
二階算術で完全性定理それ自体の命題の強さを
評価したい場合とかのレアケースに限られるんじゃないかな？
454 ：１３２人目の素数さん：2015/01/14(水) 23:08:21.35 ID:Yulpb0t7: >>451
逆数学とか自然数の超準モデルの理論を
証明論に分類するのって、単に岩波数学辞典が全くの便宜上
そういう項目に載せてるしてるだけじゃないの？

非可換幾何は代数なのか幾何なのか解析なのかという疑問と同じくらいナンセンスだと思う
455 ：１３２人目の素数さん：2015/01/15(木) 00:36:20.12 ID:d6Mp3790: うぃきぺじあで『真の算術』というのを見てみたが、「議論領域は自然数の集合 N である。」
という一文からして理解できんわｗ
456 ：訂正：2015/01/15(木) 01:06:44.81 ID:WWMDbcZ1: Wikipediaで『真の算術』というのを見てみたが、「議論領域は自然数の集合 N である。」
という一文からして理解できんわｗ
457 ：１３２人目の素数さん：2015/01/15(木) 08:29:02.43 ID:g9urN3sS: >>453
>Σ |= φを「Σのモデルでφは恒真」とかそういう言い方するんじゃないの？

うーん、「恒等式」と「方程式」の区別でもそうだけど
条件があるときに「恒」真というのは違和感あるなあ。
英語のtautologyなら尚更違和感。

でもそんな言い方してる文献が絶対ないとは言えないので
そういう文献があるならあげてもらえる？
458 ：１３２人目の素数さん：2015/01/15(木) 21:02:57.36 ID:nCPcORXw: 少し探しただけで
「ゲーデルの完全性定理」は弱い形で述べてから
その拡張として強完全性を提示している入門者向け文献が
幾つか見つかるんだが。
（だからゲーデルのオリジナルは弱完全性らしい。）

非古典論理に重点をおいた入門書だと
非古典論理の中には弱完全だが強完全でないものがあると注意があって
きちんと２つの完全性の違いを説明しているものも出て来る。

>逆に弱完全とか強完全とかそういう使い分けを強調してる教科書とか見たことない。
>区別することで何が嬉しいのか分からない。

何を知っていてこういうことを言っているんだか。
459 ：１３２人目の素数さん：2015/01/15(木) 21:22:39.41 ID:PFm0qJPg: 単純に知らないものを知らないと言ってるだけだけどね。

>非古典論理に重点をおいた入門書だと
そういう本ではそうかもね

>>457
いろいろ段ボールひっくり返して蔵書調べてみたら
440の用語法は一般的じゃないみたいだ
スマソ
460 ：１３２人目の素数さん：2015/01/15(木) 22:18:25.63 ID:d6Mp3790: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7
A．公理系の完全性
　1．（強い完全性）形式論理体系で、その公理系から導出（証明）可能で無い式を一つでも公理系に付け加えると常に矛盾するという性質
　2．（弱い完全性）形式論理体系で、普遍妥当な表現がその公理系から必ず導出（証明）できる性質
B．形式論理体系で表現可能な任意の文の肯定または否定が証明できる性質

これを見るとA-1の強い完全性ってのはB．の完全性と同じことを言っているように思えるんだが・・・
461 ：１３２人目の素数さん：2015/01/15(木) 23:09:38.12 ID:PFm0qJPg: このスレで言ってる強い完全性ってのはそれじゃないからね
462 ：１３２人目の素数さん：2015/01/15(木) 23:14:42.59 ID:d6Mp3790: >>461
そうなの？その議論してるのは見たけど。
A-1では「式」って言っていてBでは「文」って言ってるのは気にするところじゃない？
463 ：１３２人目の素数さん：2015/01/16(金) 01:34:20.72 ID:Yrx2VTi0: 　
お世話になります。
私、責任者の加茂と申します。以後、宜しくお願い致します。

浪速建設様の見解と致しましては、メールによる対応に関しましては
受付しないということで、当初より返信を行っていないようで、今後につい
てもメールや書面での対応は致しかねるというお答えでした。
http://www.o-naniwa.com/index.html　事務員東条南野
http://www.o-naniwa.com/company/
このように現在まで６通のメールを送られたとのことですが、結果一度も
返信がないとう状況になっています。
http://www.apamanshop-hd.co.jp/　加茂舟橋
http://s-at-e.net/scurl/nibn-apaman.html
私どものほうでも現在までのメール履歴は随時削除を致しております
ので実際に１１通のメールを頂戴しているか不明なところであります。
　　
　・ハンガー・ゲーム　　　http://s-at-e.net/scurl/TheHungerGames-Aircraft.html
　・スタートレック　　　　　http://s-at-e.net/scurl/StarTrek-Aircraft.html
　・アバター　　　　　　　　http://s-at-e.net/scurl/Avatar-Shuttle.html
　
　・アバター　　　　　　　http://s-at-e.net/scurl/Avatar-Dragon.html
　・トランスフォーマー　http://s-at-e.net/scurl/Transformers-Flyingboat.html
　・Star Citizen　　　　　http://s-at-e.net/scurl/StarCitizen-Starfarer.html
　
　・Ｔ　　　http://s-at-e.net/scurl/ia-T.html
　・Ｚle　　http://s-at-e.net/scurl/ia-Zle.html
　
大阪府八尾市上之島町南４-１１クリスタル通り２番館203
に入居の引きこもりニートから長期にわたる執拗な嫌がらせを受けています。
この入居者かその家族、親類などについてご存知の方はお知らせ下さい。
hnps203@gmail.com
464 ：１３２人目の素数さん：2015/01/16(金) 21:00:21.75 ID:RAonCivi: >>462
導出とか帰結関係を記述する際に表れる論理式は
全称閉包(universal closure)を取ったものを考える
という規約をするのが普通だと思うので
（従って A(x) |- B(x) は |- ∀xA(x)→∀xB(x) と同値で
|- ∀x(A(x)→B(x)) とは異なることに注意！）
どっちでも一緒じゃないかな？

そのウィキペディアの記事はおかしいので
リンクのある英語の記事を見た方が良いと思うよ。
465 ：１３２人目の素数さん：2015/01/16(金) 21:09:59.56 ID:J8wx2yFq: 論理と自然数の奇妙な循環関係
これは一体なんなのだ
466 ：１３２人目の素数さん：2015/01/16(金) 22:55:16.42 ID:SnZ3Imkw: >>460
通りすがりの者ですが
どれくらい関連書籍もっていますか？段ボールに入れるくらいあるみたいですが
あと書籍以外で使用しているものはありますか？
あと基礎論の専門家、あるいはそうでなければその知識に到達するまでどれほどかかりましたか？
467 ：１３２人目の素数さん：2015/01/16(金) 23:36:21.63 ID:J8wx2yFq: 論理と自然数の循環というか、
自然数→記号→文法→論理→自然数→・・・
という奇妙な循環関係
468 ：１３２人目の素数さん：2015/01/17(土) 01:08:46.91 ID:na572W3g: >>460
ああごめん調べとくわ。
469 ：１３２人目の素数さん：2015/01/17(土) 01:23:13.87 ID:NtzUtAyh: >>468
素直に負けを認めない奴だな
470 ：１３２人目の素数さん：2015/01/17(土) 21:58:18.81 ID:na572W3g: 別に勝ち負けはやっとらんがな。研究環境整備だよ。
わからないことがあったら本で調べましょう、って指導しても
その人にとって調べようもない概念なんてネットで調べちゃうんだから。
変なウェブページみてものすごい誤解した人とか本人もまわりも損するだけ
なんだからそんな状況放置しておいたらいかんだろ。
471 ：１３２人目の素数さん：2015/01/17(土) 23:04:49.82 ID:9dYt4N97: >>470
変なウェブページは数限りなくあると思うけど、Wikipediaは間違ってると思うんだったらどこがどうダメなのか具体的に指摘しろよ。
472 ：１３２人目の素数さん：2015/01/17(土) 23:05:41.81 ID:nd86gAgh: 468=470はそのウィキペディアの記事を書いた本人？
473 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 00:25:41.74 ID:2C7shQrq: >>471
単純にそういう用語法は一般的では無い、というだけかと。

wikipediaのその部分は、ヒルベルト・アッケルマンだけを頼りに
いろんな記事に「斬新」な事を書いてる人がいるだけ。
三版と六版を持ってて両方参考文献にしてるあたりはちょっとすごい。

本人は、参考文献の挙げ方が偏っているとは思ってないんだろうな。
474 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 00:29:52.55 ID:AYxqtUDq: Yahoo!知恵袋で「一階述語論理について」の回答に
「実際に理論を定義するとき、個々の述語記号の変数の数は具体的に決めます。
また個々の関数記号の変数の数も具体的に決めます。これには自然数論は要りません。」
とあるけど、それで済んでるか？　自然数の一般的な性質を使っとるのではないか？
475 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 04:21:12.79 ID:bslH0LUs: >>474
「自然数を使っている」のだから「自然数論が必要」というご意見ですか?

一つ目の箱にはボールを2個入れます。二つ目の箱にはボールを5個入れます・・・
というように、それぞれの箱にボールを何個入れるかは具体的に決められています、と言うのにも自然数論が必要?
476 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 09:47:47.89 ID:xSy2+Xky: >>473
同値であるA-1とBを「二つの意味」として書いたら
「用語法は一般的では無い」というより「誤植」と言うのでは？
477 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 11:06:04.48 ID:2C7shQrq: 一階論理以外の「形式体系」というのが具体的に
どういう範囲を指してるのか分からんけど、ほぼ同じことだよね。
478 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 11:53:47.12 ID:AYxqtUDq: >>475
そりゃ2個とか5個だったら自然数論はいらない。
具体的な「ある個数」の範囲までだろうな。
479 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 14:11:26.80 ID:C7ftLgO/: >>474 >>478
「それぞれの箱に入れるボールの数を具体的に決めます」と言うには
自然数論が必要ということ?

「箱」ではなくて「函」だったらどうだろう?
480 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 19:19:55.05 ID:AYxqtUDq: >>479
＞　「それぞれの箱に入れるボールの数を具体的に決めます」と言うには

それに自然数論が必要かどうかわからないが、論理学の構成にそのような議論がでてくるわけではないだろうから
どうでもいいのではなかろうか。
481 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 21:29:49.52 ID:6jDEFlA2: >>480
論理式が扱われる様子(変形とか)を箱を使って説明するのは「論理学の構成」の話とはみなせないということかな。
実際に何をやっているかより、関数や述語という言葉を使うかどうかが重要とか?
482 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 21:32:31.89 ID:b/Qg22gu: 凄いな
箱の喩えの意味が分かるんだ
483 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 21:51:02.15 ID:AYxqtUDq: 説明とか喩えは意義はあるだろうけど、最終的に残るものではないからどうでもいい。
484 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 21:57:29.16 ID:Fiy4RRYv: ・何かしらの数列 { a_n }_{n∈N} を構成したとする
・その数列から、ある性質を満たす部分列 { a_f(n) }_{n∈N} が取れたとする。
・その数列から、ある性質を満たす部分列 { a_f(g(n)) }_{n∈N} が取れたとする。
・その数列から、ある性質を満たす部分列 { a_f(g(h(n))) }_{n∈N} が取れたとする。
・このような作業自体が何度でも実行可能として、k回目にとった部分列は
　{ a_f1(f2(…(fk(n))…)) }_{n∈N} と書くことにする。
・数列 { a_f1(f2(…(fn(n))…)) }_{n∈N} に対して、何らかの性質を見出す(対角線論法)。

こういう感じの議論だと、自然数論がなければマズイんじゃね。
485 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 22:04:18.73 ID:AYxqtUDq: >>484
そんな複雑なものでなくても、帰納的な議論の多くは成り立たないのではないでしょうか？
486 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 22:16:45.30 ID:hxZlHAT5: >>484
元の話はそういう複雑なのではなく、
述語記号の変数の数や関数記号の変数の数が決まっているというためには自然数論が要るのではないか?
という話だから。
487 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 22:32:17.01 ID:AYxqtUDq: >>486
「∈と＝は2変数の関数記号である」というのに自然数論はいらないだろう。
記号の数を数えることはできるんだよ。実際できるから。
そこには「成り立たないのではないか?」という疑いを差し挟む部分はどこにもないじゃないか。
488 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 22:39:08.56 ID:hxZlHAT5: >>487
>>474は
>述語記号の変数の数や関数記号の変数の数が決まっているというためには自然数論が要るのではないか?
という話ではないの?
489 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 22:48:16.70 ID:AYxqtUDq: >>488
違う

>>474の「それで済んでいるか？」は、
「述語記号の変数の数や関数記号の変数の数が決まっている」では済まずに、それ以上の自然数の性質を使っているのではないか？
という意味だ。誤解させたらスマソ
490 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 22:55:21.61 ID:b/Qg22gu: 完全性、不完全性、正規化、…
形式的理論で何を示すにしろ、「一般の論理式」に言及することなしには済ませられないだろう
その際、帰納法抜きでは代入すら定義できないよ
491 ：１３２人目の素数さん：2015/01/18(日) 23:25:34.18 ID:AYxqtUDq: >>490
そんなはずはない
492 ：１３２人目の素数さん：2015/01/20(火) 00:36:33.63 ID:COEDoQOX: >>490
＞　形式的理論で何を示すにしろ、「一般の論理式」に言及することなしには済ませられないだろう

『形式理論で対象理論の定理を証明する』んだよ。
それが目的じゃ。
完全性はそのための道具でもある。
493 ：１３２人目の素数さん：2015/01/20(火) 00:40:03.53 ID:/Q1/WnS/: なんだまた形式化マニアか
494 ：１３２人目の素数さん：2015/01/20(火) 00:47:05.57 ID:COEDoQOX: そら形式化しないと検証できないんだからどうしようもない。
プログラムで言えば、それらしいことが記述してあるけどコンパイルできないコードと一緒。
495 ：１３２人目の素数さん：2015/01/20(火) 01:12:56.96 ID:/Q1/WnS/: ひょっとして、帰納法無しで検証プログラムの正しさを確かめられるとでも思ってるのかよ
496 ：１３２人目の素数さん：2015/01/20(火) 01:17:53.74 ID:COEDoQOX: >>495
帰納法なしで対象理論の定理を証明することができるが、あんたのいうものは確かめられないのかもしれない。
それが何か?

それに検証プログラムとやらの『正しさ』が確かめられるわけではないだろ？なるべく正確に言おうぜ。
497 ：１３２人目の素数さん：2015/01/20(火) 01:20:59.44 ID:/Q1/WnS/: ＞それに検証プログラムとやらの『正しさ』が確かめられるわけではないだろ？
何を言ってるか分からない
498 ：１３２人目の素数さん：2015/01/20(火) 07:16:38.20 ID:yeRZY6Yu: 亀レスだけど

>>444
モデル理論ではモデル完全性というのも出てくる。
「すべての論理式が全称型と同値」とも定義できるので
証明論的な概念ともいえる。

>>464
その英語のページ、色々な完全性がまとめてあるけど
モデル完全性にはなぜか触れていない。
499 ：１３２人目の素数さん：2015/01/23(金) 22:08:00.28 ID:wO7jIyx2: 「ゲーデルの完全性が意味論・モデル論的で
否定完全性が統語論・証明論的」
という区分がナンセンスなのはわかったんだが、
初学者にトンデモにならないように教える現場の立場では、
２つの完全性の区別を単純化した図式で分かった気にさせて
先に進まないといけないという事情も理解して欲しい。
500 ：１３２人目の素数さん：2015/01/24(土) 00:09:06.84 ID:84fwbSTA: どれほど有意義な区別かどうかという問題はあるにしても
ナンセンスだとは思わないけどなあ
501 ：１３２人目の素数さん：2015/01/24(土) 09:15:12.44 ID:9kQ/FWwk: >>499
掛け算の順序問題での教育関係者みたいな理屈だな。

>>500
両者の区別は大事だが、あの区別の仕方は正にナンセンスだろ。
否定完全性が純粋にモデル論的でもあるのだから。
502 ：１３２人目の素数さん：2015/01/24(土) 23:07:17.73 ID:wRfeBQPl: >>453
二階算術では弱い完全性と強い完全性の強さの違いはどう評価されるのでしょうか？
503 ：１３２人目の素数さん：2015/01/24(土) 23:40:09.35 ID:Ljqpu5sB: 検証プログラムとやらの『正しさ』が確かめられるわけではないだろ？

ってどういう意味なん？
504 ：１３２人目の素数さん：2015/01/25(日) 00:57:40.87 ID:vR2IkVNT: 期待されてる性能が確実に発揮できることの裏付けじゃないの
505 ：１３２人目の素数さん：2015/01/25(日) 20:52:50.35 ID:tBXEi3wM: 数理論理学勉強しようと思って新井の数学基礎論読み始めてすぐに詰まった
一階の述語論理を定式化するところで、記号列を構造によって集合の話として解釈するって定義されてるけど
その集合の話には論理が必要だと思うし、そうすると一体何が基礎にあって集合やら論理がどう関係してるのか分からない
バカらしい質問かもしれないけど優しい人教えてほしいです
506 ：１３２人目の素数さん：2015/01/25(日) 20:56:20.05 ID:UN8BD9ZM: 書名が紛らわしいけど、別に基礎付けを意図した本ではないし、
よく考えるまでもなく、もしもメタレベルで論理を一切使えないならメタ証明というものはあり得ないでしょ
507 ：１３２人目の素数さん：2015/01/25(日) 21:08:35.48 ID:tBXEi3wM: なるほど無意味な疑問てことか
メタ証明とか知らないけど論理を使わずには何もできないって気はする
気にせず読んでいきます、ありがとう
508 ：１３２人目の素数さん：2015/01/25(日) 22:01:57.12 ID:W9Gyx4LL: とは言っても記号列がペアノの公理を満たしてくれるわけじゃないしな。
509 ：１３２人目の素数さん：2015/01/25(日) 23:12:49.91 ID:F0t46Iz9: >>505みたいな話が出るたびに「そもそも基礎付けを意識してるわけじゃない」という
逃げの一手しか見たことがないのだが、結局、本当の「基礎」ってどこにあるの？
どこまで行っても循環論法なの？
510 ：１３２人目の素数さん：2015/01/25(日) 23:19:40.95 ID:W9Gyx4LL: >>509
基礎づけなんていらないんじゃない？

前提無く受け入れなくちゃならないのはせいぜい
式　x+x=y　のxに1を代入し、yに2を代入したら、式 1+1=2　が得られる。
くらいのことだろうし、自分もそれ以上のものを受け入れるつもりはない。
511 ：１３２人目の素数さん：2015/01/26(月) 02:02:14.33 ID:aUgQmK9u: 証明したくなくなったところが基礎
512 ：１３２人目の素数さん：2015/01/26(月) 04:25:14.44 ID:1H6B4Cd8: すみません、計算機屋です
ω無矛盾が弱い完全性で普通の無矛盾が強い完全性なのですか？
513 ：１３２人目の素数さん：2015/01/26(月) 05:30:14.88 ID:1H6B4Cd8: なんでも完全性定理の証明に弱い形での選択公理が必要だそうですが
2つ、ないしは３つの完全性はそこから出てきた成果なのでしょうか
514 ：１３２人目の素数さん：2015/01/26(月) 05:41:15.12 ID:1H6B4Cd8: 俺は群をテーマにPvsNP問題に巨大な一撃を加えたよ
論文書くより２ちゃんの方が性に合ってるだけだ
515 ：１３２人目の素数さん：2015/01/26(月) 08:12:34.22 ID:1H6B4Cd8: ちなみにそれほど切れ味鋭い頭脳ではないです。ただのアイデアマン
516 ：１３２人目の素数さん：2015/01/26(月) 22:24:59.36 ID:1T0l/m9C: 「Gを群とする～」みたいな証明には完全性定理が使われている、ということでいいの？
517 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 03:28:03.54 ID:iieby8Ez: >>516
群は単に群の公理を満たす集合でしょ。何を証明するの？
518 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 03:50:30.37 ID:iieby8Ez: あ、計算機屋の名前は松坂幹哉といいます。よろしくお願いします
519 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 05:04:53.01 ID:iieby8Ez: 計算機屋というのは一言で言うと構造や概念を命令列に変換する人のことです
520 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 08:45:22.16 ID:8SyVBWWA: てす
521 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 08:48:10.63 ID:8SyVBWWA: >>517
群の公理を満たす任意の集合が性質Aを持つとき、Aは群論の定理である、ということ。
522 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 09:39:24.18 ID:iieby8Ez: >>521
性質Aはうんこだよ、うんこ
523 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 10:52:55.54 ID:8SyVBWWA: 「計算機屋」
524 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 10:57:43.60 ID:iieby8Ez: >>523
文脈規定文法の補集合もまた文脈規定文法
525 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 22:43:55.98 ID:WZBGeOwy: もしかしたら、
性質Aが群論の定理であるかはどうでもよくて、
「集合Gが群の公理を満たすときGは性質Aを持つ」が証明できれば満足
という人もいるのかも。
526 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 23:00:55.59 ID:71/NiTLY: >>525
わざと頭悪いふりしてるんだよね？
527 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 23:02:56.78 ID:WZBGeOwy: >>526
？
528 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 23:37:44.17 ID:ROOodUmI: 完全性定理は、「一階述語論理は」完全だ、という定理だけど、
普通に数学をやる時は一階述語論理かどうかなんてどうでも良い

超準解析とかやるときは少々関係してくるけど
529 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 23:39:09.02 ID:WZBGeOwy: >>528
>>521に関しては？
530 ：１３２人目の素数さん：2015/01/27(火) 23:45:28.34 ID:ROOodUmI: >>521の「群論の定理である」ってのは
正確に言うなら
一階述語論理の論理式で書かれた群論の公理系から
一階述語論理の論理的規則のみを用いて導出できる、
という意味なので、そういうことが分かったからと言って
普通の数学でどういうメリットがあるかよく分からない。
もちろん群論におけるZFCからの独立命題とかを探しているときとかは
役に立つかもしれないけどね。
531 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 00:19:01.83 ID:dIV+fx3b: >>530
普通普通いうけど、とにかく証明を厳密にしたいと考えたら、
「一階述語論理の論理式で書かれた群論の公理系から一階述語論理の論理的規則のみを用いて導出」
するしかない。
全部人力でやる必要はないかもしれないけど。
532 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 00:23:04.93 ID:n+Ifjp07: 集合論や二階論理は厳密ではないもんな、うんうん
533 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 00:32:09.22 ID:dIV+fx3b: >>532
集合論はそれ自体が理論じゃん。何が言いたい？

>>530が言うように、二階論理ではなく一階で証明されたことを「定理」と呼んでいる。
534 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 00:34:49.12 ID:7UN2Wn9F: いや二階論理を用いて証明された命題だって定理だと思うけどね
535 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 00:38:46.77 ID:dIV+fx3b: >>534
そりゃ最初にそう断ればね。
536 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 00:47:13.57 ID:dIV+fx3b: 俺はただ普通の数学で証明を厳密にやりたいだけ。
普通の数学で現在知られているすべての定理は、一階論理上で厳密に証明できるんだと認識しているが間違ってないだろ？
だから一階論理の完全性定理がいかなる前提の下でも成り立つことを求めている。
二階の話は全然別物じゃないか？
537 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 00:53:48.29 ID:l2jlPFrP: シローの定理は群論の定理だけど、群論の公理からどうやって証明するの？
無理だよね？
538 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 01:01:06.75 ID:dIV+fx3b: >>537
そういうのは、
「正確に言うと」群論の定理ではない
と表現すればいいだけでは？
539 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 05:06:04.25 ID:KhCYcEFd: > 363 自分：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/08/12(日) 21:39:21.60
> 質問です
> 例えば群であれば、ある位数nの群すべてを多項式時間で見つけ出す
> アルゴリズムは存在しているといえるのですか？
>
> 364 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/08/12(日) 22:33:17.37
> nが2のべきの時に位数nの群の同型類の個数はやたら大きくなるから
> そもそも個数自体が多項式で抑えられるか疑問だと思う
> たぶん無理
>
> 位数256の群は56,092個
> 位数512の群は10,494,213個
> 位数1024の群は49,487,365,422個
>
> http://www.icm.tu-bs.de/ag_algebra/software/small/number.html

(log 56092 2)
15.775507403800043
(log 10492213 2)
23.322815665044164
(log 49487365422 2)
35.52634118780943

微妙
540 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 07:48:10.01 ID:7UN2Wn9F: >>538
普通に数学をやる上での群論の話をしているのに？
541 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 08:45:15.84 ID:8g28lmzC: >>540
微妙。
だから>>525を書いた。
542 ：１３２人目の素数さん：2015/01/28(水) 23:15:27.53 ID:yQ2tUtL3: >>505
タイプ理論からやるのが吉。集合はその一部に含まれる。
この手の本だと前原の数学基礎論がお勧め。
543 ：１３２人目の素数さん：2015/01/29(木) 01:01:25.07 ID:gAVsDV1W: >>542
どうもありがとう
あの大きい本でいいんだよね
544 ：１３２人目の素数さん：2015/01/29(木) 01:27:39.65 ID:kEdh2XEF: そう。
あと、タイプ理論の哲学の方面からの解説なら、岩波新書の「ラッセルのパラドクス」にも
いろいろ書いてある。
545 ：１３２人目の素数さん：2015/01/29(木) 02:02:48.54 ID:gAVsDV1W: >>544
そっちも眺めてみるわ
重ね重ね感謝
546 ：１３２人目の素数さん：2015/01/30(金) 15:30:57.27 ID:wgHos1J4: 　
お世話になります。
私、責任者の加茂と申します。以後、宜しくお願い致します。

浪速建設様の見解と致しましては、メールによる対応に関しましては
受付しないということで、当初より返信を行っていないようで、今後につい
てもメールや書面での対応は致しかねるというお答えでした。
http://www.o-naniwa.com/index.html　事務員東条南野
http://www.o-naniwa.com/company/　岡田常路
このように現在まで６通のメールを送られたとのことですが、結果一度も
返信がないとう状況になっています。
http://www.apamanshop-hd.co.jp/　加茂正樹舟橋大介
http://s-at-e.net/scurl/nibn-apaman.html　大村浩次
私どものほうでも現在までのメール履歴は随時削除を致しております
ので実際に１１通のメールを頂戴しているか不明なところであります。
　　
　　http://s-at-e.net/scurl/mediation-1.html
　
　・ハンガー・ゲーム　　　http://s-at-e.net/scurl/TheHungerGames-Aircraft.html
　・スタートレック　　　　　http://s-at-e.net/scurl/StarTrek-Aircraft.html
　・アバター　　　　　　　　http://s-at-e.net/scurl/Avatar-Shuttle.html
　
　・Ｔ　　　http://s-at-e.net/scurl/ia-T.html
　・Ｚle　　http://s-at-e.net/scurl/ia-Zle.html
　
大阪府八尾市上之島町南４-１１クリスタル通り２番館203
に入居の引きこもりニートから長期にわたる執拗な嫌がらせを受けています。
この入居者かその家族、親類などについてご存知の方はお知らせ下さい。
hnps203@gmail.com
547 ：１３２人目の素数さん：2015/02/01(日) 17:20:14.23 ID:4XXyzJE4: >>542
誰にもかみつく林晋が

>不完全性定理をじっくり勉強したい、特にゲーデルのオリジナル論文の技術的内容を理解したいという人には、
>今でも最高の本としてお薦めします。

と書いているぐらいだから悪い本ではないだろう。
548 ：１３２人目の素数さん：2015/02/01(日) 23:45:18.10 ID:YuMkSnkE: 昔、基礎論って数学科の人には人気ないって聞いたけど、
今でもそうなん？
549 ：１３２人目の素数さん：2015/02/02(月) 07:17:05.70 ID:Sbi1orOE: 解析か幾何か代数かロジックか
どれに進もうか迷う、という感じの迷い方する人は多数派じゃないだろうね

学部で授業無い場合が多いし
550 ：１３２人目の素数さん：2015/02/02(月) 09:16:44.18 ID:rSWDzBpp: 終わった分野であり、他部門への応用にも目覚ましいものはない。

と言ったら言い過ぎになる？それとも当たってる？
551 ：１３２人目の素数さん：2015/02/02(月) 13:13:48.88 ID:C4tgSrVx: 基礎論じゃなくて数理論理学なら的外れ
552 ：１３２人目の素数さん：2015/02/02(月) 17:42:21.46 ID:BK4rSRzI: 「他部門」の範囲を
1. 伝統的な数学の分野に限るか
2. 理論計算機科学などの新しい数学を含めてなのか
3. 数学の外まで拡げるのか
に拠るとしか言えないね。
1なら当たらずとも遠からじと言ったところ。
2とすれば基礎論で生まれた概念なしには生まれなかったので的外れと断言できる。
553 ：１３２人目の素数さん：2015/02/02(月) 20:14:15.39 ID:ynepYiab: >>552
１です
554 ：１３２人目の素数さん：2015/02/02(月) 21:00:12.53 ID:xNJFDgfq: 役に立ったことあんの？
555 ：１３２人目の素数さん：2015/02/02(月) 21:19:37.76 ID:SORVcXUP: 三角圏の理論ではシェラハの結果が使われる
556 ：１３２人目の素数さん：2015/02/02(月) 22:21:20.65 ID:5vQZNoIw: 代数幾何でもシェラハの基礎論的な手法がどうこうとかなかったっけ
557 ：１３２人目の素数さん：2015/02/03(火) 07:59:16.44 ID:vmu4ULxC: 「応用」「役に立つ」を未解決問題の解決として
代表的な未解決問題のリストとして定評があったヒルベルトの23問題を考えると、
第1、第2、第10問題の解決に基礎論・数理論理学が使われている。
3/23 ≒ 13％を多いと見るか少ないと見るか。

第1と第2は元々基礎論の問題だったのだから当然だけど
第10問題は元々代数の問題が基礎論を使って解決した例。
これでも「目覚ましいものはない」と言ってしまう？
558 ：１３２人目の素数さん：2015/02/03(火) 09:13:10.19 ID:zaxrM7mL: >>557
過去形なのか、これからも期待できるかが問題じゃないかな
559 ：１３２人目の素数さん：2015/02/03(火) 10:14:34.08 ID:Z5Knmxsw: 「目覚ましいもの」で「これからを期待しているもの」を指すかなー？
過去の実績にしか「目覚ましい」って言えないと思うんだけど。
560 ：１３２人目の素数さん：2015/02/03(火) 11:47:05.89 ID:2Vjl+Y4P: 非構成的な存在定理を精密化していくと数理論理学のデリケートな議論が必要になる。
561 ：１３２人目の素数さん：2015/02/03(火) 13:22:12.91 ID:bEDKZyMd: モデル使う話が基礎論なら、代数幾何ではもう必須と言っていいかも。
562 ：１３２人目の素数さん：2015/02/03(火) 13:48:39.69 ID:2Vjl+Y4P: 離散群論は低次元トポロジーから発生した問題が基礎論的な話題と結び付いたりする。
563 ：１３２人目の素数さん：2015/02/03(火) 14:12:41.34 ID:aPSzMfXA: 応用されるとその部分は数学基礎論ではないと見なされ
結局応用されない役に立たないものだけが数学基礎論とみなされるという風潮
564 ：１３２人目の素数さん：2015/02/03(火) 15:10:22.58 ID:2Vjl+Y4P: >>563
上手いことを言おうとして実勢とかけ離れたことを言ってしまう
よくあること
565 ：１３２人目の素数さん：2015/02/03(火) 22:54:57.17 ID:ZSKixdZw: そもそも数理論理はともかく、数学基礎論は役に立つとか立たないとかどうでも良い
566 ：１３２人目の素数さん：2015/02/04(水) 11:48:16.05 ID:3nD4Z4vC: 証明論が通常の数学の証明に役立つという状況は想像できますか？
567 ：１３２人目の素数さん：2015/02/04(水) 18:01:34.68 ID:oi2hMlF9: >>557
第10問題の解決は、基礎論の中ですら第1や第2に比べて扱いが軽いような気がするね。
568 ：１３２人目の素数さん：2015/02/04(水) 20:58:20.88 ID:/+TBegpJ: 力学系で再帰理論とかランダム性が
関数解析でモデル理論使って証明
代数幾何はもうモデル理論でしか研究不能って状態
569 ：１３２人目の素数さん：2015/02/04(水) 21:12:31.10 ID:/+TBegpJ: 忘れてたけど、あのルーリーも最初は基礎論と超現実数から数学入りしてるから
彼のBookとかいう高次トポスの分厚い本にも
到達不能基数使って定義するやつある
あと三角圏の構成にシェラが構成した順序数の理論使う
C*とかフォンノイマン環とかにも噛んでたかな
それから無限トポロジーとか点集合トポロジーあたりが集合論での有名どこ
それから離散数学は多いねこれは周知すぎて言うまでもないけど
測度論での単層理論とかもでてくるねボレル構成が
570 ：１３２人目の素数さん：2015/02/04(水) 22:57:55.29 ID:aNpnoC3T: またSTSが湧いてきたようだな
571 ：１３２人目の素数さん：2015/02/04(水) 23:32:54.12 ID:1C0AHy5Q: カントール集合だって昔は病的な無意味な物扱いだったのが、今やごく自然に出現する対象だもんな。
572 ：１３２人目の素数さん：2015/02/05(木) 11:42:28.09 ID:/ydtfn4K: >>568
モデル理論を使って証明した＝証明した、でいいの？
573 ：１３２人目の素数さん：2015/02/05(木) 15:15:09.48 ID:XgRBWqn9: >>572
それは確かに考えなきゃいけないことだけど
どれくらいの推論なら大丈夫とするのかは問題ごと
個別にしか議論できないだろ。
カミオカンデでニュートリノ観測されたけど
体感できないからまだあるかどうかわからないって言ってもしょうがないし。
574 ：１３２人目の素数さん：2015/02/05(木) 18:49:02.59 ID:a//vBMnF: >>572
極論すると、選択公理を使って極大イデアルの存在を証明してもいいの？って話になる。
575 ：１３２人目の素数さん：2015/02/05(木) 22:06:20.83 ID:8eAbJ+9J: >代数幾何はもうモデル理論でしか研究不能って状態
はいはいﾜﾛｽﾜﾛｽって言っとけば良いのかな？
576 ：１３２人目の素数さん：2015/02/05(木) 22:51:30.86 ID:fGsO9JdK: >>574
それは>>572で問題にしていることとは関係ない。
577 ：１３２人目の素数さん：2015/02/05(木) 23:11:47.38 ID:S6jCFflI: モデル理論を使って証明した→完全性定理により形式的証明が存在する→証明した

この第二段階の形式的証明がどれほど不自然で奇妙で病的な過程をたどっていても、
それを「数学の証明」と認めて読みとることになる

…ということを問題視しているという理解でいいのかな
578 ：１３２人目の素数さん：2015/02/05(木) 23:41:36.05 ID:S6jCFflI: 定義を満たしてさえいれば、それは間違いなく極大イデアルだけど、
「数学の証明」の正式な定義なんてないものね
579 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 00:00:07.47 ID:sLnFYum/: 完全性定理はある条件のもとで成り立っている。
その条件とは何だろう。
580 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 17:38:30.75 ID:prp83qC/: >>579
そういうことに興味があれば逆数学を勉強してみるのがよい
581 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 22:22:49.24 ID:sLnFYum/: >>578
証明の定義は固定的なものではないが、ひとつ定めて議論するとき、その定義は証明論とか論理学に限定されるわけじゃなく、
普通の数学の証明にも当然適用されるわけだ。
実際にそこまで形式的に厳密に記述することはないが、「証明」の定義は全数学で共通。

>>580
そこに直接興味があるわけではない。
逆数学で設定している仮定の上に逆数学の成果があるが、他部門の数学がその仮定を共有している訳ではないから
そちらに応用することはできないよね。
582 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 22:32:28.49 ID:Jc2J942A: >>581
違う違う
それは正確には形式的証明の定義であり、
厳しい言い方をすれば、論理学にとって都合が良いので普通の数学の証明にも敷衍されると勝手に言ってるだけ
583 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 22:36:01.81 ID:Jc2J942A: メタ数学にとって都合が良いので

と言い直しておく
584 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 22:37:20.50 ID:mytcAQd4: >>580と>>579の問題については
>>502が似たような質問をしているが
それに対して>>453の返事はまだない（ように見える）
585 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 22:40:56.54 ID:sLnFYum/: >>582
そうは言っても普通の数学の証明だって最終的には形式化されないと正しさが確認できないでしょ？
実際に形式化して書くとは言ってないが。

例えて言えば、
　正しいプログラムとはコンパイルして機械語に翻訳できるものである。
　皆が機械語でプログラムを書く必要はない。高級言語で書けば十分である。
　でもコンパイルエラーとなって機械語に落とせないものはダメよ。

ということ。
586 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 22:52:20.40 ID:Jc2J942A: >>585
普通の数学の証明を形式化してチェックする分には問題ない

>>577の要点は
メタ数学的考察の必要上、形式的証明の定義を一つ固定したとき、どんな証明図でも「普通の数学の証明」と認められるのか？
という疑い
587 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 22:57:55.00 ID:sLnFYum/: >>586
>>577には
＞　この第二段階の形式的証明がどれほど不自然で奇妙で病的な過程をたどっていても、
と書いてあるけど、何が言いたいのかちょっとわかりにくい。

「不自然で奇妙で病的な過程」
最初に設定している「仮定」じゃなくて「過程」？　（ダジャレじゃないよ）
これは何を指しているの？
588 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 23:06:31.16 ID:Jc2J942A: 「過程」というのは「論理の流れ」くらいの意味合いで書いた

完全性定理で存在が保障されている形式的証明の実態は分からない
その形式的証明は、我々が普段、単に「証明」と呼んでいる非形式的概念にあてはまるのか？という神経質な問いかけをしている
>>568の文脈で我々が本当に欲しいものは、きちんと定式化された形式的証明ではなく、非形式的な「証明」なのだから
そこが極大イデアルの存在証明との違い
589 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 23:26:46.54 ID:Jc2J942A: ここまで書いておいてなんだけど、
俺は>>576までの話を引き継いで、何が論点となっているのか憶測で解説してきただけだからね、悪しからず
590 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 23:29:57.33 ID:sLnFYum/: >>588
キミの疑問を否定する気はないので悪いが自分にとってはそれは疑似問題だ。

「形式的証明の範疇におさまらないような非形式的な証明概念」なんてものの具体例があるの？
591 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 23:37:20.64 ID:Jc2J942A: >>590
＞「形式的証明の範疇におさまらないような非形式的な証明概念」なんてものの具体例があるの？
当然、知られていないだろうね
でもこれは純粋に哲学の範疇の問題だと思うから、「形式的証明＝数学の証明」を肯定するのは、事実の表明ではなく信念の表明
神経質な問いかけだと言っただろう？
592 ：１３２人目の素数さん：2015/02/06(金) 23:50:46.84 ID:Jc2J942A: ＞「形式的証明の範疇におさまらないような非形式的な証明概念」なんてものの具体例があるの？
知られていないというより、これこそが疑似問題と言うべきか
そもそも、形式的証明と比較するために数学の俎上に載せようにも、それができないから非形式的概念と呼んでいるわけだし
593 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 00:11:05.38 ID:FsLNnjuB: ABC予想の証明に到達不可能基数が使われているけど、
到達不可能基数の存在を公理に入れた体系に形式化したところで
数学の証明としての正しさをチェックしたことにはならない、
という話ではないの？
594 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 00:12:49.66 ID:4hwvFWuE: どうでもよくなってきた。

>>581に書いたように、「証明」の意味は全数学で同一であるべきだが、メタ数学が設定している仮定までは共有できない。
間違っている可能性すらあるわけだ。
595 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 01:13:17.80 ID:aamqTECZ: アルゴリズムの存在に関するチャーチのテーゼと違って、証明は数学そのものと言ってもいいほどだから、「形式的証明＝数学の証明」というテーゼには一層慎重に向き合わなければならないわけか。
今のところモデル論的証明は局地的にしか使われていないから、たとえ害があるとしても他への影響は少ないのだろうけど。
596 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 14:00:53.93 ID:2cSgo5dq: >>592
自分も同じような問題意識はもっている気がするので的はずれかもしれんが書くと
モデル理論の証明だって形式証明の範疇なのだからそれ自体としては自立してるけど

形式証明に非形式的な意味を読み込もうとする度に困難が発生してもおかしくはない
ということではないの？
そうなると数学はどれくらいのことを人間に教えてくれるんだろう
っていうかなり怪しげな話になってきてリタイヤせざるえない
597 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 18:03:41.34 ID:O7DWtuNi: >>594
現実の数学研究ではそんな統一基準を設ける必要を全く感じない
598 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 18:53:35.56 ID:aamqTECZ: 形式的証明＝数学の証明か？という問題を考える上で意味のある、形式的証明の複雑さの基準はないのだろうか。
しかも「クラスAの論理式φ、の形式的証明が存在するなら、φのクラスBの形式的証明が存在する」が成り立つような。
599 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 20:50:48.21 ID:9u0jju2x: この分野の本、洋書の方が読みやすいと思うのだけど、
和書は漢字で無駄に頭が疲れてるんじゃないだろうか。
それとも知識がある程度たまったから読みやすくなったのか。
あと和書だとぼったくり価格が多い
600 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 21:37:47.36 ID:4hwvFWuE: >>598
形式的証明とは実際に書き下されたものだけを指す。
601 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 22:12:53.91 ID:aamqTECZ: >>600
その条件は厳し過ぎて
「クラスAの論理式φ、の形式的証明が存在するなら、φのクラスBの形式的証明が存在する」
という定理が得られたとしても、論理式のクラスの方も限定され過ぎて、定理としては役に立たないのではありませんか？なんとなくですけど。
602 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 23:31:34.37 ID:4hwvFWuE: >>601
それは妥協するのが難しい。
形式的証明とは実際に書き下されたものだけを指す。
603 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 23:34:44.13 ID:O7DWtuNi: >>602
「実際に書き下ろされたもの」
何ていい加減な言葉遣いだろう。
604 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 23:39:05.56 ID:4hwvFWuE: >>603
>>601のいう「形式的証明が存在する」に対抗して「実際に書き下されたものを指す」と言ったまで。
お前の妄想など知らん。
605 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 23:43:40.21 ID:aamqTECZ: >>602
そういう1か0かみたいな態度では結局何も進展しないのではないかという気がします。

>>604
私の何に対抗されたのか、さっぱり分からないのですが…
「実際に書き下される」という条件はクラスBのことですよね？
606 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 23:47:24.40 ID:4hwvFWuE: >>605

「クラスAの論理式φ、の形式的証明が存在するなら、φのクラスBの形式的証明が存在するという定理」が得られたとしても
実際に書き下されなければ形式的証明を得たとは言えない

という意味だけど？
607 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 23:51:05.41 ID:aamqTECZ: ＞実際に書き下されなければ形式的証明を得たとは言えない
ああ、そういう主義の人でしたか…
ではモデル論的証明が云々は問題にもなりませんね、これは失礼しました。
608 ：１３２人目の素数さん：2015/02/07(土) 23:57:16.70 ID:4hwvFWuE: >>607
「実際に書き下されなければ形式的証明を得たとは言えない」というのは妥協しにくいね。
これは別に主義でもなんでもないと思っているが・・・

あなたの主義は何なの？
609 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 00:01:29.35 ID:hRT3/Xtl: 私はずっと>>577を念頭に置いてましたので、形式的証明とは完全性定理が存在を主張しているところのものです。
610 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 00:02:25.85 ID:9oZsfGT+: >>604
数学的に定式化できる？
できないでしょ、どうせ。
611 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 08:39:20.67 ID:9SZrA8dH: >>610
実際に書かれた証明を見て「ここに形式的証明が存在する」、という行為を数学的に定式化しろと言うのか。
ちょっとイメージできない。何をすればいいんだ？

>>609は
「完全性定理が存在を主張しているなら、その証明は実際に存在している」と言っているのだろう。
俺はそれは認められない。
612 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 10:16:44.89 ID:9oZsfGT+: >>611
「俺は認めない」では数学にならない。
613 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 10:57:24.10 ID:9SZrA8dH: >>612
＞数学にならない。
「証明論やメタ数学が成立しない」の間違いだろ？

通常の形式化できる数学の定理は影響皆無なんだから、数学にならないなんてことはない。
614 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 11:02:35.38 ID:9SZrA8dH: そもそも>>609の言う
「形式的証明とは完全性定理が存在を主張しているところのものです。」

は、「形式的証明」の定義としてどうなの？
615 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 11:03:03.77 ID:9oZsfGT+: >>613
抽象的思考が苦手なのか。
「実際に書き下ろされた」の曖昧さも理解してないようだし。
616 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 11:18:37.44 ID:hRT3/Xtl: >>614
「形式的証明の定義」として書いたわけではありませんよ。
ずっと思っていたんですが、文脈を読むことを覚えてくださいよ…
617 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 11:21:51.17 ID:BppYub/Q: 完全性定理は選択公理（というかそのfragmentの素イデアル定理だったっけ）
に依存するから、完全性定理によりφの証明が存在する、という主張も
ACとかBPIに依存することになる。
だから、この場合、
メタなレベルで本物の論理式を相手にしているのではなくて
φ自体も形式的対象であると考えるか、
或いは（根拠はともかく、）メタレベルで幾ばくかの集合論と選択公理が
成り立っていると仮定する必要がある。
618 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 13:13:55.45 ID:9SZrA8dH: >>615
「実際に書き下ろされた」の曖昧さって
概念自体に曖昧さを含んでいるのか、単に俺の表現が曖昧なのか、
そこは教えてくださいよ。
619 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 13:17:36.24 ID:9SZrA8dH: >>617
＞メタなレベルで本物の論理式を相手にしている
→これが俺の立場で、

＞のではなくてφ自体も形式的対象であると考えるか、
→これが証明論の立場で、

＞或いは（根拠はともかく、）メタレベルで幾ばくかの集合論と選択公理が成り立っていると仮定する必要がある。
→これが「俺は認めない」といってるもの
620 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 14:25:52.95 ID:HJi6bMbU: >>617
任意の一階述語論理の言語だとそうだが、
可算の言語に限ればACとかBPIとかそんな大仰なものは要らない
「数学の形式化」には有限個の非論理的記号で十分だろ？
621 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 15:18:25.38 ID:BppYub/Q: >>620
だとしても弱Konigの補題くらい要る
622 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 15:33:12.61 ID:9SZrA8dH: >>615とかは誤解しているのかもしれないが
俺は別に形式化された証明の範囲を同定しようとしているわけでも、「実際に書き下された証明の集合」とかを定義してるつもりもない。
メタレベルの算術は誤りを含みうるので、個別の定理に対して形式化されたという証跡を求めてるだけさ。
623 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 15:33:17.59 ID:HJi6bMbU: >>621
弱ケーニッヒとACやBPIでは非構成さのレベルが全然違うだろｗ

弱ケーニッヒを使う程度ならまだ具体的と言うこともできるわけで、
むしろ完全性定理の（通常の）証明で
ヘンキンの補題「証明不可能なら反例モデルが存在する」から
背理法により証明の存在を導く部分の方が問題だろう。
624 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 16:36:21.59 ID:wG6m1IsK: どっちにしろ元の「モデル理論を使った証明」ってのとは関係無い気がする
625 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 17:42:20.87 ID:9oZsfGT+: >>622
そうすると、意地悪いことに個々の定理の検証に誤りを含みうる。
誤りを防ぐための工夫がある種の算術の正しさを前提とする。
626 ：１３２人目の素数さん：2015/02/08(日) 20:10:31.03 ID:9SZrA8dH: >>625
個々なんだから検証に誤りを含みうるってことはないでしょ。
検証するための一般的なアルゴリズムとかの話のこと？
627 ：１３２人目の素数さん：2015/02/09(月) 00:13:18.00 ID:PAZo9a9o: 逆数学的な話題になってるな。
628 ：１３２人目の素数さん：2015/02/09(月) 22:39:43.56 ID:7LdYk5aH: モデル論的議論の部分が幾ら具体的・構成的であっても、
最後に完全性定理を使う限り>>623の指摘の通り
対偶法・背理法に訴えて証明の存在を示しているので
非構成性は免れないということになる。
モデル論的議論の部分が如何に具体的かという議論は余り意味がない。

>>627
この問題は、古典論理を用いている限り逆数学では扱えないので、
構成的逆数学が必要になる。
629 ：１３２人目の素数さん：2015/02/10(火) 14:07:52.97 ID:pDvOEPOx: 「実際に書き下ろされた」を

・文字数が1兆個以下で書かれた

と定義するｗ
あとの方で不都合が出てきたときの方針としては、1兆ではなく、
100兆とか1000兆とかの大きな数字に変更する。それ以上のことは言えない。
たとえば、このことを一般化して

・具体的な数字αを1つ固定し、「実際に書き下ろされた」を「文字数がα個以下で書かれた」と定義し、
　あとの方で不都合が出てきたら、αをより大きな具体的な数字に変更する

などと定義してはいけない。それは「定義の方針」とは呼べるが、「定義」には出来ない。
なぜなら、この方針は "具体的な数字" という曖昧な概念を含んでいるからだ。定義にはならない。
定義はやはり

・文字数が1兆個以下で書かれた

と定義するｗ
あとの方で不都合が出てきたときの「方針」としては、1兆ではなく、
100兆とか1000兆とかの大きな数字に変更する。やはり、それ以上のことは言えない。
630 ：１３２人目の素数さん：2015/02/10(火) 16:35:34.54 ID:kKFvaotN: >>629
誰も「書き下された」の定義付けをしてはいないのでは？
単に文字の固まりを見て証明になっていると確認できればそれでよし、一般的な判定アルゴリズムの有無についても言ってないだろう。
631 ：１３２人目の素数さん：2015/02/10(火) 16:45:54.63 ID:kqQnkBBf: >>630
書き下ろされたものしか認めないといってる奴が、漠然とした思い付きでものを言ってるだけ。
632 ：１３２人目の素数さん：2015/02/10(火) 16:52:25.53 ID:NLbF7EOH: モデル理論を使った証明の正当性は如何に？
という問題に対する、そもそもモデル理論を使った証明はあり得ない、という立場の表明だと理解したが

「モデル理論における証明」と「代数・幾何・解析のような通常の数学における、モデル理論を使った証明」の違いに注意
633 ：１３２人目の素数さん：2015/02/10(火) 17:25:56.49 ID:pDvOEPOx: >>631
俺はそいつとは別人だが、>>629に漠然とした部分はどこにも無いし、思い付きでもない。
「実際に書き下された」を、そのニュアンスを汲み取ってマジメに定義しようとしたら、
>>629しかありえない。

>>630
＞単に文字の固まりを見て証明になっていると確認できればそれでよし、
「実際に書き下された」の話題においては、「文字の固まり」という表現が既に曖昧だからダメでしょ。
634 ：１３２人目の素数さん：2015/02/10(火) 18:58:22.56 ID:NLbF7EOH: なんでこの人だけがマジメに定義しようとしてるのか分からん
形式的証明の非構成的な存在証明は駄目──これで十分じゃないの
635 ：１３２人目の素数さん：2015/02/10(火) 19:35:20.86 ID:pDvOEPOx: >>634
えー、だって>>610が「厳密に定義してみろ」って言ってるじゃん。
>>615でも「 "実際に書き下された" という言葉は曖昧」って言ってるし。

と書いていて気づいたが、そんなこと気にしてたのは ID:9oZsfGT+ の1人だけみたいだな。
636 ：１３２人目の素数さん：2015/02/10(火) 19:42:27.26 ID:kqQnkBBf: >>634
非構成的な存在証明を認めなかったら、現代数学のほとんどの成果は認められないことになるよ。
637 ：１３２人目の素数さん：2015/02/10(火) 19:44:35.24 ID:NLbF7EOH: >>636
”形式的証明の”非構成的な存在証明
638 ：１３２人目の素数さん：2015/02/10(火) 19:55:10.62 ID:kqQnkBBf: >>637
数理論理学も非構成的な存在証明で重要な結果を得てるってことでしょ。
639 ：１３２人目の素数さん：2015/02/10(火) 19:58:34.03 ID:NLbF7EOH: >>632を読んでまだ意味が分からないならもう知らん
640 ：１３２人目の素数さん：2015/02/11(水) 01:18:52.21 ID:jbrjVFbE: "abcd"は有限長の文字列である
と言ってる人に対して
「有限長の文字列」の定義は曖昧である
と返すのに意味あるのかね？
641 ：１３２人目の素数さん：2015/02/11(水) 02:55:44.46 ID:KqksaOlr: それは有限長の文字列です。なんの問題もない。
何億字もある文字列が「この文字列はこれこれこういう規則に従って並んでいます」
って言われて検証できるか、ということ。
642 ：１３２人目の素数さん：2015/02/12(木) 10:30:54.18 ID:aYGHzG5L: >>641
任意の文字列を確実に検証することを目標にしてるなんて思ってない？
検証ができていないものに対しては「正しくない可能性がある」と考えろ。
形式化が成功していない証明は「未だ証明になっておらず正しくない可能性すらある」と認識すればいいだけさ。
643 ：１３２人目の素数さん：2015/02/12(木) 12:30:41.67 ID:8ZS+yxmu: >>642
その言葉は有言不実行に終わるよ。実践できるはずがない。
644 ：１３２人目の素数さん：2015/02/12(木) 14:49:38.45 ID:aYGHzG5L: >>643
通常の証明とは違ってそれは人任せでも構わないと思う。
645 ：１３２人目の素数さん：2015/02/17(火) 09:21:57.21 ID:Qvuad044: こういうしょうもない議論もなくなってみると少し寂しいな。
2chはもうだめだ。
646 ：１３２人目の素数さん：2015/02/17(火) 11:51:08.57 ID:UqZAdOC2: 今まで会話に参加しなかった人が何言ってんだか
647 ：１３２人目の素数さん：2015/02/17(火) 12:18:17.84 ID:Qvuad044: いや参加してたさ。
だかもう限界集落だろう。みんな都会に行ってしまった。
648 ：１３２人目の素数さん：2015/02/17(火) 14:58:04.96 ID:zg5rbUQ6: >>647
都会ってどこ？
649 ：１３２人目の素数さん：2015/02/17(火) 15:08:38.80 ID:0EIW2D7b: ココ
650 ：１３２人目の素数さん：2015/02/25(水) 16:49:52.95 ID:hRiwSw+T: 集合論で無限公理（帰納的集合の存在）の代わりにデデキント無限集合の存在を仮定したとき、
ペアノ公理系のモデルの存在は示せますか？
651 ：１３２人目の素数さん：2015/02/27(金) 00:00:34.77 ID:l6KHXviP: DをDedekind無限集合、fを中への単射とするとき、
D-f(D)は空ではないからそこから要素 z が取れる。
このとき、z∈X、x∈M→f(x)∈Xを満たすような最初の集合XをMとすると
(M, f, z)が(N, S, 0)と同型になることが示せる気がするけど、細かい部分は確かめる気が起きないなあ
652 ：１３２人目の素数さん：2015/02/27(金) 00:01:09.91 ID:l6KHXviP: 訂正
誤：最初
正：最小
653 ：１３２人目の素数さん：2015/02/27(金) 00:02:33.40 ID:l6KHXviP: 今日、ふと思ったのだけど、モデルコンパニオンって
一般人は銀座あたりの高級店でセレブな宴会に呼ぶ女の子のことかって思うよね
654 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 00:58:05.39 ID:KlHWNPkL: 前原昭二「数学基礎論入門」
定理3.1 :
“論理式∀xAが証明できるのは、Aそのものが証明できるとき、およびその時に限る。”(Aは任意の論理式で、自由変数としてxを含んでいる。)

とあるけど、これってつまり
∀xA→A
が(Aが自由変数xを含んでいても)成り立つということですよね。

だれか上の参考書を持ってる人答えてもらえませんか。
655 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 00:59:04.50 ID:KlHWNPkL: 前原昭二「数学基礎論入門」
定理3.1 :
“論理式∀xAが証明できるのは、Aそのものが証明できるとき、およびその時に限る。”(Aは任意の論理式で、自由変数としてxを含んでいる。)

とあるけど、これってつまり
(∀xA→A)∧(A→∀xA)
が(Aが自由変数xを含んでいても)成り立つということですよね。

だれか上の参考書を持ってる人答えてもらえませんか。
656 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 01:02:29.35 ID:gG2foJNf: んなわきゃない
落ち着いて「論理式が証明できる」の定義を確認し、定理3.1の文言を読み直すべし
657 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 01:25:52.14 ID:KlHWNPkL: この参考書では、
(Aが任意の論理式で、自由変数xを含んでいる)
A
ーー
∀xA

が推論規則として定義されてます。ていうことはこの推論規則から
A→∀xA
が証明できますよね。もしかして違いますか？

参考書には、「上の推論規則によって、Aが証明できれば∀xAが証明できる。」とあります。
つまり、A→∀xAが成り立つ、つまり証明できるということですよね。
658 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 01:33:56.81 ID:KlHWNPkL: また、この参考書では次の論理式が公理として指定されています。:

∀xF(x)→F(t)

参考書にもあるように、この公理から、(F(x)をAとして、tをxに置き換えれば)
∀xA→A
が証明でき、∀xAが証明できるときはAも証明できます。
659 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 01:40:19.77 ID:KlHWNPkL: そもそも参考書には、定理3.1の証明文で「∀xAが証明できればAが証明できる(>>658)。逆に、Aが証明できれば∀xAが証明できる(>>657)」と書いています。

このことに基づいてAと∀xAについて真理表を書けば、
(A→∀xA)∧(∀xA→A)
はトートロジーであることがわかります。トートロジーは“古典命題論理の範囲で”証明できるとあります。
そうです、しかし述語論理も入っていますし、このことは関係ありませんでしたねスミマセン。
660 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 01:46:07.97 ID:KlHWNPkL: どうやら僕は>>659とその他諸々の勘違いをしているようです。述語論理についてもう少し勉強します。

でも間違ってる点の指摘は募集中ですのでよろしく。
661 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 01:52:15.87 ID:KlHWNPkL: >>657が間違っているか教えてください。どのように間違っているのかも教えていただけると幸いです。
662 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 11:49:34.03 ID:uYwdb+0J: >>655
とりあえず「Aが証明できる」と「A」は違う概念だから区別しよう。
Aが成り立つ、という言い方だとどっちなのか微妙。
663 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 19:56:25.98 ID:FIHrqrdo: >>661
うろ覚えだが、

理論TでAが証明できるとき、理論Tで∀xAが証明できる

理論TにAを公理として追加した理論
664 ：１３２人目の素数さん：2015/02/28(土) 19:58:07.47 ID:FIHrqrdo: >>661
うろ覚えだが、

理論TでAが証明できるとき、理論Tで∀xAが証明できる
理論TにAを公理として追加した理論T2でBが証明できるとき、理論TでA→Bが証明できる

の違い
665 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 00:50:25.19 ID:Fq+Q20mM: >>657
>が推論規則として定義されてます。ていうことはこの推論規則から
>A→∀xA
>が証明できますよね。もしかして違いますか？

演繹定理のこと言ってるの？　だったら、俺の持っている本だと
広瀬の「ゲーデルの世界」に証明が出ているな。
666 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 03:06:23.95 ID:3NTkbY9m: >>664
今考え中です。
アドバイスありがとうございます。

>>665
数学基礎論に手を出す前に数理論理学をある程度分かっていないといけないようですね。
667 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 04:48:31.51 ID:TiEGcBst: 演繹定理なら前原の本には「仮定の下での推論」という形で載っている。

それと、述語論理の章に「変数条件」という言葉が出てくる。
仮定の下での推論は無条件に成り立つわけではなく、変数条件を満たす場合にその推論を認めている。
その本では推論法則を「A1, A2, …, An が証明できるなら B も証明できる」という紛らわしい表現で説明しているが、
正確には、推論法則とは証明の樹形図の一部分（パーツ）であり、このパーツを組合せて一つの証明図を作ることができる。
これを踏まえれば、変数条件は当たり前の但し書きに過ぎないと納得できるはず。

最後に重要な指摘を。
その本には意味論的概念は一切出てこない。”→”という記号に意味はない。
「Aが証明できる”ならば”∀xAも証明できる」からといって、日本語の”ならば”と記号”→”に繋がりを見てとり、
「A→∀xAは証明できる」と期待してはいけない（実際これは成り立たない）。
「証明できる」という言葉を以下のように直接的に言い換えれば、別に不自然なことではないと分かるだろう。
「Aを根の位置に配置した証明の樹形図が与えられたとき、∀xAを根の位置に配置した証明の樹形図も得られる。
しかし、（任意に与えられたAに対して）A→∀xAを根の位置に配置した証明の樹形図が存在するかどうかとは無関係である」
668 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 04:56:54.69 ID:TiEGcBst: 訂正

正確には、推論法則とは証明の樹形図の一部分（パーツ）の省略表現であり、
669 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 05:27:53.64 ID:3NTkbY9m: >>667
しかし前原の本では、
「
A
―
B

は『Aが証明できる”ならば”Bが証明できる』と読み、
そのことから、

公理：　A→（B→A）

を、

A
――
A→B

と書ける。」と書いてあります。

これはつまり、「A→（B→A）」は「Aが証明できる”ならば”B→Aが証明できる」という意味であるといえますよね。
（それとも、そう読めるだけであって、そういう意味ではないのですか。しかしここまで書いてそれは通用しないと思います。）
そうであれば、「Aが証明できる”ならば”∀xAも証明できる」は「A→∀xAは証明できる」といえるのではないですか？

おそらくどこか間違っていると思うので、アドバイスお願いします。
670 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 05:28:28.26 ID:3NTkbY9m: 上げてしまってすいません…。
671 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 05:37:37.68 ID:3NTkbY9m: >>669
僕が言いたいことはつまり、

前原の本の書き込みから、
「
A
―　　と　　A→B　　は『Aが証明できればBは証明できる』という点で共通している。
B

つまりその点においては、

A
―　と（A→B）は同値である。
B
」

と要約できるのではないか、と言っており、
それなれば、「『Aが証明できる”ならば”∀xAも証明できる』は『A→∀xAは証明できる』といえるのではないですか」と言っているのです。
672 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 05:37:53.07 ID:TiEGcBst: 一部にそういう不正確な記述はあるようだね。
でもそれ以前に書かれてある定義を正確に理解していれば、後に書かれたものが不正確な記述であると気付けたはずだよ。
著者はその部分では噛み砕いた説明をしようとしたに過ぎない。なんせ正確な定義は以前に与えてあるのだから。
673 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 05:45:52.07 ID:TiEGcBst: A
―という推論法則が成り立つこと　と　A→Bが証明できること　は同値である。
B

これは命題論理では正しい。変数条件を気にする必要がないから。
変数条件という制約のある述語論理では正しくない。
674 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 08:44:45.45 ID:RLAJOR8Y: >>671
同値じゃないよ。
A→Bから『Aが証明できればBは証明できる』は言えるけど逆は言えない。
理論TでAが証明できるという仮定をおくことと、Tに仮定Aを追加することは違う。
675 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 09:41:32.04 ID:mc57Xud7: 形式的体系の中で証明できる、すなわち証明木が存在する、
という話と、形式的体系を外から眺めたメタな議論に於ける証明を
区別できないと論理学は理解不能だろう。
676 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 09:52:06.95 ID:RLAJOR8Y: メタな議論に於ける証明に何が使われるかが曖昧だからね
677 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 10:08:05.09 ID:3NTkbY9m: >>675
つまりあなたから見て僕はその区別ができていないように見える、ということですか？
だとしたら区別できるためのヒントをください。

ちなみに参考書では型の理論を使用しています。
678 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 10:44:55.89 ID:TiEGcBst: >>674
その本では推論規則と「仮定の下での推論」を同じ図で表現する
今話題にしているのは後者
679 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 15:20:18.83 ID:Gb8UBArA: >>673
>変数条件という制約のある述語論理では正しくない。
広瀬「ゲーデルの世界」では、「Aに含まれる自由変数は変化しない」という条件のもとで、
述語論理でも成立すると書いてある。

正確に書けば、Tが適当な仮定としたとき、

T, A　　　　　T
――　と　―――　は同値。
B　　　　 A→B
680 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 15:48:33.66 ID:wfU+P6CE: >>671
いろいろわかってないようだけど、とりあえず、
前原昭二「数学基礎論入門」定理3.7の中に、「しかも変数xが仮定C1,C2,...,Cnのいずれにも自由変数として含まれていなければ、」って書かれてるの見た？
681 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 18:05:08.51 ID:3NTkbY9m: >>680
見ましたが、それは後に出てくることだから関係ないと思っているのですが、
まさかそれが関係あるのでしょうか。
682 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 18:16:19.33 ID:mc57Xud7: 同値だと思うならこんなところで油を売らずに
自分で同値性を証明すればいいだけじゃん。
683 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 18:16:44.34 ID:3NTkbY9m: もうひとつ聞きたいことがあるのですが、ごちゃごちゃになりそうなのでまとめます。

①なぜ A/B は A→B とできるのに、A/∀xA は A→∀xA とできないのですか。
　ようするに、このようなことを引き起こしている、命題論理と述語論理の違いを教えてください。

②（証明できる論理式、つまり真な論理式を表す記号を ∧ とします。）
　　　　　　　　　　　　　　A→∧≡A　
の証明を教えてください。
その際、次の公理を使用してよいです。
　A→（B→A)
684 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 18:20:58.60 ID:TiEGcBst: ここまでの回答を全然読んでないの丸わかりの質問ｗｗｗ
真面目に回答して損した
685 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 18:31:32.43 ID:3NTkbY9m: 訂正：　A→∧≡∧

∧→（A→∧）は上で挙げた公理から容易にわかるのですが、その逆がわかりません。

ほかの公理をすべてあげるのは面倒なので、とりあえず公理の選択については無視でお願いします。
ちなみに、参考書の証明は「上に挙げた公理による」としか書いていませんでした。

>>684
もうすこし明確な回答してもらえないでしょうか。
要するに、>>673のさらに詳しい説明をお願いしたいのです。
それができないのならば、回答していただかなくとも結構です。
あと草生やさないでください。
686 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 18:37:11.94 ID:TiEGcBst: 俺よりも詳しく解説した人がいるのにもかかわらず、その言いぐさ…
ここまでの回答というのは、なにも俺の書き込みのことだけではないぞ
687 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 18:47:46.08 ID:3NTkbY9m: >>686さんあなたとは会話がうまく成り立っていないようなのでROMっていてくださいお願いします。
688 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 18:54:17.66 ID:TiEGcBst: はっきりと言ってやらないと伝わらないか
俺よりも丁寧な解説をしてくれた人にも唾してることになるぞ、と注意したんだがな
689 ：１３２人目の素数さん：2015/03/01(日) 19:04:51.19 ID:kxU/Ro/w: >>687
この手の教わる側なのに偉そうな人凄く多いよね。
ネットだけじゃなくてリアルでも。
690 ：１３２人目の素数さん：2015/03/02(月) 11:02:23.29 ID:qtQxIl5G: 学ぶことは、教科書、参考書、教えられたものを鵜呑みにすることではない。
少しでも不可解に感じる疑問点があれば、
そこをどんどん突っ込んだほうがいいと思います。
疑問をぶつけあってとにかく徹底的に議論することです。
欧米の学生はそれを互いにやっています。
691 ：１３２人目の素数さん：2015/03/02(月) 11:50:43.11 ID:2vr3FDJi: もしかして、不正確な記述でも鵜?みにしてしまう無礼な教えて君かな？
692 ：１３２人目の素数さん：2015/03/02(月) 12:39:04.60 ID:qtQxIl5G: 鵜呑みにしないからここで質問したりするのでは？
偉い先生が書いた本にも間違いはあるもの。
しかし初学者にはそれが間違いなのか自分の思い違いなのか
書かれていない別の意味があるのか、一概に判断がつかにもの。
693 ：１３２人目の素数さん：2015/03/02(月) 12:39:34.66 ID:qtQxIl5G: ちなみに私はここに始めて書き込みます。別人です。
694 ：１３２人目の素数さん：2015/03/02(月) 19:37:57.42 ID:3N5Inw47: どうして自分の頭で考えようとしないんだろう。
質問する前に100時間考えろ。話はそれからだ。
695 ：１３２人目の素数さん：2015/03/02(月) 21:17:02.48 ID:ifUb9WNU: >>694
それは言い過ぎ。7時間でいい。すなわち一晩。
696 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 00:23:36.43 ID:qcj3dvfu: どちらにせよ、感情的になってはいけないです。
ネットリテラシーをもっと勉強・習得すべきでしょう。
697 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 00:41:03.59 ID:BJ+P39so: 人を怒らせといて「感情的になるな」っていう奴も
ネットだけじゃなくてリアルでもよく見かける
698 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 01:13:53.61 ID:+9yJY/kQ: 公理：　A→（B→A）

を、

A
――
A→B

と書ける。」と書いてあります。

いや、こんなことは書かれていない
件の本には

公理：　A→（B→A）

から

A
――
A→B

と書ける。」としか書かれていない
699 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 05:38:52.63 ID:7VRJDEF8: >>695
知的持久力無いね、君。
一晩考えてわからないくらいで他人に尋ねるようでは
基礎論なんて無理ですよ。

他の学問も無理だと思いますけどね。
700 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 06:11:32.86 ID:7VRJDEF8: しかしまあ、こんな初歩的なことも分からないような人が
自分の頭で考えるのは時間の無駄ではあるね。
微積分と線型代数で挫折しちゃった人なんだろう。
701 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 07:49:09.69 ID:Zrvh4lbC: つまらないこと言うなよ
702 ：１３２人目の素数さん：2015/03/03(火) 08:32:41.63 ID:Zrvh4lbC: >>683
A/B を無条件に A→B とできるわけじゃなくてAがclosed formulaである必要があるからだろ。 A/∀xA が成り立つことはそれと無関係。
703 ：１３２人目の素数さん：2015/03/04(水) 22:15:36.12 ID:VdHTfVhD: やっと分かりました。
というか、やっと皆さんの回答を理解できるようになりました。とても参考になりました。
ありがとうございました。
704 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 07:10:12.55 ID:s8kYEglS: ほんまかいな
705 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 07:51:22.69 ID:uSF0H5Pr: 本人が分かったって言うんだから深追いは禁物
大学のセミナーじゃないんだから
706 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 08:07:38.71 ID:Q2nCHyY/: やっぱりわかってないかも
707 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 08:11:33.06 ID:K223A6w6: わかった気にさせて、良い気持ちを味あわせてあげよう。

>>705
学生をDQNと常に見積もる馬鹿教員にも笑えるものあり
708 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 08:28:32.83 ID:Q2nCHyY/: なんでみんなそんなに冷たくするんですか...。
僕が何をしたっていうんだ！！！！うおおおおおぉぉぉ！！！
709 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 08:30:53.22 ID:ybH1h9dI: >>708
うん、そうだ。
君は賢いと思うよ。
きちんと話も聞かず、見込みで君を馬鹿と見積もる奴らの方が愚かだよ。
710 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 08:33:25.87 ID:Q2nCHyY/: 　　　　　　　　　　/⌒丶　　　　　　　／⌒＼
　　　　　　　　　/´ 　　　ヽ　　　　／、　　　ヽ
　　　　　　　　　| /　　　　|　　　　 /　 /　　　　|
　　　　　.　　　|　　　　　.|　　　　|　,/ .　　　　|
　　　　　　　　|　　　　　|∧＿∧　/　ﾉ　　　,|
　　　　.　　　　|　　　　　|(´・ω・｀)　　　　　丿
　　　　　　　　ﾉヽ｀　　ノヽ　　　/　｀　　　/
　　　　　　　 /　　　,/ｿ　　　　　　　　　＼ /
　　　　　　　（　　　　　　　,/　　　｀´　　　|　　
　　　　　　　＼　　　イ　 ´　　　　　　　　|　
　　　　　　　　　＼　　ヽ　＼　　　　八　　ﾉ　
　　　　　　　　　　ヽ　　　　｀　ー ´人｀　/　
　　　　　　　　　　　　＼　　　　／ ´,､ヽﾉ　　
　　　　　　　　　　　ノ⌒　　　　/　　　　 |
　　　　　　　　　　/　　　　　　　　　　　　ﾉ_
　　　　　　　　　　|　ﾉ　　　　　ヽ　　　丿　＼
　　　　　　 /⌒l　|.　　　　　　　　　　/ 　　　　＼
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　　　　　|　　/　　´　　　　　／⌒`l　　　　　　　＼　
　　　　　丿 /　　　,　　　　 .／　　　ヽ　　　ヽ　　　　|　
　　　　/　　|,　　　|　　　／　　　　　）＼　　　　　　ヽ　
　　　　ヽ　ノ　　ヽ__,／　　　　　 .　（　 _＼＿　　　　|
　　　 (_)__)|＿＿＿,/　　　　　　　　　 (__)_)_)ヽ、＿＿/
711 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 08:37:55.63 ID:Q2nCHyY/: >>709
あなたのおかげで暴れずに済みましたありがとうございます。
712 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 13:22:47.67 ID:e4PZ/BF1: >>707
逆に見積もる教員もつらいぞ。
上野建爾は初めて担当したゼミに藤田隆夫と満渕俊樹がいて学生の能力はこれが標準だと思ったらしい。
713 ：１３２人目の素数さん：2015/03/05(木) 20:53:50.82 ID:UpeCPUA9: コンピュータは数学者になるかはみんな読んだの？
人文系の人にもなかなか好評みたいだけど
714 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 04:24:57.00 ID:msHz3x11: >>713
読んでないから、ちょっとかいつまんで要約してみてYO
715 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 05:26:54.96 ID:8WC4qnbI: >>712
たまたまだ。
そうそう、そんな学生に遭遇するはずも無く。
716 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 06:08:03.87 ID:nCFhxpvV: 「いつものパン」があなたを殺す　(デイビッドパールマター三笠書房 2015/1/16)
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717 ：１３２人目の素数さん：2015/03/06(金) 17:36:25.78 ID:j2NlMIL+: >>713
買ったけど読んでない
ちょっと引越しと重なって読む時間に乏しいけど
読んだら感想書くかも
718 ：713：2015/03/06(金) 23:36:03.32 ID:wj+AYrC9: >>714
まず最初に一階述語論理を直感的に導入
形式体系を擬人化しながら紹介していく
例えばQは小学生レベルの算数ができる
RCAは中高生レベルのことができるなど。
結構具体的にどんなことができるかが紹介される
最後はZFCでおわる
そして不完全性定理、誤解されないよう十分配慮されてる
それからラムダ計算を証明とは何かということで具体的に紹介
その他細かい話題がいくつか
719 ：713：2015/03/06(金) 23:43:54.94 ID:wj+AYrC9: 補足、細かい話題ってのは不完全性定理とラムダ計算の間の
順序数とPvsNPについての章のこと
凄い丁寧に書かれてるけど数理論理学全く知らないと
ついていけない部分が結構あると思う
最初の方の形式体系の紹介以外はよくある内容
コンピューターより基礎論に興味がある人向け
720 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 21:44:17.73 ID:E9l12Cyp: 検証システムや自動証明、東大ロボなんかの話もあったね。タイトル的にはこちらが本線でなきゃいけないと思うが。
721 ：１３２人目の素数さん：2015/03/07(土) 21:45:52.23 ID:AvYM801B: 照井先生ってこういうポイントを絞ったぶっちゃけた書き方は得意だよね
722 ：１３２人目の素数さん：2015/03/09(月) 09:31:58.73 ID:FbDhOBgo: とんでもが経済板を荒らしてる

経済学は数学を誤用している [転載禁止](c)2ch.net
http://yomogi.2ch.net/test/read.cgi/economics/1425101388/
723 ：１３２人目の素数さん：2015/03/09(月) 20:54:22.37 ID:ar9H3cST: http://jbbs.shitaraba.net/sports/42269/
724 ：１３２人目の素数さん：2015/03/11(水) 09:27:20.25 ID:ksyuvet4: 35頁の掛け算が間違いというか誤植だろうけど、正誤表はどっかにもうある？
725 ：１３２人目の素数さん：2015/03/13(金) 13:06:06.36 ID:pxbfXTBn: 42頁の(∃i)も(∃e)の誤植かな
726 ：１３２人目の素数さん：2015/03/17(火) 07:46:33.35 ID:+LtwznMq: ３月になり、春トークす
727 ：１３２人目の素数さん：2015/03/17(火) 12:27:48.92 ID:P+queqBu: 菊地さんの不完全性定理の書評が数セミに載ってたけど、評者の新井さんって電波入ってるね。
728 ：１３２人目の素数さん：2015/03/17(火) 12:43:29.14 ID:SwDWqZM9: 旦那？嫁の方？他人？
729 ：１３２人目の素数さん：2015/03/17(火) 17:44:23.98 ID:P+queqBu: >>728
旦那
730 ：１３２人目の素数さん：2015/03/17(火) 18:11:43.71 ID:SwDWqZM9: 読んでないからなんともではあるけど、旦那なら無矛盾性の話かな？あれは2004年の日本数学会秋季賞あたりを見ればわかるようにかなり際どい内容だから、電波に見える可能性はあるな。
731 ：１３２人目の素数さん：2015/03/18(水) 15:30:17.94 ID:AVi7reNk: 照井先生といえば、このスレ的には、
「第一と違い、第二不完全性定理にはΣ1帰納法がないといけない」
という意味に勘違いする香具師が出た元の文章の著者だけど
今度の本ではどう記述されている？
「小学校レベルの算数」に第二不完全性に必要な道具立ては入っている？
732 ：１３２人目の素数さん：2015/03/19(木) 23:22:46.73 ID:1Hh5rHrF: そんなの買って読めば分かるじゃん
733 ：１３２人目の素数さん：2015/03/20(金) 22:42:20.08 ID:EK1T8QSS: >>732
そのためだけに買ったりわざわざ本屋を回ったりしたくない人間もいるってことでしょ
734 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 02:04:53.74 ID:3/6WEyJU: 無いといけない、とは書いてない。

とりあえず最初の方で第一はQのce拡大、
第二はIΣ1のce拡大について成り立つと書いている。
後の計算量の章も参照、と注で書いてて、そこで
Q < S12 < S2 < IΣ1の順になってて
S12でも第二が成り立つことに触れてる。
またS2はCon(Q)を示せないので第二での体系の分離が出来ないことも書いてある。
ただここまで読んでないので、4章以降はチラ見。

まあロッサー化についても分かりやすくどういうことか説明してあったりして
割と良い本だから数学科でロジックに興味を持ってる人は全員買って良いと思う。

ちなみに菊池誠「不完全性定理」でも、弱い体系に対して
第二不完全性定理が結果として成り立つこと自体は書いてある。
ただ証明法がかなり違うと書いてた記憶があるけど。

Bussの教科書だとQの拡大について示してるね。
ただ、結局S12より強い場合を先に示してそれを使って
Qの拡大でS12を含まない場合についても示すので、
第二が成り立つ理由も定理の性格もちょっと違ってくると理解した方が無難だと思う。
735 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 02:37:26.69 ID:bRC0GWqr: >>734
さんくす。良さそうな本だね。買ってみようかな。
736 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 12:19:13.80 ID:Xhj3Vaq8: 連続体仮説が成り立つ場合についての情報は
「Continuum Hypothesis」で検索すれば
Assuming CH then ... がいっぱい出てきますが、

連続体仮説が成り立たない場合
（ω0 < ω1 < A とかその他）
を調べたい場合はどういう単語で検索すればいいですか？

Non-Continuum Hypothesis ？
Uncontinuum Hypothesis ？
良く分かりません
737 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 20:54:51.28 ID:EHifEmxC: 基数不変量(cardinal invariant)の話の大部分は
連続体仮説が成り立たない場合でないと意味ないんでない？
738 ：１３２人目の素数さん：2015/03/21(土) 21:13:23.75 ID:EHifEmxC: 何気なく書いたら4重否定になってたｗスマソ
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
739 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 13:16:48.70 ID:loLPB14y: >>734
前に話題になったときにも
「S12より強い場合を先に示してそれを使ってQの拡大でS12を含まない場合についても示す」ことと
「PAより強い場合を先に示してそれを使ってZFの拡大の場合についても示す」こととの間に
原理的な違いはないということが言われていたけれど。
ZFCの場合はPAと比べて「第二が成り立つ理由も定理の性格もちょっと違ってくる」と理解するべきだと？
740 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 21:02:20.28 ID:Uz42T5Oz: PAがZFで解釈できることは誰でも知っているので
PAについて第二不完全性が成り立つことを示せば
自動的にZFについても第二不完全性が成り立つことはついてくる。

同様に、S12がQで解釈できることを事前に知っていれば
S12について第二不完全性が成り立つことを示せば
Qについても第二不完全性が成り立つことは自動的についてくる。

>>734は、S12のQでの解釈解釈可能性を、
Qでの第二不完全性の証明の一部分としてしか認識できなかった。
つまり、事前に知らなかったし、
不完全性定理以外の文脈での有用性に考えが至らない
（あるいは、まだ至っていない）というそれだけのこと。
741 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 21:16:33.54 ID:6nQUwcSo: >>740
あんた、文章下手だな。
742 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 22:46:34.32 ID:50L4Q+Mw: >>739
ZFCの場合、基本的には可証性述語は算術を埋め込んで
その算術上の可証性述語として解釈する方法しかない。

H(ω)の理論を展開してこの上にコードもできるけど
これはZF上は全く同じことをやっていて、互いに同値であることを示せる。
（これも、KPのように内包公理が制限されるような
弱い集合論上でも同値性が示せるのかどうかは知らない。）

一方QにS12を埋め込む場合、元のQ上の普通の可証性述語と
S12上の可証性述語がQに埋め込まれたものの二つが出て来る。
この二つは、一応違う可証性述語と考えるべき。
743 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 22:49:42.08 ID:50L4Q+Mw: >>740
734では定理の性格が「ちょっと」違う、場合によっては区別しないといけない、
としか書いていないし、いかなる場合でも違うなどとは決して言っていない。

740にせよS12がQで解釈できる事を見ればそれで十分である「場合もある」
ということしか言っていないので、私は「ああそうですね」としか言いようがない。

QとS12は本質的に同じ強さの理論だ、と言いたいのかもしれないが
この二つは証明能力が違う以上、S12の方がより強い理論で、
ただ解釈可能性で同値類を取って割るという少し粗いことをすると
その差は潰れてしまう、という方が正しい。
744 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 23:43:29.38 ID:Uz42T5Oz: 可証性述語が基本的に一つしかないって随分と素朴な発想だな。
>>742はロッサー文とかクライゼルの注意とか知らないらしい。
745 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 23:45:22.61 ID:ip3s0mEp: ＞可証性述語が基本的に一つしかない
えっ、どこにそんなこと書いてあるの
746 ：１３２人目の素数さん：2015/03/22(日) 23:53:14.31 ID:Uz42T5Oz: >>745
最後の段落
>一方QにS12を埋め込む場合、元のQ上の普通の可証性述語と
>S12上の可証性述語がQに埋め込まれたものの二つが出て来る。
>この二つは、一応違う可証性述語と考えるべき。
を読む限りそう理解するしかないだろう。

可証性述語が複数ある前提なら、
「二つが出て来る」ことがZFCの場合との違いにはならない。
747 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 00:44:37.51 ID:A25minQ6: 可証性述語として認める為の数学的にきちんとした
（「自然な」とか「素直な」とかを許せば簡単なんだけどね）
条件を見つけよ、というのは結構長い議論の歴史があって、
最終的にはLoebの可導条件に落ち着いたんじゃないのかな。

ただそうすると>>742が「元のQ上の普通の可証性述語」という言葉で表そうとしていたものは
可導条件を満たさない（と思う）ので可証性述語と呼べないことになるけど。
748 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 02:24:51.45 ID:NGpKT8HY: 742で言いたかったのは
PAなどでの普通の可証性述語をQ上で考えたもの、という意味。

可導性条件を満たさなかったら可証性述語と呼ばない、
なんて聞いたことが無い。
個人的にそういうポリシーを持つのは勝手だが全くコンセンサスが無い。
そもそもそれだとRosserの可証性述語、という言い方が間違いになる。
実際はそんな用例のある論文はいくらでも見つかる。

>>746
>>734で「コンピューターは数学者になれるのか」は
>ロッサー化についても分かりやすくどういうことか説明してあったりして割と良い本
と書いたつもりだけどね。

いずれにせよ、Q上の第二不完全性とPA上の第二不完全性の
可証性述語が違うものを使っている（可能性がある）ことは認めるの？
違う可証性述語についての第二不完全性定理なら
違う定理だと考えざるを得ないでしょ。

ロッサーの可証性述語Prov_Rを用いて
Con_R:⇔￢Prov_R("⊥") とするとCon_Rは無矛盾性をコードしていると
単純に考えられなくなる。同じ話で。
749 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 07:26:43.17 ID:UHCbvGrk: 問題はZFCの場合とQの場合の違いだったはずだけど
なんか話題をずらしてない？
750 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 18:03:40.87 ID:NGpKT8HY: そもそもの問題はS12（より強い算術）の第二不完全性定理と
S12を埋め込むことで証明したQ上の第二不完全性定理とに
違いがあるか、という話だったと思うけど。

特定のZFCという公理系についての話は、単に例に挙げる人が居た、
というだけの話だが、ZFC上の不完全性定理について考えたいのだとしても
ZFC上の可証性述語とQにS12の可証性述語を埋め込んだものが
違う可証性述語ならば同じ話。
751 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 20:41:03.57 ID:UHCbvGrk: >>742は>>739に向けられてるけど？
明らかに>>739の要点はZFとかZFCの場合との比較だよ？

ZFCとQやS12は言語が違うわけだから
可証性述語が同じとか違うとかそもそもどういう意味で言ってるの？
ってのが問題の肝だと理解しているんだけど。
752 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 21:32:51.97 ID:NGpKT8HY: 上で「同じ」「違う」と言っているのは、例えば可導性条件などの
メタ数学的に重要な性質が両方とも同じであるか、
また仮に同じであるとしても、そのことを同様の議論で示せるか、ということ。

たとえばT := ZF＋￢Con(ZF)みたいな変な理論にも
PAを埋め込んで可証性述語っぽい述語は作れる。
しかしこういう理論は算術について健全でないので、
T上の定理でなくて、第二不完全性みたいな
Tについてのメタ数学上の結論を導きたい場合には細かい注意が必要になる。
ロッサー化はそういう細かい工夫の一つ。

こｊれはTがZFそのものである場合も同様で、
ZFが算術の偽の文を証明する無矛盾な理論である可能性はあるのだから、
第二不完全性定理をメタレベルで厳密に示す為には、
本当はZFの或る種の健全であることを或る程度仮定しないといけないはず。

それは、S12をQに埋めこんだ場合でも同様なんじゃないの、という話。
Qを拡大した理論（Tとする）の中にはPRAとすら両立しないような理論もあるので、
そういう不健全な理論の上の可証性述語とはそもそも何なのか、という話。

メタ数学上最低限仮定されている自然数についての事実とは何なのか、
PRAで良いのかどうかという問題もあるけど、いずれにせよ
「S12をQに埋め込むプロセスがメタ数学的に問題無いのは自明」とは
到底言い難いと思う。
753 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 22:10:11.78 ID:NGpKT8HY: 要は、第二不完全性定理は
「（Tが～～を満たす時、）TからはTの無矛盾性を何らかの意味で
コードする命題ConTが証明できない。」
という形をしているけど「何らかの意味で」という表現は実際は数学的に厳密には、
「TからはTの無矛盾性をこういう方法でコードした命題ConTが証明できない。」
或いは
「TからはTの無矛盾性を、こういう意味でコードする命題ConTが証明できない。」
という形の言明であると考えなければならない。
今、議論の対象となっている例ではコードの方法は埋め込むという操作を経るか
どうかという点で確かに少し違う。後者だとしても、「こういう意味で」という部分が
変わっているのならば違う定理だと考えなければならない。
754 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 22:55:36.98 ID:A25minQ6: >上で「同じ」「違う」と言っているのは、例えば可導性条件などの
>メタ数学的に重要な性質が両方とも同じであるか、
>また仮に同じであるとしても、そのことを同様の議論で示せるか、ということ。

それなら「解釈」で移り合えれる可証性述語は「同じ」じゃないの？
可導性条件は解釈で保存するのだから。
むしろ同じ言語の同じ可証性述語でも、
理論が違えば「違う」ということになるのでは？
理論に可導性条件は導けたり導けなかったりするのだから。

S12のQでの解釈により埋め込む前と後の可証性述語が「同じ」であって、
解釈によって変化させない全く同じ可証性述語が
S12の中で扱う場合とQの中で扱う場合とで「違う」と考えないといけない、
ということになると思うけど、そういうことを言っているの？
なんか正反対のことを言っているようにも見えるんだけど。
755 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 23:31:22.93 ID:A25minQ6: あと「可導性条件を満たさなかったら可証性述語と呼ばない」というポリシーを持っているわけではないよ。
ただ>>742はQの場合とZFCの場合の対比を述べているけど
>>746の通り、可証性述語が一つだと考えないと対比にならないので
>>742の意図を汲み取ろうと「どういう意味で可証性述語が一つと言っているのか？」と考えて
可導性条件なのかな、と思っただけ。

繰り返しになるけど、
ロッサー可証性述語のような可導性条件を満たさないものでもいいのなら
可証性はそれこそ無数にあるわけで（ZFCの場合でも）、
Qの場合に2種類出て来ることがZFCとの違いにはならないよね？
（可算無限の2倍は可算無限で変わらない）
結局、>>742では何が言いたかったのか分からないんだよね。
756 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 23:40:20.61 ID:A25minQ6: >違う可証性述語についての第二不完全性定理なら
>違う定理だと考えざるを得ないでしょ。

これもよく分からないんだよね。
PAでの証明可能性とIΣ1の証明可能性は
（形式化以前の問題で）違うのだから
当然、可証性述語は別物でしょ？

だけど今問題にしているのは
「PAやIΣ1やS12に対する第二不完全性と
Qに対する第二不完全性は違う」という>>734の主張。
つまりPAやIΣ1やS12に対する第二不完全性は同じという前提の話だったのに
いつのまにかこれらも違う定理ってことになってる。

申し訳ないんだけど、主張内容を前提から含めて整理して頂けませんか？
757 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 23:41:15.95 ID:NGpKT8HY: 述語の重要な性質って、解釈によって不変な性質しか無いの？
当然そうだという前提で話をされても困るのだけど。

あなたが解釈によって保存しない性質に興味が無いのは勝手だけど、
だからってそういうものを全て重要でないことにして
みな無視するべきだ、無視しないのはおかしい、と言い出すのは
（そう言っているようにしか思えないのだけど）辞めて欲しい。

Qを解釈できる無矛盾な理論TからはCon(T)が導けない、
というのが定理のステートメントなのに、
証明はTがS12を解釈できる場合と解釈できない場合で場合分けして、
それぞれの場合で述語Con(x)として違うものを取ってる訳でしょ？

それは若干反則気味じゃないの？という話でしょ。
互いに同値であることが或る弱い理論で示せれば、
その弱い理論が前提されている状況では同じと見做せるが、
そうだとしても、それは証明してチェックしないといけないこと。
758 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 23:44:01.38 ID:A25minQ6: 連投失礼

誤) 理論に可導性条件は導けたり導けなかったりするのだから。

正) 理論によって可導性条件は導けたり導けなかったりするのだから。
759 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 23:58:27.15 ID:A25minQ6: いま問題にしているのは第二不完全性の性格の違いでしょ？
可導性条件があれば出るのだから、
それが保存されたら今の問題には区別する必要ないように思うけどな。

いずれにせよ、自分でも
「例えば可導性条件などのメタ数学的に重要な性質」と
これしか例にあげていないので、
良かったら癇癪で保存されない例をあげてもらる？
760 ：１３２人目の素数さん：2015/03/23(月) 23:59:55.52 ID:A25minQ6: 誤) 癇癪
正) 解釈
761 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 07:03:40.72 ID:ck5vzA71: 「メタ数学的に重要な性質」とか例なしにこれだけでは意図が分からない表現を用いておきながら
自分で例として挙げたのは解釈で保存されるものだけ。
ところが解釈の下での保存を仮定すると怒りだす。
解釈を通すか通さないかがずっと問題になってきたにも関わらずである。
自分の例示の仕方に問題があるだけだろう。

他にも「或る種の」とか「若干反則気味」とか
主観的というか正確な意味のとれない言葉が並んでいる。
762 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 07:16:06.87 ID:nK64TAci: 体系の無矛盾性の強さは解釈で保存されるけど
証明能力の強弱は或る程度潰れるでしょ
763 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 07:47:26.68 ID:nK64TAci: 反則の数学的定義を挙げよとか
性質が重要であることの数学的定義を挙げよとか言われても
私には出来ないよ。他の誰にも出来るとは思わないけど。

可導性条件は第二を導くための条件に過ぎないし
可導性条件を満たす述語も複数あるだろうから
第二不完全性定理を使って何か別の結論を得たい場合には
違うConを使っても問題無いのか考える必要がある。
そういうところの微妙さが私には反則に感じるというだけ。
別に反則だと思わなくても良いが、微妙なのには変わらない。
764 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 12:43:47.24 ID:ck5vzA71: 誰が「数学的定義を挙げよ」なんて言ったんだ？
765 ：１３２人目の素数さん：2015/03/24(火) 17:40:17.78 ID:Uv5y626I: >>727
読んでみたけど、確かに書評じゃなくてエッセイというかモノローグというかポエムというか……
766 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 18:12:10.10 ID:w+WEfv9G: 最初に不完全性定理を勉強した本が
「算術を解釈できる再帰的公理化可能理論について」
という形で書いてある（日本語だと河合の本がそうだった筈）人間や、
そうでなくてもその後そういう見方に慣れた人間にとっては、
S12をQで解釈しても特になんとも思わないのだろうが、
それまで触れてこなかった人間には
「証明してチェックしないといけないこと」になるのだろう。
ただそれなら本来ならZFCに拡張するときに引っかかるはずなんだけど。
要は>>740で終わってたってこと。
767 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 19:08:17.46 ID:PbXrwE9n: ゲーデルの原論文は素数が無限個あることを無批判に使ってるのが問題
768 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 19:10:01.13 ID:VJsgtpcI: へー
769 ：１３２人目の素数さん：2015/03/25(水) 20:51:15.40 ID:EyOrSk2T: >>766
第二不完全性とは何か？という問には
専門家はみんな一家言あるんだろうね。
最初に勉強した本にも拠るだろうし
普段どれくらいの抽象度で生きているか、
日々どういう応用を念頭においているか
という要素で変わってくるのでしょう。
770 ：１３２人目の素数さん：2015/03/26(木) 00:13:20.09 ID:4n1Lq3JE: >>755と>>756の疑問にも答えていないので聞くだけ無駄だろうけれど。

>そもそもの問題はS12（より強い算術）の第二不完全性定理と
>S12を埋め込むことで証明したQ上の第二不完全性定理とに
>違いがあるか、という話だったと思うけど。

>Qを拡大した理論（Tとする）の中にはPRAとすら両立しないような理論もあるので、
>そういう不健全な理論の上の可証性述語とはそもそも何なのか、という話。

ここも前提に齟齬があるよね。
S12を拡大した理論の中にもPRAとすら両立しないような理論もあるのだから、
２つ目の引用が「違う」という理由ならば
S12の第二不完全性定理だって、PAやIΣ1のの第二不完全性定理と違うはず。

ま、それ以前に>>756の通りなんだけどね。
771 ：１３２人目の素数さん：2015/03/26(木) 19:40:24.68 ID:9zC1jxWP: 最初から可証性述語が一つとは言っていないので
どういう意味で一つなのかと言われても困る。

言っているのは、性質の違う可証性述語に対する
第二不完全性は違う定理だと考えねばならない、
ということ。性質が同じとはどういうことかと言われても困るけど。
或る述語が可証性述語だということも別に定義がある訳ではないし。

PAからの可証性とIΣ1からの可証性は
違うというような自明な話をしているのではなくて
理論TとT'を固定した時にTからの可証性をコードするような
T'上の述語が複数あるということを言っている。
772 ：１３２人目の素数さん：2015/03/26(木) 20:49:29.36 ID:nziChZFw: 既に自分の主張に整合性を持たせようという気さえないらしいな
773 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 00:06:51.60 ID:EjPtqV5t: ホラ見ろ何も言い返せないし矛盾も突けない。ザマアｗ
俺が初っ端ユニーク特定の話をした理由が理解できたかな？
トリ？俺はいつでもできるよ？
お前は逃げるだけでできないだろｗ豚。
774 ：１３２人目の素数さん：2015/03/27(金) 05:39:02.23 ID:iQyrz35u: 誰だ>>773は
言ってることもよう分からんし
775 ：１３２人目の素数さん：2015/03/30(月) 18:47:10.50 ID:LEkGO0rZ: 屑哲は再利用しましょう
776 ：１３２人目の素数さん：2015/04/11(土) 17:24:22.08 ID:osSnm/+q: http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/
おまえら基礎論厨の好むと好まざるといえども鬼っ子としか言いようがない「スレ主」が育っちゃってるんですけどどうにかしてくだしあ
777 ：１３２人目の素数さん：2015/04/12(日) 11:39:20.35 ID:hIuQ3hsv: 知らんがな
778 ：１３２人目の素数さん：2015/04/14(火) 22:19:37.09 ID:ZXpIArNx: 菊地先生が不完全性定理の本を出すのは分かるんだけど
照井先生には「売れるネタ」に擦り寄らずに
線型論理等自分の専門のネタを中心に語って欲しかったなあ。
779 ：１３２人目の素数さん：2015/04/14(火) 23:48:39.31 ID:Z5lOJyFk: ネットのPDFとか見ると書きたかったんじゃねえかと思うが。
780 ：１３２人目の素数さん：2015/04/15(水) 11:42:15.28 ID:x2/IYne+: このテーマで研究論文を書きたくはならないのか？
781 ：１３２人目の素数さん：2015/04/15(水) 23:35:05.76 ID:li9fQYL0: ((p∧q)→r)→((p→r)∨(q→r))
はトートロジーですか？
782 ：１３２人目の素数さん：2015/04/16(木) 00:20:03.92 ID:UeSxaQ1a: >>781

それが偽であるためには(p→r)∨(q→r)が偽でないといけない。
p→rもq→rも偽でないといけない。
つまりpとqは真でrは偽でないといけない。
このとき(p∧q)→rは偽になるから、与式は真となり与式が偽になることはない。
よって与式はトートロジー。
783 ：１３２人目の素数さん：2015/04/16(木) 04:24:52.62 ID:tOgg5h6l: 真偽の場合分けじゃない方法で証明できないかやってみたが難しかった。
784 ：１３２人目の素数さん：2015/04/16(木) 21:15:01.53 ID:T2xlPoxC: >>778
おまいらは非ロジシャンの数学者がロジックについて語れば口角泡飛ばして批判するのに
ロジシャンがロジック内の非専門分野について語るのにはずぶずぶに寛容だな。
785 ：１３２人目の素数さん：2015/04/16(木) 21:18:00.78 ID:VDd4MV39: そりゃその二つじゃ条件が非対称でしょうよ
786 ：１３２人目の素数さん：2015/04/18(土) 11:05:16.72 ID:4UasglT9: 専門外に口出したから叩かれているわけじゃなくて
間違ってるから叩かれてるだけでしょ。
照井先生は間違ったこと書いてたの？
787 ：１３２人目の素数さん：2015/04/18(土) 15:12:16.63 ID:0kwXMmA4: 不完全性定理については別に間違っているとも言い難いのに
素人が雑な言い方をすると叩いて
専門家が同じような雑な言い方しても叩かない、という人は確かに居る
788 ：１３２人目の素数さん：2015/04/18(土) 19:21:10.84 ID:P1WJoK2G: 鴨浩靖がそうだね
素人に毛が生えた教師や啓蒙書作家にはけちつけるけど
東大の大先生の野矢茂樹がトンでも書いてるのに全く指摘しない

常々鴨が批判してるそのものずばりの勘違いが
べストセラーにかかれてるのに
789 ：１３２人目の素数さん：2015/04/18(土) 21:03:49.82 ID:l6oyl9k+: 素人が「不完全性定理は人間理性の限界を示した」というとトンデモと叩くくせに
最初にそれを言ったオッペンハイマーをトンデモとは言わないって先日も批判されてたね
790 ：１３２人目の素数さん：2015/04/19(日) 11:06:19.84 ID:tROnp2OY: >>783
この論理式は
(p→q)∨(q→p)
と似ていて、直観主義論理では証明できないトートロジーなので、
難しいし、（ある意味）真偽の場合分け以外では証明できません。
791 ：１３２人目の素数さん：2015/04/19(日) 11:29:03.79 ID:r46kaJnT: PRAは0階の論理体系であるとはどういう意味ですか？
792 ：１３２人目の素数さん：2015/04/19(日) 19:00:32.36 ID:tROnp2OY: PRAは文献によっては量化記号が無い場合があると記憶している。
それを指すのでは？
793 ：１３２人目の素数さん：2015/04/19(日) 22:35:17.08 ID:05nx2q96: つまり命題論理の体系だってこと？
794 ：１３２人目の素数さん：2015/04/19(日) 23:50:07.27 ID:tROnp2OY: 変数や関数や等号や不等号はあるけど、∀と∃が無い、ということです。
795 ：１３２人目の素数さん：2015/04/20(月) 09:24:50.18 ID:qDRdan6v: 量化がないのに変数があるってどういうことですか？
796 ：１３２人目の素数さん：2015/04/20(月) 10:34:24.88 ID:8JLDe7hJ: 自由変数だから
797 ：１３２人目の素数さん：2015/04/20(月) 11:42:44.47 ID:/bUd4GuD: 命題論理には原始命題という概念はないんだっけ？
798 ：１３２人目の素数さん：2015/04/20(月) 12:24:29.68 ID:qDRdan6v: 原子論理式の定め方だけは述語論理と同じだけれど
命題論理の体系の一種だという理解でいいんでしょうか？
799 ：１３２人目の素数さん：2015/04/20(月) 13:33:58.35 ID:ZEcLfQ6J: >>798
いや全然違う。自由変数が使えるのはかなりデカイよ
実際Π1文に「相当する」論理式だって作れる
800 ：１３２人目の素数さん：2015/04/20(月) 22:10:52.10 ID:I4Xesr3K: >>798の内容は「Π1文に相当する論理式だって作れる」ことと何も矛盾しないと思うが
一体全体どう「全然違う」というのか？
801 ：１３２人目の素数さん：2015/04/20(月) 23:03:12.66 ID:Wd/2lYtN: >>800
よこからだけど
命題論理で言うとトートロジーでないけど、妥当な式があるってことでしょ

PRAは算術だから等号公理や算術に関する公理も含んでいるから、例えば「どの数も次に続く数より小さい」と言う内容を定理として導出できるだろうけど、この内容は命題論理の範囲を超えてるよね
802 ：１３２人目の素数さん：2015/04/20(月) 23:16:33.87 ID:Wd/2lYtN: >>801
自己レス
この例は間違いくさいな
803 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 09:55:11.31 ID:azu8WN1T: 述語論理では論理的公理のほかに非論理的公理を加えることはあっても
命題論理だと非論理的公理は考えてはいけなくて
論理的公理だけにしなければならない、と仰る？
804 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 13:10:46.75 ID:UN176F5A: 命題論理で非論理的公理加えてもいいけど

あまり意味がない

たとえば算術が展開できるような命題論理の拡張はちょっと想像できない
805 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 13:16:30.07 ID:UN176F5A: PRAが命題論理とは全然違うものだということに納得いかないならまずPRAが
何かをここで議論せずにいろいろ調べてからくればいいとおもう

全然違うから
806 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 18:19:48.40 ID:azu8WN1T: 「算術が展開できるような命題論理の拡張」は正にPRAだって話だろ！

「意味がない」とか「想像できない」とか「いろいろ調べて」とか言ってないで
どう違うのかを示してから出直してきな
807 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 20:28:25.15 ID:YVKkoffZ: かっこいい男子がみんなで春祭りをひらきまーす♪

ＵＲＬ貼れないから
メンガって検索してみてね！
※正しいサイト名は英語です。
808 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 20:51:52.71 ID:e2srAhxk: >>806
極端な話、すべての真なる命題を公理にしてしまえば
「算術が展開できるような命題論理の拡張」にはなるけど
PRAとは言えないよね。そういうことだよ
809 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 21:03:25.01 ID:gn+kqYPv: そういう見方をすることに意味があるかどうかは分からないが
量化だけを許さず他の論理結合子は許さないような形で定式化した
PRAが命題論理（に非論理的公理を加えた）体系である、
というのは正しい。
（>>805=>>808 は「正しくない」と主張しているみたいだけど
それならそうやって逃げてないで根拠を示してね。）

ただし量化を許す（つまり通常の述語論理上の理論としての）定式化もあるし
逆に∧や∨や￢すら許さないような定式化もあるので
特定の定式化でしか言えない命題論理の体系の拡張として見ることに
どれほどの意義があるのかは謎だけどね。

WFFがきちんと書かれていなくて不安になった初心者が
暫定的に命題論理の一種だと考えて先に進めるようになる
という意義はあるのかもしれないけれど。
810 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 21:08:42.46 ID:gn+kqYPv: 間違えた、スマソ

× 他の論理結合子は許さないような形
○ 他の論理結合子は許すような形
811 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 21:12:43.40 ID:Mje/N0Jl: 「すべての真なる命題」

意味わかる人いるのか？
812 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 22:15:36.99 ID:gBi0EHtP: 命題を列挙してそのうち真のものを集めればいいだけだろう。
どこが疑問なんだ？
命題は列挙できるよな？
813 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 22:19:11.13 ID:nJK3V5dI: お前ら外部リンクぐらい貼れ、論争相手しか見えないなら掲示板使うな。
http://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_arithmetic
814 ：１３２人目の素数さん：2015/04/21(火) 23:32:18.37 ID:U640+OvL: PRAで真になる命題として
￢（S(x)=０）
という命題があるけどこれは命題論理でどう表現するんだよ

命題論理の定義が間違ってるだろ

命題論理の言語に等号も定項も変項もないだろ
命題論理の言語に含まれるのは
命題変項
論理結合子
必要であれば命題定項
だろ

wikiみればわかるけどPRAは量化子がない述語論理で公理を加えて表現できるけど、論理結合子使わなくても表現できる
PRAが命題論理って言ってるやつはとりあえずwikipedia見てみろ。読んでないだろ
815 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 00:08:03.60 ID:hGmPZIV6: >>812
もちろん列挙できないし、真偽もわからない
816 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 04:42:21.90 ID:LwWZnW80: >>815
ゲーデル数も知らない池沼ｗ
817 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 07:14:55.13 ID:hGmPZIV6: >>816
そんなのは数論の定理に過ぎないのでは？
818 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 09:55:52.84 ID:4sdpJaey: >>814は>>798読んでから出直してくるべきだと思う
819 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 10:55:19.93 ID:7u0FfmAW: >>818
wikipedia見た？

PRAは命題論理なくても展開できるんだって
820 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 11:39:11.84 ID:4sdpJaey: >>819
wikipediaに限らず>>809も言ってるが
命題論理なしでもできるが
命題論理に基づく定式化も可能だということだ。
自分の挙げたwikipediaくらいよく嫁
821 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 14:13:54.11 ID:the46EzP: 非可算集合の存在を主張するZFCに可算モデルが存在するというスコーレムの逆理。
大体これは可算概念の相対性によって説明されるのだが、他の説明の仕方はないの？
そもそも概念の相対性はどこから生じてるの？
822 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 14:45:18.20 ID:Ff+D0fTk: >>820
>>798は「PRAが命題論理の拡張」かどうか聞いていて、その答えはnoだろ

命題論理でもできるし、命題論理なしでもできる

命題論理に全く依存してないでしょ
823 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 17:54:12.73 ID:4sdpJaey: >>798が言っているのは量化がないだけの定式化のPRAなのだから
命題論理の拡張だろ？
命題論理までなしにした定式化のPRAが最初に出来たのは>>809だ。
お前本当に頭悪いんじゃないか？
824 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 18:00:48.40 ID:3m567tgt: なんか文系みたいな口論だな
曖昧な言葉こそ飯の種
825 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 19:08:10.64 ID:iC0TLEzL: >>823
想定してる命題論理の定義が違う

命題論理の言語は命題変項と論理結合子

述語論理の言語は述語記号と関数記号と定項と変項と論理結合子と量化子

命題論理の言語ではPRAは作れないでしょ

PRAが述語論理の量化子なしで定義されたというのに文句を言ってるのではない
それを命題論理と呼ぶことに反対してる
間違いではないかも知れないがミスリーディングだ
826 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 19:33:09.24 ID:3BtVKS+e: >>823
議論してる途中で頭悪いとか人格攻撃するのはやめなよ
827 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 21:14:17.93 ID:uiZ6Vy2z: >>822は「関係あるともいえるしないとも言えるから関係ないでしょ」とかって
禅問答の域に達しているので相手をする必要はないと思うけど
他にも勘違いしている人もいるようなので注意しておくと
同じPRAと言う名称で呼ばれている体系でも
厳密に言えば全く違う体系だということ。

1. 述語論理上の体系として定式化したPRA
（シンプソンの有名な本ではこれを採用している）

2. 命題結合子は許す定式化のPRA
（wikipediaの記事でメインで採用されている定式化）

3. 命題結合子すら許さない純粋な等式理論としてのPRA
（wikipediaの記事でlogic-freeと呼ばれている定式化）

これらは同じPRAという名前で呼ばれているだけで別の体系。
その記事にあるような通常の利用目的の
「基本的な証明論のための超数学的な形式的体系」としては
どれでも大差がないので同じ名前を付けているだけ。
（もちろん、その利用目的に合わせて適切な同値関係を入れれば
同じ同値類だということはできるけど。）

>>825
述語論理さえ、原子論理式や量化で出来た論理式を命題定項とみなして
量化に関する公理は非論理的公理とみなすことで
命題論理の拡張だと見せることは知ってる？
Shoenfieldとかの標準的な教科書には載ってるよ。

>>809の通りその見方に意義があるかどうか分からないし
ミスリーディングと言えばミスリーディングな場面もあるかもしれないけど
>>798のように聞かれたらYesと答えるしかないでしょ？
828 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 21:46:30.33 ID:hGmPZIV6: >>827
>述語論理さえ、原子論理式や量化で出来た論理式を命題定項とみなして
>量化に関する公理は非論理的公理とみなすことで
>命題論理の拡張だと見せることは知ってる？
>Shoenfieldとかの標準的な教科書には載ってるよ。

Shoenfieldは持ってるんですが、どこのことなのか教えてください。
829 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 22:24:32.98 ID:uiZ6Vy2z: >>828
いま本が手元にないのでうる覚えだけれど
述語論理の完全性の証明をその見方でしていたと思う。
記憶違いだったら勘弁。
その見方で述語論理が命題論理上の理論と見做せるのは
参考文献を挙げるまでもなく自明なことなので。
830 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 22:33:03.69 ID:h02Op0SI: >>827
こういうレスが書ける人になりたい
831 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 22:40:58.92 ID:hGmPZIV6: >>829
もしかして、3.1 THE TAUTOLOGY THEOREMのところですかね？

A formula is elementary if it is either an atomic formula or an instantiation.
A truth valuation for T is a mapping from the set of elementary formulas in T to the set of truth values.
832 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 22:43:58.84 ID:x6YEGMnV: ゲーデルと20世紀の論理学の二巻の
田中一之さんの章もそういう定式化扱ってたね
833 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 22:55:14.85 ID:Hh8oVyDR: PRAを命題論理と「見做す」のは問題ないよ

PRAを命題論理の一種とか拡張だとかいうのが間違いだと言ってるんだって
834 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 23:03:53.97 ID:xH9FXtAB: >>828
知ってるって

ヘンキン定数とヘンキン公理を使って量化の文を命題論理のトートロジーに還元する完全性定理の証明でしょ

還元できたとしても述語論理を命題論理の一種だとか拡張だとか言わないでしょ

PRAを命題論理の一種だとか拡張だとかいうのは
述語論理を命題論理の一種だとか拡張だとかいうのと同じ

それはミスリーディングじゃん
835 ：１３２人目の素数さん：2015/04/22(水) 23:47:16.94 ID:h02Op0SI: >>834
>>827を読んだ上で言ってる？
836 ：１３２人目の素数さん：2015/04/23(木) 00:37:20.64 ID:zDCjbyC5: >>827
> >>822は「関係あるともいえるしないとも言えるから関係ないでしょ」とかって
> 禅問答の域に達しているので相手をする必要はないと思うけど
> 他にも勘違いしている人もいるようなので注意しておくと
> 同じPRAと言う名称で呼ばれている体系でも
> 厳密に言えば全く違う体系だということ。

これが大体間違ってる

PRAは命題論理を使っても使わなくても定式化できるという意味で、
PRAが命題論理に「依存してない」と私は言ったので
「関係ない」とは言ってない

厳密に議論できずに言葉じりを変えて自分の意見に沿うように捻じ曲げないでほしい
837 ：１３２人目の素数さん：2015/04/23(木) 00:46:17.86 ID:zDCjbyC5: >>835
↓これについてどう思ってるの？

> 還元できたとしても述語論理を命題論理の一種だとか拡張だとか言わないでしょ
>
> PRAを命題論理の一種だとか拡張だとかいうのは
> 述語論理を命題論理の一種だとか拡張だとかいうのと同じ
>
> それはミスリーディングじゃん

PRAを命題論理の一種というならその定義を示してよ

Wikipediaの定式化の一つは述語論理の量化子を除いた部分を使っているから、
それは述語論理での定式化でしょ命題論理の一種ではない
838 ：１３２人目の素数さん：2015/04/23(木) 00:49:41.48 ID:zDCjbyC5: >>827
Schoenfield読んだし手元にもあるけど
述語論理が命題論理の一種だとか拡張だとかどこに書いてあるの？
見た覚えがないんだけど
839 ：１３２人目の素数さん：2015/04/23(木) 11:07:46.47 ID:jk69BTKV: 負け惜しみで言っているようにしか見えないが？
意味分かるやついるの？
840 ：１３２人目の素数さん：2015/04/23(木) 20:43:57.74 ID:D1rTDJdZ: wikiの定式化だと推論規則にvariable substitutionを含むけど
これは命題論理の範囲外じゃね？
もちろん非論理的公理として付け加えることはできるけど
841 ：１３２人目の素数さん：2015/04/23(木) 21:10:28.66 ID:V945QTjf: ふと思ったんだが、述語論理上の理論じゃないPRAに対して
ゲーデルの不完全性定理って成り立つの？
842 ：１３２人目の素数さん：2015/04/24(金) 08:21:46.61 ID:YRNjwXTi: すみません負け惜しみでした

改めて>>827を読んだら　
2番の量化なしの述語論理の定式化が
命題論理の拡張になっていることがわかりました

本当にすみませんでした
以後自粛します
843 ：１３２人目の素数さん：2015/04/24(金) 08:29:56.22 ID:0Le+MCKz: >>842
わかったというなら実際に量化なしの定式化を命題論理に拡張して見せてよ
844 ：１３２人目の素数さん：2015/04/24(金) 21:42:06.13 ID:SKEhiuav: >>841
同じPRAって名前がついてるくらいだし
不完全性定理のような重要な性質の
成立・不成立は>>827の1,2,3のどれでも変わらない
（だからどれでも成立する）と思うけど
照井先生の本には書いてない？

不完全性定理が成立する最弱の理論は何か？って
少し前に話題になってたけれど
PRAもEFAも述語論理の体系になっていない場合に
「不完全性定理が成り立つ」ってどう定義するんだろうね？
845 ：１３２人目の素数さん：2015/04/27(月) 22:25:47.31 ID:4dkvnz7o: >>787
まあでもこのスレの人々は、
かの望月新一氏でさえ間違っていると叩く位だから、
照井氏だろうが新井氏だろうが間違っていれば叩くのでは？

逆に「不完全性定理は第二階述語論理の公理系の不完全性」みたいなこと言っても
（間違いとは言えないので）このスレでは叩かれない。
846 ：１３２人目の素数さん：2015/04/27(月) 22:44:32.83 ID:eFYGri5a: 間違ってなさそうなのに悪意の解釈をして叩くのが問題
847 ：１３２人目の素数さん：2015/04/28(火) 21:11:36.24 ID:jHyOwYRe: 悪意の解釈なんて誰もしてないと思うが
848 ：１３２人目の素数さん：2015/04/28(火) 21:53:35.71 ID:NLID5z0Y: 鴨氏とか言ってるくらいだからこのスレに限らずってことなんだろ。
実際、ネット上での彼の取巻きは
「不完全性定理は第二階述語論理の公理系の不完全性」
という発言をトンデモだと決めつけた（自称？）専門家もいるし。
849 ：１３２人目の素数さん：2015/04/29(水) 10:16:56.30 ID:mSgc706j: 「述語論理上の理論であって命題論理上の理論ではない」

っていうのは

「古典論理上の理論であって直観主義論理上の理論ではない」

ってのと同型だな。
前半は後半の根拠にすらなるのに
あたかも後半が成り立たないことの根拠に前半を述べるのもそっくり。
一部の論理公理が非論理公理になったりはするが
自分で手を動かしていれば絶対に言わないようなこと。
表面的な言葉で理解したつもりの哲屑を見分けるのに最適。
850 ：１３２人目の素数さん：2015/04/29(水) 19:51:19.26 ID:hpoBQ/W2: 何を命題変数と見做すかはそう自明でもないと思うけど

あと古典論理上の理論を、直観主義論理に非論理的公理
￢￢φ→φが付いたものと見做すのも相当不自然だしね
851 ：１３２人目の素数さん：2015/04/29(水) 21:00:27.45 ID:giyCBGLT: >>848
その自称専門家ってもしかして
「直観主義論理上の理論はすべて disjunction/existence proterty が成立する」と言いながら
平気で「古典論理上では disjunction/existence proterty は成り立たない」とか言っちゃうあの人？
852 ：１３２人目の素数さん：2015/04/29(水) 23:42:36.52 ID:+7jZYgZ0: >>850
自然不自然じゃなくて安全性が同等だっていう意義じゃなかった？
古典論理で矛盾が出れば直観論理でも矛盾が出るよって話。
853 ：１３２人目の素数さん：2015/04/30(木) 00:04:36.54 ID:24Q2DEyz: ￢￢φ→φ(二重否定除去)を非論理的公理と見做すことが
不自然だという感覚がわからないのですが、
良かったら説明して頂けませんか？
854 ：１３２人目の素数さん：2015/04/30(木) 02:01:40.51 ID:1zQ9kDEd: >>850
古典論理が直観主義論理に埋め込めるってのは知ってるけど
今の話がその話だった訳では無いんじゃないの
849じゃないから知らんけど

>>853
何かの数学的対象の性質を規定した公理じゃなくて
論理記号￢の性質を規定した公理だから
論理記号についての公理と見做すのが自然かと
855 ：１３２人目の素数さん：2015/04/30(木) 10:27:20.56 ID:v1y0tZ7S: >>851
哲屑批判をしている本人が実は哲屑だったわけだな。
自分で手を動かしていないことが丸分かり。
自然じゃないだの不自然だの言って数学的事実を疎かにすると
こういう哲屑になるという典型。
「正方形は長方形である」を不自然不自然と騒ぐのと一緒。
856 ：１３２人目の素数さん：2015/04/30(木) 12:36:31.32 ID:XflG0qvI: >>855
あなたの主張はどの書き込みにもとづいて言ってるの？
よくわからない。
857 ：１３２人目の素数さん：2015/04/30(木) 21:01:38.79 ID:24Q2DEyz: >>854
二重否定除去や排中律を非論理的公理として扱って
その制限した形と他の算術的公理との関係を調べるという研究↓があるみたいですが
こういった研究は不自然であり筋が悪いということでしょうか？

www.shayashi.jp/PALCM/hierarchy.pdf
858 ：１３２人目の素数さん：2015/05/01(金) 17:49:45.97 ID:H6axLZqb: 二重否定の除去は論理記号についての公理と見做す見方に拘るのが屑鉄
必要に応じていつでも非論理公理という見方にも切り替えられるのが数学徒
859 ：１３２人目の素数さん：2015/05/01(金) 18:20:16.73 ID:eIKZaxI1: 自然／不自然という問題が、可能／不可能にすり替わりましたね
もしかして無意識にそうしたんですか？
860 ：１３２人目の素数さん：2015/05/01(金) 21:00:04.58 ID:F+P9hOFo: >>859
むしろ可能・不可能の問題を誰かが(825の最後の一文あたり？)
自然・不自然にすり替えたように思うけどね。

数学上のブレークスルーというのは
誰も気づかなかった見方をするのがキーになるので
不自然だと言って或る見方に否定的な態度を取るんじゃなくて
常に新しい見方に対してオープンでありたいものだね。
861 ：１３２人目の素数さん：2015/05/01(金) 21:32:30.40 ID:5irjRbPx: ブレークスルーになるのは不自然に見えて実は自然な観点。
862 ：１３２人目の素数さん：2015/05/01(金) 21:52:21.76 ID:x/lYBi6K: 成功した観点を自然といってるだけだろ。
863 ：１３２人目の素数さん：2015/05/01(金) 22:42:02.97 ID:5irjRbPx: そんなことはない。
言われてみれば、よく考えてみれば自然である。
そうでなかった例の方を教えてほしい。
864 ：１３２人目の素数さん：2015/05/01(金) 22:57:11.74 ID:tPfpNoT2: 「言われてみれば、よく考えてみれば」程度のことでブレークスルーにならんわｗ
865 ：１３２人目の素数さん：2015/05/01(金) 22:58:50.46 ID:5irjRbPx: 層の理論はそうだよ。
866 ：１３２人目の素数さん：2015/05/02(土) 08:41:19.51 ID:hLf0eCFy: 直観主義集合論上で選択公理から二重否定除去が導かれるという結果もあるから
選択公理が論理的公理だと言うのなら分からないけど
二重否定除去を直観主義論理上で非論理的公理だと看做すのは必然だと思う。
それを不自然だと論じることに一体どんなメリットがあるのか850に聞きたい。
867 ：１３２人目の素数さん：2015/05/02(土) 22:22:05.14 ID:gPdH5Ev9: ～～が自然/不自然だと言うならその利点を示せ、と言われても
利点があるとか無いとかそういうことはそもそも言っていないので困るのだけど。

>>857
排中律という論理的公理と他の算術の公理との関係を調べている、
と言ってはいけないの？
排中律は直観主義では正しくないから非論理的公理だ、とか言うなら
A→(A→B)は最小論理では正しくないから非論理的公理だ、ということになってしまう。
実際、最小論理上の算術と、それに付加される論理的公理との関係の研究だって出来るとは思うけどね。
868 ：１３２人目の素数さん：2015/05/03(日) 09:50:49.65 ID:vbFff34k: >排中律は直観主義では正しくないから非論理的公理だ、とか言うなら
>A→(A→B)は最小論理では正しくないから非論理的公理だ、ということになってしまう。

最小論理に入っていない直観主義論理の公理を最小論理上で扱うには
非論理公理として扱っているという話だろ。
「～するときには～とみなす」ではなく
「～は正しくない」という言い方になってしまうのは
観点を切り替えるということを知らない>>858のいうところの鉄屑。
869 ：１３２人目の素数さん：2015/05/03(日) 21:22:41.61 ID:bTG4qIlb: >>867
論理的公理と見るか非論理的公理と見るかは場面によって柔軟に切り替えるべき
というのがこれまでの趣旨なのだから、
「直観主義で正しくないから『どんな場面でも』非論理的公理と見るべきだ」
なんて誰も言っていないと思うし、
少なくてもあなたの反論している>>857は言っていないよ。
藁人形論法は相変わらずだね。

あと、最小論理って Johansson の minimal logic のことだと思うけど
A→(A→B)は論理的公理だよ。
ここでは本質的でないけど、本質的でない所で知ったかが露呈すると恥ずかしいよね。
870 ：１３２人目の素数さん：2015/05/03(日) 21:35:17.14 ID:rUkvF0Kr: A→(B→A)か￢A→(A→B)の間違いじゃね？
871 ：１３２人目の素数さん転載ダメ©2ch.net：2015/05/03(日) 22:09:30.91 ID:IEOrP2nn: -

数学の勉強法教えてくれ。　いくらやっても成長しない。　リカモメン達の上達法を知りたい。
http://fox.2ch.net/test/read.cgi/poverty/1430658417/

-
872 ：１３２人目の素数さん：2015/05/03(日) 23:13:23.51 ID:bTG4qIlb: >>870
おっと俺も間違えてた。サンクス。
A→(A→B)は論理的公理じゃないな。実に恥ずかしいね。
873 ：１３２人目の素数さん：2015/05/03(日) 23:50:06.51 ID:hZz5u/r7: 同じく余談だが外延性の公理を採用しないと選択公理から排中律は導けないし、直観主義集合論で外延性の公理はあまり採用されないので、選択公理つきの直観主義集合論は珍しくない。
874 ：１３２人目の素数さん：2015/05/04(月) 14:59:31.51 ID:AzFYn+Mj: 素人目には直観主義の集合論というとCZFしか思い浮かばないんだが
外延性公理って入ってなかったっけ？
選択公理付きの直観主義集合論ってたとえばどんなん？
875 ：１３２人目の素数さん：2015/05/04(月) 23:24:53.03 ID:9UCGvuXg: 下記のウィキペディアの英語版で言及されている集合論は、
いずれも外延性を採用して選択公理は含んでないね。

http://en.wikipedia.org/wiki/Constructive_set_theory
876 ：１３２人目の素数さん：2015/05/05(火) 10:23:35.36 ID:UznaKpX4: >>873
「直観主義集合論で外延性の公理はあまり採用されない」というけど
Wikipediaには採用されるものばっかりだよ？
もちろんWikipediaがスタンダードだとは言わないけど
参考文献くらいあげておいて欲しい。
877 ：１３２人目の素数さん：2015/05/05(火) 21:05:21.16 ID:0qrN1Tmb: たとえば、数理論理学の基本的な知見を理解可能な形でWikipediaでもなんでも書くとして、
その知見について興味をもった企業の技術者が、Aという製品を開発するにあたってそれは
なんだか使えそうな感じがするからそのAという製品についても勉強してくれるのなら
技術アドバイザーの形でとりあえず短期契約の形で参加してくれないか？と要請されたら受ける人はいるか？
デメリットとしては応用なので学問の理論的進展には寄与できないとする。
878 ：１３２人目の素数さん：2015/05/05(火) 21:32:05.42 ID:0qrN1Tmb: 応用なんてできないと思う人もいると思うが、応用を阻んでいたのは数学系に特有の
こだわりの強さで会話が成立しないからだ。だから、そういう自分の傾向に自覚的で、なんとか
対話しようって思うやつじゃないと無理だが。
879 ：１３２人目の素数さん：2015/05/05(火) 23:54:45.54 ID:xNTfXV9q: 数学科出身のロジックの教員なんて
工学部には腐るほど居るので
そういう応用で簡単に実現可能なものは割と実現されてる気がするけど
880 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 01:53:34.75 ID:RsBaNXlP: 言われてみれば確かにそうだな、工学部所属の理論系の実情ってどうなんだろ。
881 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 14:27:55.25 ID:vhwrpNYZ: 他の分野も含めてこれからはこういうプロジェクトが増えていくのかな
http://openlogicproject.org/
882 ：１３２人目の素数さん：2015/05/06(水) 14:36:28.91 ID:IZNSfLO/: A⇒B
A⇒(A⇒B)
A⇒B
B
883 ：１３２人目の素数さん：2015/05/10(日) 12:27:34.54 ID:p/WApVSo: ↑何んをアホなこと書いとるんや、この呆け茄子！ｗｗｗｗ
884 ：１３２人目の素数さん：2015/05/17(日) 21:45:46.18 ID:hH0Ip1F9: あげ
885 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 09:09:53.24 ID:431EL249: 本スレへいけといわれましたが、こちらが本スレでしょうか。
今は直観主義に、はまりたくないので恐る恐る質問します。
b⊆{a}->(b={}∨b={a})
が直観主義では証明できないと前のスレで言われました。
もしそれが本当なら、要素を1つしか持たない集合に対して、
直観主義の方々はどのように思っているのでしょうか。あるいは、
要素を1つしか持たない集合という考え方がそもそもいけないのでしょうか。
あるいは、上記の論理式において、aが空集合のような具体的なものの
場合は話が違ってくるのでしょうか。それとも証明できるのでしょうか。
できるのなら教えていただけないでしょうか。
偉い方どうかよろしくお願いします。
886 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 14:59:12.84 ID:jbb2q2vy: >>885
> b⊆{a}->(b={}∨b={a})
> が直観主義では証明できないと前のスレで言われました。

確かに証明できないですね。
その理由は b⊆{a} というだけでは右辺のどちらのケースが該当しているのか不明だからです。

> もしそれが本当なら、要素を1つしか持たない集合に対して、
> 直観主義の方々はどのように思っているのでしょうか。あるいは、

古典論理に基づく通常の数学との対比で直観主義論理をベースの論理として採用した数学理論、
例えば直観主義集合論の特異性は、「要素を１つしか持たない集合」という概念の違いというよりも、
直観主義論理での論理和 ∨ （および存在限量子 ∃）解釈に起因しています。

例えば、あなたが例として挙げられた含意の右辺の (b={}∨b={a}) は、直観主義論理に対するKolmogorov解釈では、
「bが空集合という証明を持っているか、bが{a}という単一要素集合である証明を持っているかの何れかである」
という解釈をします。一方、左辺の包含関係の証明を持っているというだけでは、どちらかのケースの証明を持っている保証はありません。
（例えば、bの要素数が２以上だと仮定すれば矛盾するという証明が左辺の証明としては可能です。）

ですから、あなたの例の場合、集合やその要素数という数学的概念に対する直観主義での扱いが（古典論理と比べて）特異的なのではなく、
あくまでも直観主義論理そのものの特異性（論理和や存在限量子の解釈が構成的であること）に起因しています。
887 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 17:33:18.39 ID:pav7t4EI: あくまでも>直観主義論理そのものの特異性（論理和や存在限量子の解釈が構成的であること）に起因しています。

それでは
b⊆{a} -> ￢(￢b={} ∧ ￢b={a})
なら証明可能なのでしょうか？
888 ：１３２人目の素数さん：2015/05/20(水) 22:21:32.73 ID:MrmoinDF: LJの推論規則で考えると、「￢(b={}),b⊆{a}→b={a}」が証明可能にならないな
公理的集合論についてはよく知らないが。
889 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 00:35:21.30 ID:U1mdoGwp: 「直観主義の集合論では外延性の公理は採用するのが標準的」
ということで決着したのでしょうか？

>>885と>>886はそれぞれ、
外延性の公理を認めた上で話をしているのですか？
そうでないのならば、
空集合{}や一元集合{a}は一意に定まらないはずですから
b={},b⊆{a},b={a}はそれぞれ何の略記なのでしょうか？
890 ：１３２人目の素数さん：2015/05/21(木) 17:30:47.12 ID:BbRyE9Is: 890get
891 ：886：2015/05/22(金) 01:35:30.56 ID:ponKEfCB: >>889
> 「直観主義の集合論では外延性の公理は採用するのが標準的」
> ということで決着したのでしょうか？

886はその公理を前提として書いていますが、
現在の直観主義集合論研究コミュニティで標準的かは知りません
（なにせ理論計算機科学としての構成的型理論から直観主義論理に触れた人間なので）。
ただ、直観主義集合論に関するほぼ唯一の日本語の参考書である
竹内外史のモノグラフでは外延性公理を採用していたように記憶していますが
それとも私の記憶違いかなあ？
892 ：885：2015/05/22(金) 15:17:20.56 ID:8I7Qamu0: >>886
お礼の挨拶が送れてすみません。大感謝です。
さすが本スレですね。いきなりしっかりとしたレスをいただいて、前スレとの違いに
びっくりしてます。

あと型理論についてくわしいなら、CICというか、特に再帰型についてわからないことが
あるんだけどどうしようかなあ。
893 ：１３２人目の素数さん：2015/05/23(土) 10:49:28.77 ID:g8u1FOsY: >>891=>>886は>>887には答えないの？
894 ：886：2015/05/24(日) 14:52:31.35 ID:k4QyY6aK: >>893
> >>891=>>886は>>887には答えないの？

887の答えはわざわざ改めて書くまでもなく「証明できる」だと思いますが。
895 ：１３２人目の素数さん：2015/05/24(日) 21:10:37.44 ID:nPB9mO67: 改めて書くまでもなくって、分かってた人がどれだけいるんだ？
>>888なんて出来ないみたいなこと書いているし。
もう少しここの住人の知的レベルを考慮して欲しい。
896 ：１３２人目の素数さん：2015/05/24(日) 22:47:25.20 ID:csHg0+LE: glivenkoの定理だっけ？
NKでAが証明可能⇔NJで￢￢Aが証明可能ってやつ
897 ：１３２人目の素数さん：2015/05/25(月) 00:11:17.92 ID:X7rVSVwp: >>896
述語論理では成り立たない話で命題論理限定な
しかも非論理的公理のない純粋な論理体系の話
898 ：１３２人目の素数さん：2015/05/25(月) 00:18:38.79 ID:p7LUQdPK: 述語論理にはゲーデル解釈があるでしょ
899 ：１３２人目の素数さん：2015/05/26(火) 09:27:02.81 ID:w/IFGaNK: >>898
それ二重否定翻訳のこと？
http://en.wikipedia.org/wiki/Double-negation_translation
900 ：１３２人目の素数さん：2015/05/28(木) 21:22:03.94 ID:Utp55abA: >>898,>>899
いずれにせよ非論理的公理である集合論の公理が
二重否定翻訳で保存されることを言わない限り
>>887の問題には適用できない。
901 ：１３２人目の素数さん：2015/05/29(金) 22:08:04.86 ID:P2ZSzF3c: 初歩的な疑問はノーということですが、
述語論理のセマンティックスで、
V(∀ξB) = 1を「モデルMのすべてのα変種について、V(B[α/ξ:]) = 1」
と定義する。
αは∀ξBに現われない定項ならば、なんでもいいので、
これは
「すべてのa変種について～」かつ「すべてのb変種について～」かつ…
と「かつ」でむすんで理解してはおかしいでしょうか。
あえてむすぶなら「または」でむすぶ…？
902 ：１３２人目の素数さん：2015/05/29(金) 23:22:54.43 ID:mfKjJVP9: >>901
参考にしている文献の情報は？

どれが標準的な用語でどれがその本特有の用語なのかは
初学者には判断できないものだから
質問する際には必ず勉強している本の情報を記すこと。
903 ：１３２人目の素数さん：2015/05/29(金) 23:31:34.31 ID:P2ZSzF3c: 戸田山和久の『論理学をつくる』です。すいません。
Vは「付値関数」と書いてあります。
「変種」という用語も独特なのかどうか、よくわかりません。
904 ：１３２人目の素数さん：2015/05/29(金) 23:41:03.22 ID:P2ZSzF3c: あと、閉論理式だけを前提にして、
原子式、複合論理式、量化式の真理をつぎつぎに定義していく箇所です。
905 ：１３２人目の素数さん：2015/05/30(土) 01:35:55.10 ID:mzJ5IRs8: 変種は割と独特

複合論理式ってのもその本がそういう言葉遣いしてるだけ
まあこっちは何となく推測付くけど
906 ：１３２人目の素数さん：2015/05/30(土) 09:00:03.15 ID:KnsvKoRr: そうか？英語のウィキペディアにも
compound formula って用語は出ているぞ

http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_formula

最初の段落の最後の一文

これの単なる訳語だろ
907 ：１３２人目の素数さん：2015/05/30(土) 09:17:02.99 ID:mzJ5IRs8: 記号論理の術語のバラツキの要因は
・英語の原語自体のバラツキ
　（数学系なのか哲学系なのか計算機科学系なのか言語学系なのかで割と違う）
・訳語のバラツキ
・日本語の本で新しく術語を定義する場合
などがあって、割と些細な言葉遣いでゴチャゴチャしてるけど
今の場合大きいのは二番目だね。
あと、少なくとも数学系の本ではcompound formulaという言葉を
敢えて定義することも少ないから一番目もあるかも。
quantifier-free formulaって言えば通じるからね。
908 ：１３２人目の素数さん：2015/05/30(土) 22:07:57.42 ID:aFGaWFkC: compound formula が quantifier-free formula だったとは
なかなか斬新な説だなｗｗｗ
909 ：１３２人目の素数さん：2015/05/30(土) 22:18:18.20 ID:mzJ5IRs8: あそっか、原子論理式とかは違うか
910 ：１３２人目の素数さん：2015/05/31(日) 11:04:21.14 ID:hmuKNWuw: 先日照井一成先生の講演会に行って来たけど
いかにもRIMSの数学の研究者っぽい風貌だった。
自分は数学者ではなくて数理論理学者です、とおっしゃってたけど。

内容は青土社の本に沿ったもので
三つの限界（決定不能性、計算複雑性、不完全性）、
三つの特徴（証明の代数性、ダイナミズム、連続性）、
証明支援系や自動証明システムの話など。
911 ：１３２人目の素数さん：2015/05/31(日) 21:01:03.34 ID:ESNIbgH6: 戸田山本は持ってないので>>901には答えてあげられないのだけど
（読んだことある人が答えてくれることをお祈りしております）
ふと疑問に思ったのは「α変種」と「a変種」の両方出て来るの？
通常、ギリシア文字とラテン文字は別の種類のオブジェクトを指すと思うんだけど
「変種」は２通りの使い方をしている？
912 ：１３２人目の素数さん：2015/05/31(日) 21:27:07.97 ID:xZa+GFRw: MPLとかPPLの「語彙」としてまず
個体定項：a, b ,c, …
個体変項：x, y, z, …
述語記号：P, Q, R, S, …
などの取り決めがあります。
それからギリシア文字の「α」「β」等は上の個体定項を表わす図式文字として、すなわち
「個体定項a, b, c等をどれと定めずに代表する」
ために使うらしいです。
同様に、ギリシア文字の「ξ」「ζ」等は上の個体変項を表わす図式文字。
913 ：１３２人目の素数さん：2015/05/31(日) 21:38:52.91 ID:xZa+GFRw: 「変種」の定義の部分をそのまま引用しますと

V/αは付値関数Vの個体定項αに関する変種（短く「α変種」と言う）である
⇔V/αは個体定項αに対して割り当てる個体だけがVと異なり、
その他の個体定項や述語記号に対する割り当てはVと同じ付値関数である。
ただし、もともとのVじしんもV/αの一種と考えることにする。
ついでに、モデルM＝＜D，V＞で、DはそのままにしてVをこのα変種V/αに取り換えたものを、
モデルMのα変種と言い、M/αと書くことにしよう。

「変種」は以上のような定義です。
914 ：１３２人目の素数さん：2015/05/31(日) 21:45:55.55 ID:xZa+GFRw: 「変種」のアイデアが出てくるのは、
∀ｘPxが真なのはPa、Pb、Pc、Pd等々がみんな真のときだと言いたい、
でも個体定項として用意されたものは論議領域Dの個体数に足りないかもしれない、
だからaならaという一つの定項をあるときはこれの名、別のときはあれの名といった具合に、
いわば変数あつかいにしよう、
ということらしいです。そういう文脈で出てきます。
915 ：１３２人目の素数さん：2015/05/31(日) 22:59:42.98 ID:xZa+GFRw: MPL（Monadic Predicate Logic）で、モデルMのもとでの論理式の評価
閉論理式だけに限定して真理を帰納的に定義していく方針

A、B等は論理式を表わすとする。
αは「語彙」のリスト中の個体定項をどれとも定めずさす図式文字。
Φは「語彙」のリスト中の述語記号（MPLでは一項述語）をどれとも定めずさす図式文字。
付値関数Vは個体定項には論議領域Dの個体を割り当て、
述語記号には論議領域Dの部分集合を割り当てます。
（＝１はモデルMの付値関数Vがその論理式を真と評価するということで…）
Aが原子式のとき
V(Φα) = 1　⇔　V(α)?（属する）V(Φ)
AがB∧Cのとき
V(A) = 1　⇔　 V(B) = 1 かつ　V(C) = 1
AがB∨C等々のとき略
Aが∀ξBのとき
V(A) = 1 ⇔　M（モデル）のすべてのα変種M/αについて、V_M/α(B[α/ξ]) = 1
ただし、αはAに現われない個体定項とする。
916 ：１３２人目の素数さん：2015/05/31(日) 23:05:09.45 ID:WgzP4d5G: そんだけ分かってるなら質問する必要なくない？
一体何を質問しているんだよ
917 ：１３２人目の素数さん：2015/05/31(日) 23:21:25.27 ID:xZa+GFRw: たとえば∀ｘPxを評価するのに
すべてのa変種についてV_M/a(Pa) = 1 かつ
すべてのｂ変種についてV_M/b(Pb) = 1 かつ　…
と理解するものなのか、
すべてのa変種についてV_M/a(Pa) = 1 または
すべてのｂ変種についてV_M/b(Pb) = 1 または　…
と理解するものなのか、ということなのですが。
最初は「かつ」でむすぶのが正しいような気がしたけど、
変種のために選ぶ定項はそのつど一つあれば十分なので、
「または」でむすぶのが妥当な気もしてきました…。
長々とすいません。
918 ：１３２人目の素数さん：2015/06/01(月) 12:24:30.92 ID:RWlCBnRV: ようわからんが
「すべてのa変種についてV_M/a(Pa) = 1」と
「すべてのｂ変種についてV_M/b(Pb) = 1」
って同値じゃないの？
同値なものを連言で結ぼうが選言で結ぼうが同じじゃない？
919 ：１３２人目の素数さん：2015/06/01(月) 19:48:35.45 ID:hGstFtBx: おお、頭いいですね！
ずっとうまい言い方が見つからなくて引っかかっていました。
直観的に同値ぽいです。厳密な証明はわからないけれど。
ではでは。長々と失礼しました。
920 ：１３２人目の素数さん：2015/06/02(火) 10:08:21.96 ID:jdhQfYOk: あー、どの個体定項で定義しても同値だから
図式文字のαで代表させているわけか
921 ：１３２人目の素数さん：2015/06/06(土) 23:36:08.83 ID:AOwEdhb0: ふちの先生今年は東大で集中講義するんだね
922 ：１３２人目の素数さん：2015/06/07(日) 22:20:42.80 ID:P5bo69qM: 馬鹿「大学の数学は哲学みたいなもの」
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423428746/
923 ：１３２人目の素数さん：2015/06/10(水) 21:28:35.54 ID:0IgZUek4: 集合論の専門家の方々はなんと読んでいますか？

∈ の名称を決めよう [転載禁止]&#169;2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1431674934/
924 ：１３２人目の素数さん：2015/06/13(土) 09:01:05.37 ID:33DvXaVv: 「イプサイロン・リレイション」かな
925 ：１３２人目の素数さん：2015/06/13(土) 21:29:14.40 ID:hWgvIWwr: Mostowski崩壊とかの話で、∈が単独で出てくればそう読むこともあるけど、
>>923のリンク先は「a∈b」みたいな数式中でどう読むかという話でしょ？
「a∈b」を「エイ・イプサイロン・リレイション・ビー」とは
余り読まないような氣がするけど？
926 ：１３２人目の素数さん：2015/06/14(日) 00:58:14.40 ID:P3BgfvmX: つねに無難なのはTeXのコマンド名で\inと読むこと。
これは∈だけじゃなくて全ての記号で応用が利く。
927 ：１３２人目の素数さん：2015/06/14(日) 17:21:54.84 ID:4Uml7uS9: TeX風に \partial ∂ をパーシャルって呼んでるけど、周りのみんなデルとかディーとか呼んでて辛い
928 ：１３２人目の素数さん：2015/06/16(火) 22:30:10.40 ID:omNAztCe: 基礎論は人文系くさいということで
真っ先に文科大臣の通知の犠牲になっちゃうのかな？
929 ：１３２人目の素数さん：2015/06/16(火) 22:36:26.20 ID:LwEZtFE9: 何の通知のことか知らないけど、数学内部の事情に詳しい大臣なんているのかな
世間とは数学業界のことではないんだよ
930 ：１３２人目の素数さん：2015/06/17(水) 03:05:20.96 ID:dNZWsRmK: aaa
931 ：１３２人目の素数さん：2015/06/17(水) 12:40:33.43 ID:xF54buXY: 「何の通知のことか知らない」なんて随分悠長だな
海外で今後もずっと海外にいる予定の方？
932 ：１３２人目の素数さん：2015/06/17(水) 13:39:29.61 ID:KdyDfHZV: ああ。地球脱出も検討に入れるべきだな。
933 ：１３２人目の素数さん：2015/06/17(水) 15:26:33.91 ID:0v7UChw5: 入試数学でいい点数が取れるやつって凄いよな
無数に存在する可能な演算の中から、正解に結びつくものだけを選んで実行できるんだぜ
確率論的に考えればそれが出来る確率は限りなく0に近いし、人間業とは思えない
お前はどこの超能力者なんだって話だよ
934 ：１３２人目の素数さん：2015/06/17(水) 23:44:30.48 ID:8K7b/+Tr: 入試問題を考えるのも人間だし、非天才の思考のパターンなんて限られてるからね

学校の入試なんてただのパターン問題だよ
935 ：１３２人目の素数さん：2015/06/18(木) 00:26:13.38 ID:J/J3jud/: 天才かそうじゃないか、か．．．
936 ：１３２人目の素数さん：2015/06/18(木) 00:29:04.11 ID:D7UfZt82: 誰も解けないような難問では選抜試験として役に立たないでしょう
937 ：１３２人目の素数さん：2015/06/20(土) 12:46:37.59 ID:AAl5SazX: シェーファー記号ってどうやって思いついたのでしょうか？
すごく不思議です。
938 ：１３２人目の素数さん：2015/06/20(土) 21:11:52.50 ID:Hc4fCR9h: NANDの完全性（完備性？）かな
939 ：１３２人目の素数さん：2015/06/20(土) 21:33:10.92 ID:AAl5SazX: その話です
940 ：１３２人目の素数さん：2015/06/20(土) 22:45:38.28 ID:Hc4fCR9h: 質問は
「どうやってNANDの完全性を見つけることができたのか？」と
「どうしてNANDなんていう演算を考えようと思ったのか？」のどちら？
どちらにしても答えは知らないけれど。
941 ：１３２人目の素数さん：2015/06/20(土) 23:34:56.00 ID:KFAETe7c: 2変数のブール演算なんて
全部で16種類しか無いんだから
割とすぐ思いつくと思うけどね
942 ：１３２人目の素数さん：2015/06/21(日) 00:53:08.58 ID:+ol+8LMf: 思いつくというか
実際研究していた人間は、本でちょっと勉強した人間より
はるかに論理記号をいじりたおしているわけだから
その過程で自然に発見できると思う。
おそらく以前から知っている人はいくらでもいて
たまたま著名なシェーファーが採用した記号が後に残ったんだと思う。
NANDじゃなくてNORに対応する記号もあったけどたしかmendelsonの本にのってた
943 ：１３２人目の素数さん：2015/06/21(日) 10:11:03.04 ID:gHME8Vil: > 全部で16種類しか無いんだから
その16種類が全部1種類のものだけで表せるのはなぜ？
944 ：１３２人目の素数さん：2015/06/21(日) 10:33:34.78 ID:SmTXXJXE: >>943
それはまた別の種類の話だろ。
945 ：１３２人目の素数さん：2015/06/21(日) 10:34:03.81 ID:qYAw3gAl: 俺が人間の思考を創ったからだよ
946 ：１３２人目の素数さん：2015/06/21(日) 11:27:12.20 ID:ZkZl4f66: シェーファーって有名なの？
947 ：１３２人目の素数さん：2015/06/21(日) 13:05:42.04 ID:vxB6YHf1: 厳密にはもっと以前にパースが発見したけど論文書かなかった。
シェーファーはブール代数の完備な真理関数が２つあることを証明した。
これは場合分けを多用した組合せ論てきな証明。
この業績以外ではシェーファーの名は聞いたことない。
948 ：１３２人目の素数さん：2015/06/24(水) 22:58:13.14 ID:QLN1SBXG: 数学は論理学ですか?
949 ：１３２人目の素数さん：2015/06/25(木) 00:49:56.08 ID:K1d5gVd1: 違うよ。
数理論理学は数学の一部であり論理学の一部でもあるけれど。
950 ：１３２人目の素数さん：2015/06/25(木) 03:07:20.96 ID:wV0JffyK: ならば　数理論理学＝数学　になるな
951 ：１３２人目の素数さん：2015/06/25(木) 03:17:18.01 ID:N10r83vv: 何がどうして「ならば」なんだ
952 ：１３２人目の素数さん：2015/06/25(木) 03:28:34.02 ID:wV0JffyK: a⊆b ∧ a⊇b →　a=b
953 ：１３２人目の素数さん：2015/06/25(木) 03:30:12.37 ID:N10r83vv: 何言ってんの
954 ：１３２人目の素数さん：2015/06/25(木) 22:50:54.37 ID:BTN8XMh7: フレーゲが数学を論理学の一部にしようとしてたというのは有名な話。
最近は新フレーゲ主義とかいうのが流行っているらしい。
955 ：１３２人目の素数さん：2015/06/26(金) 00:45:22.79 ID:2SpRF9J0: >>954
フレーゲは失敗したわけだね。
956 ：１３２人目の素数さん：2015/06/26(金) 17:51:15.38 ID:7rNdWm9+: 新フレーゲ主義は数学を論理学の一部にすることに成功したの？
957 ：１３２人目の素数さん：2015/06/26(金) 20:58:51.71 ID:n7ZRhwn6: なにが言えれば数学が論理学の一部になったと考えられるのだろう？
958 ：１３２人目の素数さん：2015/06/26(金) 23:22:04.86 ID:Z1bwdKzg: 算術を、数学的公理ではなく論理的といえる公理から導く、というのが最低限必要だろうね。
フレーゲはこれに失敗したんじゃなかったかな。
959 ：１３２人目の素数さん：2015/06/26(金) 23:25:26.85 ID:xR21Pyfi: 新フレーゲ主義は、
序数（自然数）などが集合論など非直観的なところから定義されるのはおかしい。
序数はもっと人間の論理的な性質からくるものだ！と主張して数詞って概念を提唱した。
とくにトーマスライトって人が実際にそのような体系を作ったことで有名。
自然数には最大の数があるとか、10と10^10は同じ種類の数ではないとかいろんな学派があって
半集合とかいろいろな体系をつくりだしている。
960 ：１３２人目の素数さん：2015/06/26(金) 23:32:37.49 ID:xR21Pyfi: 数詞じゃなくて基数オペレータでした
数詞はギョーム理論だった
961 ：１３２人目の素数さん：2015/06/26(金) 23:35:08.73 ID:n7ZRhwn6: 面白そうだね。
最大の自然数はわからないけど、論理だけから算術を導いたら「無限」は得られないんだろうな。
962 ：１３２人目の素数さん：2015/06/26(金) 23:44:47.92 ID:xR21Pyfi: >>958
成功してる、2階述語論理からペアノ公理相当の定理がでるとはフレーゲが発見
あとトーマスライトらいとじゃなくてクリスピンライトだった
963 ：１３２人目の素数さん：2015/06/26(金) 23:45:55.26 ID:VJ/udEk/: トーラスに見えた
964 ：１３２人目の素数さん：2015/06/27(土) 00:01:23.10 ID:yI/03CvL: >>962
参考文献お願いします

1階領域が一元＊のみで、二階領域が空集合∅と全体集合{＊}からなる
二階の構造は二階述語論理のモデルになるけれど
そこから導かれる「ペアノ公理相当の定理」は
このモデルではどうなってるの？
０≠１って成り立つ？
965 ：１３２人目の素数さん：2015/06/27(土) 01:33:41.36 ID:X/D8wwzT: ID:xR21Pyfiは誤記が多すぎて信用できない
966 ：１３２人目の素数さん：2015/06/27(土) 07:24:04.21 ID:piZdQ187: 幾らなんでも>>959は間違え過ぎじゃない？
何か以前wikipediaにデタラメばかり書いてた人と同じ臭いがする。

2chの落書き言う事を鵜呑みにするんじゃなくて、
まともに知りたい人は
「論理の哲学（講談社選書メチエ）」「フレーゲ哲学の最新像」
とかを図書館で借りて来て読みましょう。

同じ論理学でも数学というより哲学よりの話なので
もしかしたら数学系の人は騙される人が居るかも知れないので一応。

もしかしたら「知の欺瞞」のソーカル論文みたいなことを
やってるつもりなのかも知れないけど、分かってる人間は
苦々しい思いで見てるだけなので、勘違いしないで欲しい。
自分がブログで紹介してた概念とかが濫用されてるのを見て
ブログ辞めちゃった若手研究者とかまで居るし。
967 ：１３２人目の素数さん：2015/06/27(土) 10:23:03.03 ID:1XN3VFjT: じゃいくつか資料おいとく
http://ac-net.org/tjst/archives/05710-tjst-kyouritsu.pdf
http://plato.stanford.edu/entries/frege-theorem/
気軽に楽しみな＾＾；
968 ：１３２人目の素数さん：2015/06/27(土) 10:23:52.36 ID:1XN3VFjT: >自分がブログで紹介してた概念とかが濫用されてるのを見て
> ブログ辞めちゃった若手研究者とかまで居るし。

誰なのそれ
969 ：１３２人目の素数さん：2015/06/27(土) 10:47:14.85 ID:X/D8wwzT: >>967
リンクはるだけならガロア理論スレのあいつでもできる。
970 ：１３２人目の素数さん：2015/06/27(土) 11:25:31.28 ID:aARmF73A: >>966
>同じ論理学でも数学というより哲学よりの話なので
>もしかしたら数学系の人は騙される人が居るかも知れないので一応。

哲学系の人は知らない話にすぐ騙されるけど
数学系だと>>964みたいな突っ込みが入るから
そう簡単には騙せないんじゃない？
971 ：１３２人目の素数さん：2015/06/27(土) 20:55:12.64 ID:yI/03CvL: 最初に鋭い突っ込みをした>>964のこの俺が通りますよー
972 ：STS446：2015/06/27(土) 21:54:24.32 ID:Yo3Bm24A: ちぇっ、久々に書き込んだのにこの様じゃたまんねぇ～なぁ
973 ：１３２人目の素数さん：2015/06/27(土) 22:19:37.45 ID:piZdQ187: 高階論理から自然数論を導く為には
Hume's principleという一種の公理的なものを仮定する必要がある。
こいつの位置付けが色々微妙なので議論されてたりする
974 ：１３２人目の素数さん：2015/06/27(土) 22:20:47.60 ID:piZdQ187: >>967
その上の方の資料は新Frege主義と関係無いから。
なんかそれっぽい話でありゃ良いって問題じゃないんだぞ。

>>970
>哲学系の人は知らない話にすぐ騙される
そうとも限らないんじゃないの？特に分析系の人はなかなか騙されないよ
数学の人と同じできちんとした哲学者は自分が知らない事は知らないと言うので。

学部生とかで万が一変な勘違いする人が出るのが嫌なので966書いただけ
975 ：１３２人目の素数さん：2015/06/28(日) 10:49:39.56 ID:8SbRTZoA: Hume's principleは二階述語論理の公理と矛盾するんでなかったっけ？
976 ：１３２人目の素数さん：2015/06/28(日) 11:31:05.47 ID:lpNRsUiX: >>959の内容っていい加減なんですか？
977 ：１３２人目の素数さん：2015/06/28(日) 14:22:04.70 ID:pp39DKc5: そういうのは自分で判断できる能力を持たなきゃダメでしょ
978 ：１３２人目の素数さん：2015/06/28(日) 15:38:32.02 ID:3PsK6ldz: マヌ豚ババアって何の為に生きてんだろ？
マヌ豚ババアってここで何がしたいんだろ？
大嫌いな数学板に永年張り付いて毎日ブフィブフィ騒いで
色々な人に散々弄られ小バカにされるだけの人生・・・

なにか意図が有るのかね？精神的に崩壊しちゃってるのかな？
979 ：１３２人目の素数さん：2015/06/28(日) 16:37:52.00 ID:lpNRsUiX: >>977
専門でもないし、わかりません。
980 ：１３２人目の素数さん：2015/06/28(日) 16:38:17.44 ID:lpNRsUiX: っていうか通りすがりだし
981 ：１３２人目の素数さん：2015/06/28(日) 17:51:35.98 ID:PjIfakft: >>980
ちょっと振り向いてみただけ
982 ：１３２人目の素数さん：2015/06/28(日) 18:27:04.64 ID:LHx5aImv: もう誰も知らないよ
983 ：１３２人目の素数さん：2015/06/28(日) 21:03:49.50 ID:sWAQFjLV: 次スレ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1435492940/
984 ：１３２人目の素数さん：2015/06/29(月) 00:11:53.80 ID:XxZU8NBG: >>966=>>973=>>974は他人をあれだけ批判しておいて
>>975には返事しないでスルー？